ヒルベルトスペース（空間）のノルム付きコベクトルたち（デュアル）スペース（空間）はヒルベルトスペース（空間）であることの記述/証明
話題
About: ヒルベルトスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ヒルベルトスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ノルム付きベクトルたちスペース（空間）のノルム付きコベクトルたち（デュアル）スペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意のヒルベルトスペース（空間）およびそのノルム付きコベクトルたち（デュアル）スペース（空間）に対して、当該ヒルベルトスペース（空間）からノルム付きコベクトルたちスペース（空間）の上へのカノニカル（正典）バイジェクティブ（全単射）コンプレックス（複素）-コンジュゲート（共役）-リニア（線形）アイソメトリー（等長写像）があるという命題を認めている。
- 読者は、任意のノルム付きベクトルたちスペース（空間）に対して、もしも、当該ノルムがパラレログラム（平行四辺形）法則を満たす場合、当該ノルムはこのようにユニークなインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）であるという命題を認めている。
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルム付きのもの上のパラレログラム（平行四辺形）法則を認めている。
- 読者は、任意のリアル（実）またはコンプレックス（複素）インナープロダクト（内積）付きベクトルたちスペース（空間）に対するコーシー・シュワルツ不等式を認めている。
- 読者は、任意のバイジェクティブ（全単射）コンプレックス（複素）-コンジュゲート（共役）-リニア（線形）'ノルム付きベクトルたちスペース（空間）'アイソメトリー（等長写像）に対して、もしも、当該ドメイン（定義域）がコンプリート（完備）である場合、当該コドメイン（余域）はコンプリート（完備）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のヒルベルトスペース（空間）のノルム付きコベクトルたち（デュアル）スペース（空間）はヒルベルトスペース（空間）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ヒルベルトスペース（空間）たち }\}\)
\(V^*\): \(= V \text{ のノルム付きコベクトルたちスペース（空間） }\)
\(f\): \(: V \to V^*, v \mapsto \langle \bullet, v \rangle\), \(= \text{ カノニカル（正典）バイジェクティブ（全単射）コンプレックス（複素）-コンジュゲート（共役）-リニア（線形）アイソメトリー（等長写像） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(V^* \in \{\text{ 全てのヒルベルトスペース（空間）たち }\}\)で、インナープロダクト（内積）\(\forall f_v, f_{v'} \in V^* (\langle f_v, f_{v'} \rangle = \overline{\langle v, v' \rangle})\)、ここで、\(f_v\)は\(v \in V\)の\(f\)下のイメージ（像）、を持つもの
//
2: 注
\(f\)は、任意のヒルベルトスペース（空間）およびそのノルム付きコベクトルたち（デュアル）スペース（空間）に対して、当該ヒルベルトスペース（空間）からノルム付きコベクトルたちスペース（空間）の上へのカノニカル（正典）バイジェクティブ（全単射）コンプレックス（複素）-コンジュゲート（共役）-リニア（線形）アイソメトリー（等長写像）があるという命題内に言明されているバイジェクティブ（全単射）コンプレックス（複素）-コンジュゲート（共役）-リニア（線形）アイソメトリー（等長写像）である。
"\(f_v\)"が\(f (v)\)の代わりに使われている理由は、\(f (v) (v')\)のようにする必要があるところ、\(f_v (v')\)の方が混乱させないと思われること。
\(V^*\)には、そのインナープロダクト（内積）を取るというオプションしかない（当該インナープロダクト（内積）が本当に\(V^*\)上のノルムをインデュース（誘導する）ことが証明された後）、なぜなら、当該ノルムは当該オペレーターノルムであると決められており、当該ノルムをインデュース（誘導する）インナープロダクト（内積）（もしも、あれば）はユニークに決められる、任意のノルム付きベクトルたちスペース（空間）に対して、もしも、当該ノルムがパラレログラム（平行四辺形）法則を満たす場合、当該ノルムはこのようにユニークなインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）であるという命題によって: 当該ノルムはパラレログラム（平行四辺形）法則を満たす必要がある、もしも、それが任意のインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）である場合、ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルム付きのもの上のパラレログラム（平行四辺形）法則によって。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f\)は存在することを見る; ステップ2: \(V^*\)上のインナープロダクト（内積）は本当にインナープロダクト（内積）であることを見る; ステップ3: 当該インナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムはオペレーターノルムであることを見る; ステップ4: \(V^*\)はコンプリート（完備）であることを見る。
ステップ1:
\(f\)は存在する、任意のヒルベルトスペース（空間）およびそのノルム付きコベクトルたち（デュアル）スペース（空間）に対して、当該ヒルベルトスペース（空間）からノルム付きコベクトルたちスペース（空間）の上へのカノニカル（正典）バイジェクティブ（全単射）コンプレックス（複素）-コンジュゲート（共役）-リニア（線形）アイソメトリー（等長写像）があるという命題によって。
ステップ2:
\(V^*\)上の当該インナープロダクト（内積）は本当にインナープロダクト（内積）であることを見る。
\(f_{v_1}, f_{v_2}, f_{v_3} \in V^*\)および\(r_1, r_2 \in F\)を任意のものとしよう。
1) \((0 \le \langle f_{v_1}, f_{v_1} \rangle)\) \(\land\) \((0 = \langle f_{v_1}, f_{v_1} \rangle \iff f_{v_1} = 0)\): \(0 \le \overline{\langle v_1, v_1 \rangle} = \langle f_{v_1}, f_{v_1} \rangle\); \(0 = \langle f_{v_1}, f_{v_1} \rangle = \overline{\langle v_1, v_1 \rangle}\)、もしも、\(v_1 = 0\)である場合、そしてその場合に限って、もしも、\(f_{v_1} = 0\)である場合、そしてその場合に限って。
2) \(\langle f_{v_1}, f_{v_2} \rangle = \overline{\langle f_{v_2}, f_{v_1} \rangle}\): \(\langle f_{v_1}, f_{v_2} \rangle = \overline{\langle v_1, v_2 \rangle} = \langle v_2, v_1 \rangle = \overline{\overline{\langle v_2, v_1 \rangle}} = \overline{\langle f_{v_2}, f_{v_1} \rangle}\)。
3) \(\langle r_1 f_{v_1} + r_2 f_{v_2}, f_{v_3} \rangle = r_1 \langle f_{v_1}, f_{v_3} \rangle + r_2 \langle f_{v_2}, f_{v_3} \rangle\): \(\langle r_1 f_{v_1} + r_2 f_{v_2}, f_{v_3} \rangle = \langle f_{\overline{r_1} v_1 + \overline{r_2} v_2}, f_{v_3} \rangle\)、なぜなら、\(f\)はコンプレックス（複素）-コンジュゲート（共役）-リニア（線形）である、\(= \overline{\langle \overline{r_1} v_1 + \overline{r_2} v_2, v_3 \rangle} = \overline{\overline{r_1} \langle v_1, v_3 \rangle + \overline{r_2} \langle v_2, v_3 \rangle} = r_1 \overline{\langle v_1, v_3 \rangle} + r_2 \overline{\langle v_2, v_3 \rangle} = r_1 \langle f_{v_1}, f_{v_3} \rangle + r_2 \langle f_{v_2}, f_{v_3} \rangle\)。
したがって、\(V^*\)上の当該インナープロダクト（内積）はインナープロダクト（内積）である。
ステップ3:
さて、私たちは、当該インナープロダクト（内積）を持っていて当該インナープロダクト（内積）はあるノルムをインデュース（誘導する）ことを知っている、しかし、私たちは、当該インナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムは当該オペレーターノルムであることを知る必要がある。
\(f\)はアイソメトリー（等長写像）であるから、オペレーターノルム\(\Vert f_v \Vert\)に対して、\(\Vert f_v \Vert = \Vert v \Vert\)。
当該インナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルム\(\Vert f_v \Vert\)に対して、\(\Vert f_v \Vert = \sqrt{\langle f_v, f_v \rangle} = \sqrt{\overline{\langle v, v \rangle}} = \sqrt{\langle v, v \rangle} = \Vert v \Vert\)。
したがって、当該インナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムはオペレーターノルムである。
当該インナープロダクト（内積）は、当該オペレーターノルムをインデュース（誘導する）ユニークなインナープロダクト（内積）である、ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルム付きのもの上のパラレログラム（平行四辺形）法則および任意のノルム付きベクトルたちスペース（空間）に対して、もしも、当該ノルムがパラレログラム（平行四辺形）法則を満たす場合、当該ノルムはこのようにユニークなインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）であるという命題によって。
ステップ4:
\(V^*\)はコンプリート（完備）であることを見よう。
\(f\)はバイジェクティブ（全単射）コンプレックス（複素）-コンジュゲート（共役）-リニア（線形）アイソメトリー（等長写像）である。
任意のバイジェクティブ（全単射）コンプレックス（複素）-コンジュゲート（共役）-リニア（線形）'ノルム付きベクトルたちスペース（空間）'アイソメトリー（等長写像）に対して、もしも、当該ドメイン（定義域）がコンプリート（完備）である場合、当該コドメイン（余域）はコンプリート（完備）であるという命題によって、\(V^*\)はコンプリート（完備）である。
