ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つものに対して、インナープロダクト（内積）のベーシス（基底）に関するコンポーネントたちマトリックス（行列）はインバーティブル（可逆）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のインナープロダクト（内積）の定義を知っている。
- 読者は、%リング（環）名%マトリックス（行列）たちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、リング（環）上方のスクウェアマトリックス（正方行列）のデターミナント（行列式）の定義を知っている。
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つもののカウンタブル（可算）サブセット（部分集合）のグラム-シュミットオーソノーマライゼーション（正規直交化）の定義を知っている。
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）を持つものに対して、任意のオーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）はリニアにインディペンデント（線形独立）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）数の要素たちを持つリニア（線形）にインディペンデント（独立）な任意のサブセット（部分集合）はベーシス（基底）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のフィールド（体）上方の任意のベクトルたちスペース（空間）および当該フィールド（体）上方の任意のスクウェアマトリックス（正方行列）でディメンショナル（次元）が当該ベクトルたちスペース（空間）のディメンショナル（次元）に等しいかそれより小さいものに対して、当該マトリックス（行列）はインバーティブル（可逆）である、もしも、それが、ベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なあるセット（集合）をベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なセット（集合）へマップする場合、そして、もしも、当該マトリックス（行列）はインバーティブル（可逆）である場合、それは、ベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）な任意のセット（集合）をベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なセット（集合）へマップする、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）を持つものに対して、当該インナープロダクト（内積）の当該ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちマトリックス（行列）はインバーティブル（可逆）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(d\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、任意のインナープロダクト（内積）\(\langle \bullet, \bullet \rangle\)を持つもの
\(B\): \(\in \{V \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}\), \(= \{b_1, ..., b_d\}\)
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } d \times d F \text{ マトリックス（行列）たち }\}\)で、\(M^j_l = \langle b_l, b_j \rangle\)を満たすもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(det M \neq 0\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(B\)のグラム-シュミットオーソノーマライゼーション（正規直交化）\(B' = \{b'_1, ..., b'_d\}\)を取り、\(B'\)に関する\(M'\)は\(I\)であることを見る; ステップ2: \(b_j = b'_l N^l_j\)、ここで、\(det N \neq 0\)、であることを見る; ステップ3: \(M = N^* M' N\)であることを見る; ステップ4: \(det M = det (N^* M' N) \neq 0\)であることを見る。
ステップ1:
\(B\)のグラム-シュミットオーソノーマライゼーション（正規直交化）\(B' = \{b'_1, ..., b'_d\}\)を取ろう。
\(B'\)は\(V\)に対するあるベーシス（基底）である、任意のベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）を持つものに対して、任意のオーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）はリニアにインディペンデント（線形独立）であるという命題および任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）数の要素たちを持つリニア（線形）にインディペンデント（独立）な任意のサブセット（部分集合）はベーシス（基底）であるという命題によって。
\(M'\)を、以下を満たす\(d \times d\) \(F\)マトリックス（行列）、つまり、\(M'^j_l = \langle b'_l, b'_j \rangle\)、としよう。
\(M' = I\)、なぜなら、\(B'\)はオーソノーマル（正規直交）である。
ステップ2:
各\(j \in \{1, ..., d\}\)に対して、\(b_j = b'_l N^l_j\)、ここで、\(N^l_j \in F\)、なぜなら、\(B'\)はあるベーシス（基底）である。
\(det N \neq 0\)、任意のフィールド（体）上方の任意のベクトルたちスペース（空間）および当該フィールド（体）上方の任意のスクウェアマトリックス（正方行列）でディメンショナル（次元）が当該ベクトルたちスペース（空間）のディメンショナル（次元）に等しいかそれより小さいものに対して、当該マトリックス（行列）はインバーティブル（可逆）である、もしも、それが、ベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なあるセット（集合）をベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なセット（集合）へマップする場合、そして、もしも、当該マトリックス（行列）はインバーティブル（可逆）である場合、それは、ベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）な任意のセット（集合）をベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なセット（集合）へマップする、という命題によって。
ステップ3:
\(M^j_l = \langle b_l, b_j \rangle = \langle b'_m N^m_l, b'_n N^n_j \rangle = \overline{N^n_j} \langle b'_m, b'_n \rangle N^m_l = \overline{N^n_j} M'^n_m N^m_l = (N^* M' N)^j_l\)、したがって、\(M = N^* M' N\)。
ステップ4:
\(det M = det (N^* M' N) = det N^* det M' det N \neq 0\)、なぜなら、\(det N^* = \overline{det N} \neq 0\)、\(det M' = det I = 1 \neq 0\)、そして、\(det N \neq 0\)。
