カウンタブル（可算）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つものはオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）を持つことの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のインナープロダクト（内積）の定義を知っている。
- 読者は、モジュール（加群）のベーシス（基底）の定義を知っている。
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つもののオーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）の定義を知っている。
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つもののカウンタブル（可算）サブセット（部分集合）のグラム-シュミットオーソノーマライゼーション（正規直交化）の定義を知っている。
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）はベーシス（基底）を持つという命題を認めている。
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）を持つものに対して、任意のオーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）はリニアにインディペンデント（線形独立）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のカウンタブル（可算）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）を持つものはオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）を持つという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(V\): \(\in \{\text{ 全てのカウンタブル（可算）-ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、任意のインナープロダクト（内積）を持つもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists B \in \{V \text{ に対する全てのオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）たち }\}\)
//
\(V\)は、ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）である必要はない、しかし、少なくとも本命題は、\(V\)がカウンタブル（可算）-ディメンショナル（次元）であるよう要求する（本命題は、アンカウンタブル（不可算）ベクトルたちスペース（空間）について何も主張しない）。
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意のベーシス（基底）\(B = \{b_1, b_2, ...\}\)を取る; ステップ2: \(B\)のグラム-シュミットオーソノーマライゼーション（正規直交化）\(\widetilde{B}\)を取る; ステップ3: \(\widetilde{B}\)はオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）であることを見る。
ステップ1:
あるベーシス（基底）\(B = \{b_1, b_2, ...\}\)がある、任意のベクトルたちスペース（空間）はベーシス（基底）を持つという命題によって。
当該ベーシス（基底）はカウンタブル（可算）である、なぜなら、本命題がそう要求している。
ステップ2:
\(B\)のグラム-シュミットオーソノーマライゼーション（正規直交化）\(\widetilde{B} = \{\widetilde{b}_1, \widetilde{b}_2, ...\}\)を取ろう。
ステップ3:
\(\widetilde{B}\)は本当にオーソノーマル（正規直交）である、ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つもののカウンタブル（可算）サブセット（部分集合）のグラム-シュミットオーソノーマライゼーション（正規直交化）の定義に対する"注"内でチェックされたとおり。
\(\widetilde{B}\)はリニアにインディペンデント（線形独立）である、任意のベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）を持つものに対して、任意のオーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）はリニアにインディペンデント（線形独立）であるという命題によって。
\(\widetilde{B}\)は\(V\)をスパンすることを見よう。
\(v \in V\)を任意のものとしよう。
ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つもののカウンタブル（可算）サブセット（部分集合）のグラム-シュミットオーソノーマライゼーション（正規直交化）の定義に対する"注"内で言及されているとおり、\(B\)はリニアにインディペンデント（線形独立）であるから、各\(\{\widetilde{b}_1, ..., \widetilde{b}_n\}\)は\(\{b_1, ..., b_n\}\)から決定され、各\(b_j\)は\(\{\widetilde{b}_1, ..., \widetilde{b}_n\}\)のリニアコンビネーション（線形結合）である。
\(B\)は\(V\)をスパン（張る）するから、\(v = v^1 b_1 + ... + v^n b_n\)。
しかし、\(b_j\)は\(\{\widetilde{b}_1, ..., \widetilde{b}_n\}\)のリニアコンビネーション（線形結合）であるから、\(v\)は\(\{\widetilde{b}_1, ..., \widetilde{b}_n\}\)のリニアコンビネーション（線形結合）である。
したがって、\(\widetilde{B}\)は\(V\)をスパン（張る）する。
したがって、\(\widetilde{B}\)は\(V\)に対するベーシス（基底）である。
したがって、\(\widetilde{B}\)は\(V\)に対するオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）である。
