ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものの中へのダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットに対して、コンバージェンス（収束ポイント）は存在する、もしも、コンスタントベクトルたちに関するコエフィシェント（係数）たちのコンバージェンス（収束ポイント）たちが存在する場合、そして、その場合、コンバージェンス（収束ポイント）はコンバージェンス（収束ポイント）たちで表わされることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットのコンバージェンス（収束ポイント）の定義を知っている。
- 読者は、ファイナイト（有限）次元リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（自然な）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）コンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（正典）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、任意の、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットは、最大でも唯1つだけのコンバージェンス（収束ポイント）を持ち得るという命題を認めている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のベーシス（基底）に基づいたコーディネート（座標）たちスペース（空間）のユークリディアントポロジーによって定義されたトポロジーは、ベーシス（基底）の選択に依存しないという命題を認めている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものの中への任意のダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）による任意のネットに対して、コンバージェンス（収束ポイント）は存在する、もしも、コンポーネントたち（任意のベーシス（基底）に関する）のコンバージェンス（収束ポイント）たちが存在する場合、そしてその場合に限って、その時、当該コンバージェンス（収束ポイント）は当該コンバージェンス（収束ポイント）たちで表わされるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものの中への任意のダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）による任意のネットに対して、コンバージェンス（収束ポイント）は存在する、もしも、任意のコンスタントベクトルたちに関するコエフィシェント（係数）たちのコンバージェンス（収束ポイント）たちが存在する場合、そして、その場合、当該コンバージェンス（収束ポイント）は当該コンバージェンス（収束ポイント）たちで表わされるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(d\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、カノニカル（正典）トポロジーを持つもの
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）たち }\}\)
\(n\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\((v_1, ..., v_n)\): \(v_j \in V\)、重複たちを持っていてよい
\(s\): \(: J \to V, t \mapsto s^j (t) v_j\), \(\in \{J \text{ によるネットたち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
(
\(\forall j \in \{1, ..., n\} (\exists lim s^j)\)
\(\implies\)
\(\exists lim s\)
)
\(\land\)
(
\(\forall j \in \{1, ..., n\} (\exists lim s^j)\)
\(\implies\)
\(lim s = lim s^j v_j\)
)
//
\(s^j: J \to F\)は、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットとみなされている、\(F\)がユークリディアントポロジカルスペース（空間）またはコンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）とみなされて。
2: 注
ポイントは、\((v_1, ..., v_n)\)は必ずしも\(V\)に対するベーシス（基底）でないこと: 特に、\(n\)は\(d\)に等しい必要はない。
その逆は必ずしも成立しない: 例えば、\(J = \mathbb{N} \setminus \{0\}\)および\(s (t) = cos (1 / t) v - cos (1 / t) v\)である時、\(s (t) = 0\)、したがって、\(s\)はコンバージ（収束）する、しかし、\(cos (1 / t)\)はコンバージ（収束）しない。
任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものの中への任意のダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）による任意のネットに対して、コンバージェンス（収束ポイント）は存在する、もしも、コンポーネントたち（任意のベーシス（基底）に関する）のコンバージェンス（収束ポイント）たちが存在する場合、そしてその場合に限って、その時、当該コンバージェンス（収束ポイント）は当該コンバージェンス（収束ポイント）たちで表わされるという命題と比較のこと。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(lim s^j\)が存在すると仮定して、それを\(v^j\)と記そう; ステップ2: \(lim s\)は存在し\(v^j v_j\)に等しいことを見る。
ステップ0:
注意として、\(V\)および\(F\)はハウスドルフである。
\(s\)または\(s^j\)のあるコンバージェンス（収束ポイント）が存在する時、当該コンバージェンス（収束ポイント）はユニークである、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、任意の、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットは、最大でも唯1つだけのコンバージェンス（収束ポイント）を持ち得るという命題によって。
したがって、コンバージェンス（収束ポイント）たちのユニーク性について心配する必要はない。
\(V\)のトポロジーは任意のベーシス（基底）\(B = \{b_1, .., b_d\}\)に基づいて定義させよう: 実のところ、当該トポロジーはベーシス（基底）の選択に依存しない、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のベーシス（基底）に基づいたコーディネート（座標）たちスペース（空間）のユークリディアントポロジーによって定義されたトポロジーは、ベーシス（基底）の選択に依存しないという命題によって。
ステップ1:
各\(j \in \{1, ..., n\}\)に対して、\(lim s^j\)は存在すると仮定して、それを\(v^j\)と記そう。
ステップ2:
\(lim s\)は存在し\(v^j v_j\)に等しいことを見よう。
\(v_j = {v_j}^l b_l\)。
\(s (t) = s^j (t) v_j = s^j (t) {v_j}^l b_l\)。
\(s^j\)はコンバージ（収束）するから、各\(l \in \{1, ..., d\}\)に対して、\(s^j {v_j}^l\)は\(v^j {v_j}^l\)へコンバージ（収束）する。
任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものの中への任意のダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）による任意のネットに対して、コンバージェンス（収束ポイント）は存在する、もしも、コンポーネントたち（任意のベーシス（基底）に関する）のコンバージェンス（収束ポイント）たちが存在する場合、そしてその場合に限って、その時、当該コンバージェンス（収束ポイント）は当該コンバージェンス（収束ポイント）たちで表わされるという命題によって、\(s\) は\(v^j {v_j}^l b_j = v^j v_j\)へコンバージ（収束）する。
したがって、\(lim s = v^j v_j = lim s^j v_j\)。
