フィールド（体）のコピーたちのファイナイト（有限）プロダクトベクトルたちスペース（空間）たち間のマップ（写像）に対して、マップ（写像）はリニア（線形）である、もしも、マップ（写像）はカノニカルベーシス（基底）たちに関するマトリックス（行列）によって代表される場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、プロダクトベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、リニアマップ（線形写像）の定義を知っている。
- 読者は、%リング（環）名%マトリックス（行列）たちスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、フィールド（体）のコピーたちの任意のファイナイト（有限）プロダクトベクトルたちスペース（空間）たち間の任意のマップ（写像）に対して、当該マップ（写像）はリニア（線形）である、もしも、当該マップ（写像）はカノニカルベーシス（基底）たちに関するマトリックス（行列）によって代表される場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(d_1\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(d_2\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(F^{d_1}\): \(= \text{ 当該 } d_1 \text{ -ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間） }\)
\(F^{d_2}\): \(= \text{ 当該 } d_2 \text{ -ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間） }\)
\(B_1\): \(= \{b_{1, 1}, ..., b_{1, d_1}\}\), \(= F^{d_1} \text{ に対するカノニカルベーシス（基底） }\)
\(B_2\): \(= \{b_{2, 1}, ..., b_{2, d_2}\}\), \(= F^{d_2} \text{ に対するカノニカルベーシス（基底） }\)
\(f\): \(: F^{d_1} \to F^{d_2}\)
\(M\): \(= \begin{pmatrix} f (b_{1, 1})^1 & ... & f (b_{1, d_1})^1 \\ ... \\ f (b_{1, 1})^{d_2} & ... & f (b_{1, d_1})^{d_2} \end{pmatrix}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全てのリニアマップ（線形写像）たち }\}\)
\(\iff\)
\(\forall v \in F^{d_1} (f (v) = M v^t)\)
//
"カノニカルベーシス（基底）"が意味するのは、\(b_{l, j} = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0)^t\)、ここで、\(1\)は第\(j\)-番目コンポーネント。
2: 注
これはカノニカルベーシス（基底）たちに関してだけなのかと疑問に思う人がいるかもしれないが、勿論、そうではない、しかし、恣意的なベーシス（基底）たちに対するレプレゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）の存在は、本カノニカルケースに基づいて導出される: ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち間リニアマップ（線形写像）のベーシス（基底）たちに関するレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）の定義を参照のこと。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f\)はリニア（線形）であると仮定する; ステップ2: \(\forall v \in F^{d_1} (f (v) = M v^t)\)であることを見る; ステップ3: \(\forall v \in F^{d_1} (f (v) = M v^t)\)であると仮定する; ステップ4: \(f\)はリニア（線形）であることを見る。
ステップ1:
\(f\)はリニア（線形）であると仮定しよう。
ステップ2:
\(v \in F^{d_1}\)を任意のものとしよう。
\(v = v^j b_{1, j}\)。
\(f (v) = f (v^j b_{1, j}) = v^j f (b_{1, j})\)、なぜなら、\(f\)はリニア（線形）である、\(= v^j f (b_{1, j})^l b_{2, l} = \begin{pmatrix} v^j f (b_{1, j})^1 \\ ... \\ v^j f (b_{1, j})^{d_2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f (b_{1, 1})^1 & ... & f (b_{1, d_1})^1 \\ ... \\ f (b_{1, 1})^{d_2} & ... & f (b_{1, d_1})^{d_2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v^1 \\ ... \\ v^{d_1} \end{pmatrix} = M v^t\)。
ステップ3:
\(\forall v \in F^{d_1} (f (v) = M v^t)\)であると仮定しよう。
\(v, v' \in \mathbb{R}^{d_1}\)および\(r, r' \in \mathbb{R}\)を任意のものとしよう。
\(f (r v + r' v') = M (r v + r' v')^t = M (r v^t + r' v'^t) = r M v^t + r' M v'^t\)、それを、私たちは、よく知られている事実として受け入れる、\(= r f (v) + r' f (v')\)。
したがって、\(f\)はリニア（線形）である。
