ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち間リニアマップ（線形写像）のベーシス（基底）たちに関するレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）の定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、リニアマップ（線形写像）の定義を知っている。
- 読者は、モジュール（加群）のベーシス（基底）の定義を知っている。
- 読者は、%リング（環）名%マトリックス（行列）たちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）および任意のベーシス（基底）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）は当該ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちベクトルたちスペース（空間）へ'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち間リニアマップ（線形写像）のベーシス（基底）たちに関するレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\( d_1\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\( d_2\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\( V_1\): \(\in \{\text{ 全ての } d_1 \text{ -ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\( V_2\): \(\in \{\text{ 全ての } d_2 \text{ -ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\( B_1\): \(\in \{V_1 \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}\)
\( B_2\): \(\in \{V_2 \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}\)
\( f\): \(: V_1 \to V_2\), \(\in \{\text{ 全てのリニアマップ（線形写像）たち }\}\)
\( f_1\): \(: V_1 \to F^{d_1}\), \(= \text{ 当該コンポーネントたちベクトルたちスペース（空間）への } B_1 \text{ に関するカノニカル'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像） }\)
\( f_2\): \(: V_2 \to F^{d_2}\), \(= \text{ 当該コンポーネントたちベクトルたちスペース（空間）への } B_2 \text{ に関するカノニカル'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像） }\)
\( f_2 \circ f \circ {f_1}^{-1}\): \(: F^{d_1} \to F^{d_2}\)
\(*M\): \(= f_2 \circ f \circ {f_1}^{-1} \text{ のカノニカルレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列） }\)
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コンディションたち:
//
2: 注
\(f_1\)および\(f_2\)は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）および任意のベーシス（基底）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）は当該ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちベクトルたちスペース（空間）へ'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるという命題によるものである。
\(f_2 \circ f \circ {f_1}^{-1}\)はリニア（線形）である、任意のモジュール（加群）たち間任意のリニアマップ（線形写像）および第1マップ（写像）のコドメイン（余域）の任意のスーパーモジュール（超加群）から任意のモジュール（加群）の中への任意のリニアマップ（線形写像）に対して、第1マップ（写像）の後に第2マップ（写像）を行なうコンポジション（合成）はリニア（線形）であるという命題によって。
したがって、\(M\)はウェルデファインド（妥当に定義された）である、フィールド（体）のコピーたちのファイナイト（有限）プロダクトベクトルたちスペース（空間）たち間のリニアマップ（線形写像）のカノニカルレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）の定義によって。
\(M\)が"レプリゼンタティブ（代表）と呼ばれるのは、\(f\)は\(M\)から再構成できるから: \(M\)は\(f_2 \circ f \circ {f_1}^{-1}\)を決定し、\(f = {f_2}^{-1} \circ f_2 \circ f \circ {f_1}^{-1} \circ f_1\)。
