ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち間マップ（写像）に対して、マップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、マップ（写像）はノルムたちによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）たちによってインデュースト（誘導された）トポロジカルスペース（空間）たち間マップ（写像）としてコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）の定義を知っている。
- 読者は、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、コンティニュアス（連続）ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たちマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）な、トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）の定義 を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち間任意のマップ（写像）に対して、当該マップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、当該マップ（写像）は当該ノルムたちによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）たちによってインデュースト（誘導された）トポロジカルスペース（空間）たち間マップ（写像）としてコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(V_1\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、任意のノルムを持ち、当該ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの
\(V_2\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、任意のノルムを持ち、当該ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの
\(f\): \(: V_1 \to V_2\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）なノルム付きベクトルたちスペース（空間）たちマップ（写像）たち }\}\)
\(\iff\)
\(f \in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）なトポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f\)はコンティニュアス（連続）なノルム付きベクトルたちスペース（空間）たちマップ（写像）であると仮定し、\(f\)はコンティニュアス（連続）なトポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）であることを見る; ステップ2: \(f\)はコンティニュアス（連続）なトポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）であると仮定し、\(f\)はコンティニュアス（連続）なノルム付きベクトルたちスペース（空間）たちマップ（写像）であることを見る。
ステップ1:
\(f\)はコンティニュアス（連続）なノルム付きベクトルたちスペース（空間）たちマップ（写像）であると仮定しよう。
\(t \in T_1\)を任意のものとしよう。
\(U_{f (t)} \subseteq T_2\)を\(f (t)\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）としよう。
\(f (t)\)周りの以下を満たすある\(\epsilon\)-'オープンボール（開球）'\(B_{f (t), \epsilon} \subseteq T_2\)、つまり、\(0 \lt \epsilon\)および\(B_{f (t), \epsilon} \subseteq U_{f (t)}\)、がある。
以下を満たすある\(\delta \in \mathbb{R}\)、つまり、\(0 \lt \delta\)および\(f (B_{t, \delta}) \subseteq B_{f (t), \epsilon}\)、がある。
\(B_{t, \delta}\)は\(t\)のオープンネイバーフッド（開近傍）である、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義に対する"注"によって。
\(f (B_{t, \delta}) \subseteq B_{f (t), \epsilon} \subseteq U_{f (t)}\)であるから、\(f\)は、\(t\)において、トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）としてコンティニュアス（連続）である。
\(t\)は恣意的であるから、\(f\)はコンティニュアス（連続）なトポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）である。
ステップ2:
\(f\)はコンティニュアス（連続）なトポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）であると仮定しよう。
\(t \in T_1\)を任意のものとしよう。
\(B_{f (t), \epsilon}\)を、\(f (t)\)周りの\(\epsilon\)-'オープンボール（開球）'、ここで、\(\epsilon \in \mathbb{R}\)は\(0 \lt \epsilon\)を満たす任意のもの、としよう。
\(B_{f (t), \epsilon}\)は\(f (t)\)のオープンネイバーフッド（開近傍）である、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義に対する"注"によって。
したがって、\(t\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_t \subseteq T_1\)、つまり、\(f (U_t) \subseteq B_{f (t), \epsilon}\)、がある。
以下を満たすある\(\delta \in \mathbb{R}\)、つまり、\(0 \lt \delta\)および\(B_{t, \delta} \subseteq U_t\)、がある。
\(f (B_{t, \delta}) \subseteq f (U_t) \subseteq B_{f (t), \epsilon}\)。
したがって、\(f\)は、\(t\)において、ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たちマップ（写像）としてコンティニュアス（連続）である。
\(t\)は恣意的であるから、\(f\)はコンティニュアス（連続）なノルム付きベクトルたちスペース（空間）たちマップ（写像）である。
