ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ノルム付きベクトルたちスペース（空間）からノルム付きベクトルたちスペース（空間）の中へのリニアマップ（線形写像）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ノルム付きベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）のディメンション（次元）の定義を知っている。
- 読者は、コンティニュアス（連続）ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たちマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のリアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のベーシス（基底）を取り各ベクトルに対して絶対コンポーネントたちの合計を取るものはノルムであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上の任意のノルムたちはイクイバレント（等値）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）コンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上の任意のノルムたちはイクイバレント（等値）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ノルム付きベクトルたちスペース（空間）から任意のノルム付きベクトルたちスペース（空間）の中への任意のリニアマップ（線形写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(d\): \(\in \mathbb{N}\)
\(V_1\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、任意のノルムを持つもの
\(V_2\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、任意のノルムを持つもの
\(f\): \(: V_1 \to V_2\), \(\in \{\text{ 全てのリニアマップ（線形写像）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全てのコンティニュアスマップ（連続写像）たち }\}\)
//
2: 注
\(f\)は、当該ノルムたちによってインデュースト（誘導された）トポロジカルスペース（空間）たち間マップ（写像）としてもコンティニュアス（連続）である、任意のノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち間任意のマップ（写像）に対して、当該マップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、当該マップ（写像）は当該ノルムたちによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）たちによってインデュースト（誘導された）トポロジカルスペース（空間）たち間マップ（写像）としてコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(V_1\)に対する任意のベーシス（基底）\(\{b_1, ..., b_d\}\)を取り、\(: V_1 \to \mathbb{R}, v = v^j b_j \mapsto \sum_{j \in \{1, ..., d\}} \vert v^j \vert\)はノルムであることを見る; ステップ2: 以下を満たすあるコンスタント\(c \in \mathbb{R}\)、つまり、\(0 \lt c\)および\(c \sum_{j \in \{1, ..., d\}} \vert v^j \vert \le \Vert v \Vert\)、を取る; ステップ3: 各\(v' \in B_{v, \delta}\)に対して、\(c \sum_{j \in \{1, ..., d\}} \vert v'^j - v^j \vert \lt \delta\)であることを見る; ステップ4: 任意の\(B_{f (v), \epsilon}\)を取り、以下を満たすある\(\delta\)、つまり、\(f (B_{v, \delta}) \subseteq B_{f (v), \epsilon}\)、を見つける。
ステップ1:
\(V_1\)に対する任意のベーシス（基底）\(\{b_1, ..., b_d\}\)を取ろう。
\(: V_1 \to \mathbb{R}, v = v^j b_j \mapsto \sum_{j \in \{1, ..., d\}} \vert v^j \vert\)は\(V_1\)上のノルムである、任意のリアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のベーシス（基底）を取り各ベクトルに対して絶対コンポーネントたちの合計を取るものはノルムであるという命題によって。
ステップ2:
任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上の任意のノルムたちはイクイバレント（等値）であるという命題または任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）コンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上の任意のノルムたちはイクイバレント（等値）であるという命題によって、以下を満たすあるコンスタント\(c \in \mathbb{R}\)、つまり、\(0 \lt c\)および各\(v = v^j b_j \in V_1\)に対して\(c \sum_{j \in \{1, ..., d\}} \vert v^j \vert \le \Vert v \Vert\)、がある。
ステップ3:
\(v = v^j b_j \in V_1\)を任意のものとしよう。
\(B_{v, \delta} \subseteq V_1\)を\(v\)周りの\(\delta\)-'オープンボール（開球）'としよう。
各\(v' = v'^j b_j \in B_{v, \delta}\)に対して、\(c \sum_{j \in \{1, ..., d\}} \vert v'^j - v^j \vert \lt \delta\)、なぜなら、\(c \sum_{j \in \{1, ..., d\}} \vert v'^j - v^j \vert \le \Vert v' - v \Vert \lt \delta\)。
ステップ4:
\(B_{f (v), \epsilon} \subseteq V_2\)を\(f (v)\)周りの\(\epsilon\)-'オープンボール（開球）'としよう。
\(v' = v'^j b_j \in B_{v, \delta}\)を任意のものとしよう。
\(\Vert f (v') - f (v) \Vert = \Vert f (v'^j b_j) - f (v^j b_j) \Vert = \Vert v'^j f (b_j) - v^j f (b_j) \Vert = \Vert (v'^j - v^j) f (b_j) \Vert \le \vert v'^j - v^j \vert \Vert f (b_j) \Vert\)。
\(M := max (\{\Vert f (b_j) \Vert \vert j \in \{1, ..., d\}\})\)としよう。
\(\Vert f (v') - f (v) \Vert \le \vert v'^j - v^j \vert \Vert f (b_j) \Vert \le \sum_{j \in \{1, ..., d\}} \vert v'^j - v^j \vert M\)。
しかし、\(\sum_{j \in \{1, ..., d\}} \vert v'^j - v^j \vert M \lt \delta / c M\)、したがって、\(\Vert f (v') - f (v) \Vert \lt \delta / c M\)。
したがって、\(\delta = c \epsilon / M\)と取ろう。
すると、\(\Vert f (v') - f (v) \Vert \lt \epsilon\)。
それが意味するのは、\(f (B_{v, \delta}) \subseteq B_{f (v), \epsilon}\)。
それが意味するのは、\(lim_v f = f (v)\)。
したがって、\(f\)はコンティニュアス（連続）である。
