メジャースペース（測度空間）、メジャラブルサブセット（測定可能部分集合）に対するメジャーサブスペース（測度部分空間）、スペース（空間）に対する\(\mathcal{L}^\infty\)、サブスペース（部分空間）に対する\(\mathcal{L}^\infty\)に対して、スペース（空間）に対する\(\mathcal{L}^\infty\)の各要素に対して、そのリストリクション（制限）は、サブスペース（部分空間）に対する\(\mathcal{L}^\infty\)内にあり、リストリクション（制限）のセミノルムは、スペース（空間）に対する\(\mathcal{L}^\infty\)の要素のセミノルム以下であることの記述/証明
話題
About: メジャースペース（測度空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メジャースペース（測度空間）上方の\(\mathcal{L}^p\)の定義を知っている。
- 読者は、メジャースペース（測度空間）のメジャラブルサブセット（測度空間部分集合）に対するメジャーサブスペース（測度部分空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意のセット（集合）間マップ（写像）およびその任意のドメイン（定義域）制限に対して、そのドメイン（定義域）制限マップ（写像）下のプリイメージ（前像）は、元のマップ（写像）下のプリイメージ（前像）と制限された定義域とのインターセクション（共通集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のメジャースペース（測度空間）および任意のメジャラブルサブセット（測定可能部分集合）に対するメジャーサブスペース（測度部分空間）に対して、当該スペース（空間）の任意のローカルにネグリジブルサブセット（無視可能部分集合）と当該サブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）は当該サブスペース（部分空間）上でローカルにネグリジブル（無視可能）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメジャースペース（測度空間）、任意のメジャラブルサブセット（測定可能部分集合）に対するメジャーサブスペース（測度部分空間）、当該スペース（空間）に対する\(\mathcal{L}^\infty\)、当該サブスペース（部分空間）に対する\(\mathcal{L}^\infty\)に対して、当該スペース（空間）に対する\(\mathcal{L}^\infty\)の各要素に対して、そのリストリクション（制限）は、当該サブスペース（部分空間）に対する\(\mathcal{L}^\infty\)内にあり、当該リストリクション（制限）のセミノルムは、当該スペース（空間）に対する\(\mathcal{L}^\infty\)の当該要素のセミノルム以下であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\((M', A', \mu')\): \(\in \{\text{ 全てのメジャラブルスペース（測定可能空間）たち }\}\)
\(M\): \(\in A'\)
\((M, A, \mu)\): \(= \text{ 当該メジャーサブスペース（測度部分空間） }\)
\(\mathbb{C}\): \(= \text{ 当該コンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)で、ボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）を持つもの
\(\mathbb{R}\): \(= \text{ 当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)で、ボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）を持つもの
\(F\): \(\in \{\mathbb{C}, \mathbb{R}\}\)
\(\mathcal{L}^\infty (M', A', \mu', F)\):
\(\mathcal{L}^\infty (M, A, \mu, F)\):
\(f'\): \(\in \mathcal{L}^\infty (M', A', \mu', F)\)
\(f\): \(= f \vert_{M}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \mathcal{L}^\infty (M, A, \mu, F)\)
\(\land\)
\(\Vert f \Vert \le \Vert f' \Vert\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f\)はメジャラブル（測定可能）で値バウンデッド（有界）であることを見る; ステップ2: \(\Vert f \Vert \le \Vert f' \Vert\)であることを見る、セミノルムの定義によって。
ステップ1:
\(f\)はメジャラブル（測定可能）であることを見よう。
\(S \subseteq F\)を、\(F\)の任意のメジャラブルサブセット（測定可能部分集合）としよう。
\(f^{-1} (S) = f'^{-1} (S) \cap M\)、任意のセット（集合）間マップ（写像）およびその任意のドメイン（定義域）制限に対して、そのドメイン（定義域）制限マップ（写像）下のプリイメージ（前像）は、元のマップ（写像）下のプリイメージ（前像）と制限された定義域とのインターセクション（共通集合）であるという命題によって、\(\in A\)、なぜなら、\(f'^{-1} (S) \in A'\)。
したがって、\(f\)はメジャラブル（測定可能）である。
\(f\)は値バウンデッド（有界）である、なぜなら、\(f'\)は値バウンデッド（有界）である。
したがって、\(f \in \mathcal{L}^\infty (M, A, \mu, F)\)。
ステップ2:
\(r \in \mathbb{R}\)を、\(0 \le r\)を満たす任意のものとしよう。
\(\{m \in M \vert r \lt \vert f (m) \vert\} = \{m \in M' \vert r \lt \vert f' (m) \vert\} \cap M\)であることを見よう。
各\(p \in \{m \in M \vert r \lt \vert f (m) \vert\}\)に対して、\(r \lt \vert f (p) \vert = \vert f' (p) \vert\)、したがって、\(p \in \{m \in M' \vert r \lt \vert f' (m) \vert\} \cap M\)。
各\(p \in \{m \in M' \vert r \lt \vert f' (m) \vert\} \cap M\)に対して、\(r \lt \vert f' (m) \vert = \vert f (m) \vert\)、したがって、\(p \in \{m \in M \vert r \lt \vert f (m) \vert\}\)。
したがって、\(\{m \in M \vert r \lt \vert f (m) \vert\} = \{m \in M' \vert r \lt \vert f' (m) \vert\} \cap M\)。
\(r = \Vert f' \Vert\)に対して、\(\{m \in M' \vert r \lt \vert f' (m) \vert\}\)は\(M'\)上でローカルにネグリジブル（無視可能）である。
したがって、\(\{m \in M' \vert r \lt \vert f' (m) \vert\} \cap M\)は\(M\)上でローカルにネグリジブル（無視可能）である、任意のメジャースペース（測度空間）および任意のメジャラブルサブセット（測定可能部分集合）に対するメジャーサブスペース（測度部分空間）に対して、当該スペース（空間）の任意のローカルにネグリジブルサブセット（無視可能部分集合）と当該サブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）は当該サブスペース（部分空間）上でローカルにネグリジブル（無視可能）であるという命題によって、したがって、\(\{m \in M \vert r \lt \vert f (m) \vert\}\)はローカルにネグリジブル（無視可能）である。
\(\Vert f \Vert\)はそうした\(r\)たちのインフィマム（下限）であるから、\(\Vert f \Vert \le \Vert f' \Vert\)。
