グループ（群）でトポロジーを持ちコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）は、サブセット（部分集合）に\(1\)の任意のネイバーフッド（近傍）を左または右から掛けたものに包含されていることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）な、トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）上のポイントのネイバーフッド（近傍）の定義を知っている。
- 読者は、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、\(1\)の全てのシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）たちのセット（集合）は\(1\)におけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、任意の要素を\(1\)の任意の（オープン（開））ネイバーフッド（近傍）によって左または右から掛けたものは当該要素の（オープン（開））ネイバーフッド（近傍）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）は、当該サブセット（部分集合）に\(1\)の任意のネイバーフッド（近傍）を左または右から掛けたものに包含されているという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)で、任意のトポロジーを持ちグループ（群）オペレーションたちがコンティニュアス（連続）であるもの
\(S\): \(\subseteq G\)
\(N'_1\): \(\in \{1 \text{ の } G \text{ 上における全てのネイバーフッド（近傍）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\overline{S} \subseteq S N'_1\)
\(\land\)
\(\overline{S} \subseteq N'_1 S\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(1\)のあるシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）で\(N'_1\)内に包含されているもの\(N_1\)を取る; ステップ2: 各\(g \in \overline{S}\)に対して、\(g \in S N_1\)であることを見る; ステップ3: 各\(g \in \overline{S}\)に対して、\(g \in N_1 S\)であることを見る。
ステップ1:
\(1\)の以下を満たすあるシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）で\(N'_1\)内に包含されているもの\(N_1 \subseteq G\)、つまり、\(1 \in N_1 \subseteq N'_1\)、がある、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、\(1\)の全てのシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）たちのセット（集合）は\(1\)におけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）であるという命題によって。
ステップ2:
\(g \in \overline{S}\)を任意のものとしよう。
\(g N_1 \subseteq G\)は\(g\)のネイバーフッド（近傍）である、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、任意の要素を\(1\)の任意の（オープン（開））ネイバーフッド（近傍）によって左または右から掛けたものは当該要素の（オープン（開））ネイバーフッド（近傍）であるという命題によって。
\(g N_1 \cap S \neq \emptyset\)、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題によって。
したがって、ある\(s \in g N_1 \cap S\)がある、したがって、以下を満たすある\(n \in N_1\)、つまり、\(g n = s\)、がある。
\(g = s n^{-1}\)、しかし、\(n^{-1} \in {N_1}^{-1} = N_1\)、したがって、\(g \in s N_1 \subseteq S N_1\)。
したがって、\(\overline{S} \subseteq S N_1 \subseteq S N'_1\)。
ステップ3:
\(g \in \overline{S}\)を任意のものとしよう。
\(N_1 g \subseteq G\)は\(g\)のネイバーフッド（近傍）である、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、任意の要素を\(1\)の任意の（オープン（開））ネイバーフッド（近傍）によって左または右から掛けたものは当該要素の（オープン（開））ネイバーフッド（近傍）であるという命題によって。
\(N_1 g \cap S \neq \emptyset\)、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題によって。
したがって、ある\(s \in N_1 g \cap S\)がある、したがって、以下を満たすある\(n \in N_1\)、つまり、\(n g = s\)、がある。
\(g = n^{-1} s\)、しかし、\(n^{-1} \in {N_1}^{-1} = N_1\)、したがって、\(g \in N_1 s \subseteq N_1 S\)。
したがって、\(\overline{S} \subseteq N_1 S \subseteq N'_1 S\)。
