グループ（群）でトポロジーを持ちコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、要素を\(1\)の（オープン（開））ネイバーフッド（近傍）によって左または右から掛けたものは要素の（オープン（開））ネイバーフッド（近傍）であることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）な、トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）上のポイントのネイバーフッド（近傍）の定義を知っている。
- 読者は、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、インバージョン（逆）マップ（写像）、要素による左または右からのマルチプリケーション（乗法）マップ（写像）、要素によるコンジュゲーション（共役）マップ（写像）たちはホメオモーフィズム（位相同形写像）たちであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、任意の要素を\(1\)の任意の（オープン（開））ネイバーフッド（近傍）によって左または右から掛けたものは当該要素の（オープン（開））ネイバーフッド（近傍）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)で、任意のトポロジーを持ちグループ（群）オペレーションたちがコンティニュアス（連続）であるもの
\(g\): \(\in G\)
\(N_1\): \(\in \{1 \text{ の } G \text{ 上おける全てのネイバーフッド（近傍）たち }\}\)
\(U_1\): \(\in \{1 \text{ の } G \text{ 上における全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(g N_1 \in \{g \text{ の } G \text{ 上における全てのネイバーフッド（近傍）たち }\}\)
\(\land\)
\(N_1 g \in \{g \text{ の } G \text{ 上における全てのネイバーフッド（近傍）たち }\}\)
\(\land\)
\(g U_1 \in \{g \text{ の } G \text{ 上における全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\}\)
\(\land\)
\(U_1 g \in \{g \text{ の } G \text{ 上における全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: マップ（写像）たち\(f_l: G \to G, g' \mapsto g g'\)および\(f_r: G \to G, g' \mapsto g' g\)のことを考え、それらはホメオモーフィズム（位相同形写像）たちであることを見る; ステップ2: \(1\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U'_1 \subseteq N_1\)を取り、\(g \in f_l (U'_1) \subseteq g N_1\)および\(g \in f_r (U'_1) \subseteq N_1 g\)であることを見る; ステップ3: \(g \in g U_1 = f_l (U_1)\)および\(g \in U_1 g = f_r (U_1)\)であることを見る。
ステップ1:
マップ（写像）たち\(f_l: G \to G, g' \mapsto g g'\)および\(f_r: G \to G, g' \mapsto g' g\)のことを考えよう。
それらはホメオモーフィズム（位相同形写像）たちである、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、インバージョン（逆）マップ（写像）、要素による左または右からのマルチプリケーション（乗法）マップ（写像）、要素によるコンジュゲーション（共役）マップ（写像）たちはホメオモーフィズム（位相同形写像）たちであるという命題によって。
ステップ2:
\(1\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U'_1 \subseteq G\)、つまり、\(1 \in U'_1 \subseteq N_1\)、がある。
\(g = g 1 \in g U'_1 = f_l (U'_1) \subseteq g N_1\)。
しかし、\(f_l (U'_1) \subseteq G\)はオープンサブセット（開部分集合）である、なぜなら、\(f_l\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である。
したがって、\(g N_1\)は\(g\)のネイバーフッド（近傍）である。
\(g = 1 g \in U'_1 g = f_r (U'_1) \subseteq N_1 g\)。
しかし、\(f_r (U'_1) \subseteq G\)はオープンサブセット（開部分集合）である、なぜなら、\(f_r\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である。
したがって、\(N_1 g\)は\(g\)のネイバーフッド（近傍）である。
ステップ3:
\(g = g 1 \in g U_1 = f_l (U_1)\)。
しかし、\(f_l (U_1) \subseteq G\)はオープンサブセット（開部分集合）である、なぜなら、\(f_l\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である。
したがって、\(g U_1\)は\(g\)のオープンネイバーフッド（開近傍）である。
\(g = 1 g \in U_1 g = f_r (U_1)\)。
しかし、\(f_r (U_1) \subseteq G\)はオープンサブセット（開部分集合）である、なぜなら、\(f_r\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である。
したがって、\(U_1 g\)は\(g\)のオープンネイバーフッド（開近傍）である。
