同一リング（環）上方のモジュール（加群）で\(d_1\)個要素たちベーシス（基底）を持つものからモジュール（加群）で\(d_2\)個要素たちベーシス（基底）を持つものの中へのマップ（写像）に対して、マップ（写像）はリニア（線形）である、もしも、マップ（写像）は\(d_1 \times d_2\)リング（環）マトリックス（行列）によって代表される場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: モジュール（加群）
About: マトリックス（行列）たちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、モジュール（加群）のベーシス（基底）の定義を知っている。
- 読者は、リニアマップ（線形写像）の定義を知っている。
- 読者は、%リング（環）名%マトリックス（行列）たちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意のベーシス（基底）を持つ任意のモジュール（加群）に対して、任意の要素の当該ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちセット（集合）はユニークであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の同一リング（環）上方の、モジュール（加群）で任意の\(d_1\)個要素たちベーシス（基底）を持つ任意のものからモジュール（加群）で任意の\(d_2\)個要素たちベーシス（基底）を持つ任意のものの中への任意のマップ（写像）に対して 、当該マップ（写像）はリニア（線形）である、もしも、当該マップ（写像）は当該\(d_1 \times d_2\)リング（環）マトリックス（行列）によって代表される場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(R\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\)
\(M_1\): \(\in \{\text{ 全ての } R \text{ モジュール（加群）たち }\}\)で、任意のベーシス（基底）\(B_1 = \{{b_1}^1, ..., {b_1}^{d_1}\}\)を持つもの
\(M_2\): \(\in \{\text{ 全ての } R \text{ モジュール（加群）たち }\}\)で、任意のベーシス（基底）\(B_2 = \{{b_2}^1, ..., {b_2}^{d_2}\}\)を持つもの
\(f\): \(: M_1 \to M_2\)
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } d_1 \times d_2 R \text{ マトリックス（行列）たち }\}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(f ({b_1}^j) = M^j_l {b_2}^l\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全てのリニアマップ（線形写像）たち }\}\)
\(\iff\)
\(\forall m_1 = {m_1}_j {b_1}^j \in M_1 (f (m_1) = {m_1}_j M^j_l {b_2}^l)\)
//
2: 注
\(\forall m_1 = {m_1}_j {b_1}^j \in M_1 (f (m_1) = {m_1}_j M^j_l {b_2}^l)\)が意味するのは、"\(f\)は\(M\)によって代表される"に他ならない、なぜなら、\(M\)は\(f\)を決定する、なぜなら、分解\({m_1}_j {b_1}^j\)はユニークである、任意のベーシス（基底）を持つ任意のモジュール（加群）に対して、任意の要素の当該ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちセット（集合）はユニークであるという命題によって。
それが意味するのは、\(f (m_1)_l = {m_1}_j M^j_l\)、ここで、\(f (m_1)_l\)は\(f (m_1)\)の\(l\)コンポーネント、したがって、\(\begin{pmatrix} f (m_1)_1 & ... & f (m_1)_{d_2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {m_1}_1 & ... & {m_1}_{d_1} \end{pmatrix} M\)。
\(\{{b_1}^1, ..., {b_1}^{d_1}\}\)および\(\{{b_2}^1, ..., {b_2}^{d_2}\}\)を採用する（\(\{{b_1}_1, ..., {b_1}_{d_1}\}\)および\(\{{b_2}_1, ..., {b_2}_{d_2}\}\)ではなく）ことには優位性がある、なぜなら、もしも、後者を採用していたら、それは、\(f (m_1)^l = {m_1}^j M^l_j\)になることになる、それは、"\(\begin{pmatrix} f (m_1)^1 \\ ... \\ f (m_1)^{d_2} \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} {m_1}^1 \\ ... \\ {m_1}^{d_1} \end{pmatrix}\)"ではないことになる、なぜなら、\(R\)は必ずしもコミュータティブ（可換）ではなかった。
しかし、もしも、そうしたマトリックス（行列）表現が必要とされていなければ、\(\{{b_1}_1, ..., {b_1}_{d_1}\}\)および\(\{{b_2}_1, ..., {b_2}_{d_2}\}\)を採用することは許される、すると、それは、\(f (m_1)^l = {m_1}^j M^l_j\)となる。
3: Proof
Whole Strategy: Step 1: see that \(M\) is well-defined and \({m_1}_j M^j_l {b_2}^l\) is uniquely determined; Step 2: suppose that \(f\) is linear; Step 3: see that \(\forall m_1 = {m_1}_j {b_1}^j \in M_1 (f (m_1) = {m_1}_j M^j_l {b_2}^l)\); Step 4: suppose that \(\forall m_1 = {m_1}_j {b_1}^j \in M_1 (f (m_1) = {m_1}_j M^j_l {b_2}^l)\); Step 5: see that \(f\) is linear.
Step 1:
Let us see that \(M\) is well-defined.
\(M\) is uniquely determined, by the proposition that for any module with any basis, the components set of any element with respect to the basis is unique: \(M^j_l {b_2}^l\) is the decomposition of \(f ({b_1}^j)\) with respect to \(B_2\) where \(M^j_l \in R\).
\(M\) is indeed a \(d_1 \times d_2\) \(R\) matrix, because \(j \in \{1, ..., d_1\}\) and \(l \in \{1, ..., d_2\}\): when an \(l\) does not appear in \(M^j_l {b_2}^l\), \(M^j_l := 0\).
The decomposition, \(m_1 = {m_1}_j {b_1}^j\), is unique, by the proposition that for any module with any basis, the components set of any element with respect to the basis is unique: when a \(j\) does not appear in \({m_1}_j {b_1}^j\), \({m_1}_j := 0\).
So, \({m_1}_j M^j_l {b_2}^l\) is uniquely determined for each \(m_1\).
Step 2:
Let us suppose that \(f\) is linear.
Step 3:
Let us see that \(\forall m_1 = {m_1}_j {b_1}^j \in M_1 (f (m_1) = {m_1}_j M^j_l {b_2}^l)\).
\(f (m_1) = f ({m_1}_j {b_1}^j) = {m_1}_j f ({b_1}^j)\), because \(f\) is linear, \(= {m_1}_j M^j_l {b_2}^l\).
Step 4:
Let us suppose that \(\forall m_1 = {m_1}_j {b_1}^j \in M_1 (f (m_1) = {m_1}_j M^j_l {b_2}^l)\).
Step 5:
Let \(m_1 = {m_1}_j {b_1}^j, m'_1 = {m'_1}_j {b_1}^j \in M_1\) and \(r, r' \in R\) be any.
\(f (r m_1 + r' m'_1) = f (r {m_1}_j {b_1}^j + r' {m'_1}_j {b_1}^j) = f ((r {m_1}_j + r' {m'_1}_j) {b_1}^j) = (r {m_1}_j + r' {m'_1}_j) M^j_l {b_2}^l = r ({m_1}_j M^j_l {b_2}^l) + r' ({m'_1}_j M^j_l {b_2}^l) = r f (m_1) + r' f (m'_1)\), which means that \(f\) is linear.
