トポロジカルスペース（空間）およびいくつかのコネクテッド（連結された）コンポーネントたちを除いてできたサブスペース（部分空間）に対して、残されたコネクテッド（連結された）コンポーネントたちはサブスペース（部分空間）のコネクテッド（連結された）コンポーネントたちであることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントの定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）のコネクテッド（連結された）性は、当該サブスペース（部分空間）がサブスペース（部分空間）であるとみなされる元のスーパースペース（空間）に依存しないという命題を認めている。
- 読者は、任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントは、より大きくはできない任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）に他ならないという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）およびいくつかの任意のコネクテッド（連結された）コンポーネントたちを除いてできたサブスペース（部分空間）に対して、残されたコネクテッド（連結された）コンポーネントたちは当該サブスペース（部分空間）のコネクテッド（連結された）コンポーネントたちであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T'\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(S'\): \(= \{C_j \in \{T' \text{ の全てのコネクテッド（連結された）コンポーネントたち }\} \vert j \in J\}\)
\(S\): \(\subset S'\)
\(T\): \(= \cup S \subset T'\)で、サブスペース（部分空間）トポロジーを持つもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(S = \{T \text{ の全てのコネクテッド（連結された）コンポーネントたち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(C_j \in S\)は\(T\)上でコネクテッド（連結された）であることを見る; ステップ2: 各\(j \neq l\)に対して、\(C_j\)内の各ポイントは\(C_l\)内のどのポイントにも\(T\)上においてコネクテッド（連結された）でないことを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
各\(C_j \in S\)は\(T\)上においてコネクテッド（連結された）である、トポロジカルサブスペース（部分空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）のコネクテッド（連結された）性は、当該サブスペース（部分空間）がサブスペース（部分空間）であるとみなされる元のスーパースペース（空間）に依存しないという命題によって。
ステップ2:
\(j \neq l\)を満たす各\(j, l \in J\)に対して、\(C_j\)内の各ポイントは\(C_l\)内のどのポイントにも\(T\)上においてコネクテッド（連結された）でないことを見よう。
ある\(c_j \in C_j\)がある\(c_l \in C_l\)へ\(T\)上においてコネクテッド（連結された）であったと仮定しよう。
\(T\)の以下を満たすあるコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）\(T^` \subseteq T\)、つまり、\(c_j, c_l \in T^`\)、があることになる。
\(T^`\)は\(T'\)のコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）であることになる、トポロジカルサブスペース（部分空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）のコネクテッド（連結された）性は、当該サブスペース（部分空間）がサブスペース（部分空間）であるとみなされる元のスーパースペース（空間）に依存しないという命題によって、それが意味することになるのは、\(c_j\)と\(c_l\)は\(T'\)上においてコネクテッド（連結された）であったということ、\(c_j\)と\(c_l\)は\(T'\)の同一コネクテッド（連結された）コンポーネント内になかったということに反する矛盾。
したがって、\(j \neq l\)を満たす各\(j, l \in J\)に対して、\(C_j\)内の各ポイントは\(C_l\)内のどのポイントにも\(T\)上においてコネクテッド（連結された）でない。
ステップ3:
したがって、各\(C_j\)は、\(T\)のあるコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）でより大きくできないものである、したがって、\(C_j\)は\(T\)のコネクテッド（連結された）コンポーネントである、任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントは、より大きくはできない任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）に他ならないという命題によって。
