同一リング（環）上方のモジュール（加群）で\(d_1\)個要素たちベーシス（基底）を持つものからモジュール（加群）で\(d_2\)個要素たちベーシス（基底）を持つものの中へのマップ（写像）に対して、マップ（写像）はリニア（線形）である、もしも、マップ（写像）は\(d_2 \times d_1\)リング（環）マトリックス（行列）によって代表される場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: モジュール（加群）
About: マトリックス（行列）たちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、モジュール（加群）のベーシス（基底）の定義を知っている。
- 読者は、リニアマップ（線形写像）の定義を知っている。
- 読者は、%リング（環）名%マトリックス（行列）たちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意のベーシス（基底）を持つ任意のモジュール（加群）に対して、任意の要素の当該ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちセット（集合）はユニークであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の同一リング（環）上方の任意のモジュール（加群）で任意の\(d_1\)個要素たちベーシス（基底）を持つものから任意のモジュール（加群）で任意の\(d_2\)個要素たちベーシス（基底）を持つものの中への任意のマップ（写像）に対して、当該マップ（写像）はリニア（線形）である、もしも、当該マップ（写像）は当該\(d_2 \times d_1\)リング（環）マトリックス（行列）によって代表される場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(R\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\)
\(M_1\): \(\in \{\text{ 全ての } R \text{ モジュール（加群）たち }\}\)で、任意のベーシス（基底）\(B_1 = \{b_{1, 1}, ..., b_{1, d_1}\}\)を持つもの
\(M_2\): \(\in \{\text{ 全ての } R \text{ モジュール（加群）たち }\}\)で、任意のベーシス（基底）\(B_2 = \{b_{2, 1}, ..., b_{2, d_2}\}\)を持つもの
\(f\): \(: M_1 \to M_2\)
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } d_2 \times d_1 R \text{ マトリックス（行列）たち }\}\)で、\(f (b_{1, j}) = M^l_j b_{2, l}\)を満たすもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全てのリニアマップ（線形写像）たち }\}\)
\(\implies\)
\(\forall v_1 = {v_1}^j b_{1, j} \in M_1 (f (v_1) = {v_1}^j M^l_j b_{2, l})\)
//
2: 注
\(\forall v_1 = {v_1}^j b_{1, j} \in M_1 (f (v_1) = {v_1}^j M^l_j b_{2, l})\)は、"\(f\)は\(M\)に代表される"を意味するに他ならない、なぜなら、\(M\)は\(f\)を決定する、なぜなら、分解\(v^j b_{1, j}\)はユニークである、任意のベーシス（基底）を持つ任意のモジュール（加群）に対して、任意の要素の当該ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちセット（集合）はユニークであるという命題によって。
\(R\)がコミュータティブ（可換）である時、それが意味するのは、\(\begin{pmatrix} {v_2}^1 \\ ... \\ {v_2}^{d_2} \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} {v_1}^1 \\ ... \\ {v_1}^{d_1} \end{pmatrix}\)、ここで、\(v_2 := f (v_1) = {v_2}^l b_{2, l}\); \(R\)がコミュータティブ（可換）でない時は、\({v_1}^j M^l_j b_{2, l}\)はそう表現できない、なぜなら、\({v_1}^j M^l_j \neq M^l_j {v_1}^j\)、一般には、その一方で、\(M \begin{pmatrix} {v_1}^1 \\ ... \\ {v_1}^{d_1} \end{pmatrix}\)は後者を生成する。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(M\)はウェルデファインド（妥当に定義された）であり\({v_1}^j M^l_j b_{2, l}\)はユニークに決定されることを見る; ステップ2: \(f\)はリニア（線形）であると仮定する; ステップ3: \(\forall v_1 = {v_1}^j b_{1, j} \in M_1 (f (v_1) = {v_1}^j M^l_j b_{2, l})\)であることを見る; ステップ4: \(\forall v_1 = {v_1}^j b_{1, j} \in M_1 (f (v_1) = {v_1}^j M^l_j b_{2, l})\)であると仮定する; ステップ5: \(f\)はリニア（線形）であることを見る。
ステップ1:
\(M\)はウェルデファインド（妥当に定義された）であることを見よう。
\(M\)はユニークに決定されることを見よう、任意のベーシス（基底）を持つ任意のモジュール（加群）に対して、任意の要素の当該ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちセット（集合）はユニークであるという命題によって: \(M^l_j b_{2, l}\)は、\(f (b_{1, j})\)の\(B_2\)に関する分解である、ここで、\(M^l_j \in R\)。
\(M\)は本当にある\(d_2 \times d_1\) \(R\)マトリックス（行列）である、なぜなら、\(l \in \{1, ..., d_2\}\)および\(j \in \{1, ..., d_1\}\): ある\(l\)が\(M^l_j b_{2, l}\)内に現われない時は、\(M^l_j := 0\)。
分解\(v_1 = {v_1}^j b_{1, j}\)はユニークである、任意のベーシス（基底）を持つ任意のモジュール（加群）に対して、任意の要素の当該ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちセット（集合）はユニークであるという命題によって: ある\(j\)が\({v_1}^j b_{1, j}\)内に現われない時は、\({v_1}^j := 0\)。
したがって、\({v_1}^j M^l_j b_{2, l}\)はユニークに決定される。
ステップ2:
\(f\)はリニア（線形）であると仮定しよう。
ステップ3:
\(\forall v_1 = {v_1}^j b_{1, j} \in M_1 (f (v_1) = {v_1}^j M^l_j b_{2, l})\)であることを見よう。
\(f (v_1) = f ({v_1}^j b_{1, j}) = {v_1}^j f (b_{1, j})\)、なぜなら、\(f\)はリニア（線形）である、\(= {v_1}^j M^l_j b_{2, l}\)。
ステップ4:
\(\forall v_1 = {v_1}^j b_{1, j} \in M_1 (f (v_1) = {v_1}^j M^l_j b_{2, l})\)であると仮定しよう。
\(v_1 = {v_1}^j b_{1, j}, v'_1 = {v'_1}^j b_{1, j} \in M_1\)および\(r, r' \in R\)を任意のものたちとしよう。
\(f (r v_1 + r' v'_1) = f (r {v_1}^j b_{1, j} + r' {v'_1}^j b_{1, j}) = f ((r {v_1}^j + r' {v'_1}^j) b_{1, j}) = (r {v_1}^j + r' {v'_1}^j) M^l_j b_{2, l} = r ({v_1}^j M^l_j b_{2, l}) + r' ({v'_1}^j M^l_j b_{2, l}) = r f (v_1) + r' f (v'_1)\)、それが意味するのは、\(f\)はリニア（線形）であること。
