ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持ちインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものに対して、スペース（空間）からスペース（空間）の中へのマップ（写像）はユニタリである、もしも、マップ（写像）はオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）に関するユニタリマトリックス（行列）によって代表される場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持ちインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものから同一ベクトルたちスペース（空間）の中へのユニタリマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）のディメンション（次元）の定義を知っている。
- 読者は、ユニタリマトリックス（行列）の定義を知っている。
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つもののカウンタブル（可算）サブセット（部分集合）のグラム-シュミットオーソノーマライゼーション（正規直交化）の定義を知っている。
- 読者は、任意の同一リング（環）上方の任意のモジュール（加群）で任意の\(d_1\)個要素たちベーシス（基底）を持つものから任意のモジュール（加群）で任意の\(d_2\)個要素たちベーシス（基底）を持つものの中への任意のマップ（写像）に対して、当該マップ（写像）はリニア（線形）である、もしも、当該マップ（写像）は当該\(d_2 \times d_1\)リング（環）マトリックス（行列）によって代表される場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）たち間の任意のバイジェクティブ（全単射）リニアマップ（線形写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意の'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、当該ドメイン（定義域）の任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）または任意のベーシス（基底）のイメージ（像）は、当該コドメイン（余域）上でリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）またはベーシス（基底）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のフィールド（体）上方の任意のベクトルたちスペース（空間）および当該フィールド（体）上方の任意のスクウェアマトリックス（正方行列）でディメンショナル（次元）が当該ベクトルたちスペース（空間）のディメンショナル（次元）に等しいかそれより小さいものに対して、当該マトリックス（行列）はインバーティブル（可逆）である、もしも、それが、ベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なあるセット（集合）をベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なセット（集合）へマップする場合、そして、もしも、当該マトリックス（行列）はインバーティブル（可逆）である場合、それは、ベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）な任意のセット（集合）をベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なセット（集合）へマップする、という命題を認めている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ノルム付きベクトルたちスペース（空間）から任意のノルム付きベクトルたちスペース（空間）の中への任意のリニアマップ（線形写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のノルムたちによってインデュースト（誘導された）任意のベクトルたちメトリックスペース（計量付き空間）たち間の任意のリニアマップ（線形写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、それがバウンデッド（有界）である場合、その場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）数の要素たちを持つリニア（線形）にインディペンデント（独立）な任意のサブセット（部分集合）はベーシス（基底）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）間において、任意のベーシス（基底）を任意のベーシス（基底）の上へバイジェクティブ（全単射）にマップし当該マッピングをリニア（線形）に拡張する任意のマップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）を持ちインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの、当該スペース（空間）から当該スペース（空間）の中への任意のマップ（写像）に対して、当該マップ（写像）は任意のオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）に関するユニタリマトリックス（行列）によって代表される、もしも、当該マップ（写像）はユニタリである場合、そして、当該マップ（写像）はユニタリである、もしも、当該マップ（写像）はあるオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）に関するユニタリマトリックス（行列）によって代表される場合、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(d\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、任意のインナープロダクト（内積）\(\langle \bullet, \bullet \rangle\)を持ち、当該インナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの
\(f\): \(: V \to V\)
//
ステートメント（言明）たち:
(
\(f \in \{\text{ 全てのユニタリマップ（写像）たち }\}\)
\(\implies\)
\(\forall B = \{b_1, ..., b_d\} \in \{V \text{ に対する全てのオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）たち }\} \text{ で、以下を満たす } d \times d F \text{ マトリックス（行列 } M \text{ 、つまり、 } f (b_j) = M^l_j b_l \text{ 、を持つもの } (\forall v = v^j b_j \in V (f (v) = v^j M^l_j b_l) \land M \in \{\text{ 全てのユニタリマトリックス（行列）たち }\})\)
)
\(\land\)
(
\(\exists B = \{b_1, ..., b_d\} \in \{V \text{ に対する全てのオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）たち }\} \text{ で、以下を満たす } d \times d F \text{ マトリックス（行列） } M \text{ 、つまり、 } f (b_j) = M^l_j b_l \text{ 、を持つもの } (\forall v = v^j b_j \in V (f (v) = v^j M^l_j b_l) \land M \in \{\text{ 全てのユニタリマトリックス（行列）たち }\})\)
\(\implies\)
\(f \in \{\text{ 全てのユニタリマップ（写像）たち }\}\)
)
//
2: 注
オーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）たち（単なるベーシス（基底）たちでなく）を選ぶ必要がある、"証明"内で見られるとおり。
\(f\)がユニタリであると結論するためには、ある単一のオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）に関してのみチェックすればよい、その一方で、もしも、\(f\)がユニタリである場合、それは、任意のオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）に関してユニタリマトリックス（行列）によって代表される。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f\)はユニタリマップ（写像）であると仮定する; ステップ2: 任意のオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）\(B\)を取り、\(f\)は\(M\)によって代表されることを見る; ステップ3: \(M\)はユニタリであることを見る; ステップ4: \(f\)はあるオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）\(B\)に関してユニタリマトリックス（行列）によって代表されると仮定する; ステップ5: \(f\)はユニタリマップ（写像）であることを見る。
ステップ1:
\(f\)は任意のユニタリマップ（写像）であると仮定する。
ステップ2:
\(V\)に対する任意のオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）\(B = \{b_1, ..., b_d\}\)を取ろう、それは、可能である、ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つもののカウンタブル（可算）サブセット（部分集合）のグラム-シュミットオーソノーマライゼーション（正規直交化）の定義によって。
\(f\)はリニア（線形）である、ユニタリマップ（写像）の定義によって。
したがって、\(f\)は、\(B\)に関する以下を満たす\(d \times d\) \(F\)マトリックス（行列）\(M\)、つまり、\(f (b_j) = M^l_j b_l\)、によって代表される、任意の同一リング（環）上方の任意のモジュール（加群）で任意の\(d_1\)個要素たちベーシス（基底）を持つものから任意のモジュール（加群）で任意の\(d_2\)個要素たちベーシス（基底）を持つものの中への任意のマップ（写像）に対して、当該マップ（写像）はリニア（線形）である、もしも、当該マップ（写像）は当該\(d_2 \times d_1\)リング（環）マトリックス（行列）によって代表される場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
ステップ3:
残る課題は、\(M\)はユニタリであることを見ることである。
\(f\)はインバース（逆）\(f^{-1} = f^*\)を持つ、なぜなら、\(f\)はユニタリである: \(V^* = V\)、したがって、\(f^*: V \to V\)、そして、\(f^* \circ f = f \circ f^* = id\)、それが含意するのは、\(f^* = f^{-1}\)。
したがって、\(f\)はバイジェクティブ（全単射）であり、'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意のベクトルたちスペース（空間）たち間の任意のバイジェクティブ（全単射）リニアマップ（線形写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。
したがって、\(f\)はベーシス（基底）\(B\)をあるベーシス（基底）へマップする、任意の'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、当該ドメイン（定義域）の任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）または任意のベーシス（基底）のイメージ（像）は、当該コドメイン（余域）上でリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）またはベーシス（基底）であるという命題、そして、\(M\)はインバーティブル（可逆）である、任意のフィールド（体）上方の任意のベクトルたちスペース（空間）および当該フィールド（体）上方の任意のスクウェアマトリックス（正方行列）でディメンショナル（次元）が当該ベクトルたちスペース（空間）のディメンショナル（次元）に等しいかそれより小さいものに対して、当該マトリックス（行列）はインバーティブル（可逆）である、もしも、それが、ベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なあるセット（集合）をベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なセット（集合）へマップする場合、そして、もしも、当該マトリックス（行列）はインバーティブル（可逆）である場合、それは、ベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）な任意のセット（集合）をベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なセット（集合）へマップする、という命題によって。
\(f^{-1} \circ f (b_j) = b_j\)、しかし、左辺は、\(f^{-1} (M^l_j b_l) = M^l_j f^{-1} (b_l)\)である。
したがって、\({M^{-1}}^j_m b_j = {M^{-1}}^j_m M^l_j f^{-1} (b_l) = \delta^l_m f^{-1} (b_l) = f^{-1} (b_m)\)。
\(f\)はユニタリであるから、\(\langle b_l, f (b_j) \rangle = \langle f^* (b_l), b_j \rangle = \langle f^{-1} (b_l), b_j \rangle\)、しかし、左辺は、\(\langle b_l, M^m_j b_m \rangle = \overline{M^m_j} \langle b_l, b_m \rangle = \overline{M^m_j} \delta^l_m\)である、なぜなら、\(B\)はオーソノーマル（正規直交）である、\(= \overline{M^l_j}\)、その一方、右辺は、\(\langle {M^{-1}}^m_l b_m, b_j \rangle = {M^{-1}}^m_l \langle b_m, b_j \rangle = {M^{-1}}^m_l \delta^j_m = {M^{-1}}^j_l\)である。
したがって、\(\overline{M^l_j} = {M^{-1}}^j_l\)、それが意味するのは、\(M^* = M^{-1}\)。
したがって、\(M\)はユニタリである。
注意として、もしも、\(B\)がオーソノーマル（正規直交）であるように選ばれなかったら、\(M\)はユニタリであるとは保証されない: \(B\)をオーソゴーナル（直交）で何らかの\(j, l\)に対して\(\langle b_j, b_j \rangle \neq \langle b_l, b_l \rangle\)であるとしよう、それは可能である、なぜなら、それは、単に、\(b_j\)および\(b_l\)の何らかのスカラー倍を取るという問題である、すると、左辺は、\(\overline{M^m_j} \langle b_l, b_m \rangle = \overline{M^l_j} \langle b_l, b_l \rangle\)である、その一方で、右辺は、\({M^{-1}}^m_l \langle b_m, b_j \rangle = {M^{-1}}^j_l \langle b_j, b_j \rangle\)である、したがって、\(\overline{M^l_j} \langle b_l, b_l \rangle = {M^{-1}}^j_l \langle b_j, b_j \rangle\)、それが含意するのは、\(\overline{M^l_j} \neq {M^{-1}}^j_l\)、したがって、\(M\)はユニタリでない。
ステップ4:
\(f\)はあるオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）\(B\)に関する以下を満たすユニタリマトリックス（行列）、つまり、\(f (b_j) = M^l_j b_l\)、によって代表されると仮定しよう。
ステップ5:
\(f\)はリニア（線形）である、任意の同一リング（環）上方の任意のモジュール（加群）で任意の\(d_1\)個要素たちベーシス（基底）を持つものから任意のモジュール（加群）で任意の\(d_2\)個要素たちベーシス（基底）を持つものの中への任意のマップ（写像）に対して、当該マップ（写像）はリニア（線形）である、もしも、当該マップ（写像）は当該\(d_2 \times d_1\)リング（環）マトリックス（行列）によって代表される場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
\(f\)はバウンデッド（有界）である、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ノルム付きベクトルたちスペース（空間）から任意のノルム付きベクトルたちスペース（空間）の中への任意のリニアマップ（線形写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題および任意のノルムたちによってインデュースト（誘導された）任意のベクトルたちメトリックスペース（計量付き空間）たち間の任意のリニアマップ（線形写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、それがバウンデッド（有界）である場合、その場合に限って、という命題によって。
\(M\)はインバーティブル（可逆）である、したがって、\(f (b_j) = M^l_j b_l\)はベーシス（基底）\(B\)をあるベーシス（基底）へマップする、任意のフィールド（体）上方の任意のベクトルたちスペース（空間）および当該フィールド（体）上方の任意のスクウェアマトリックス（正方行列）でディメンショナル（次元）が当該ベクトルたちスペース（空間）のディメンショナル（次元）に等しいかそれより小さいものに対して、当該マトリックス（行列）はインバーティブル（可逆）である、もしも、それが、ベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なあるセット（集合）をベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なセット（集合）へマップする場合、そして、もしも、当該マトリックス（行列）はインバーティブル（可逆）である場合、それは、ベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）な任意のセット（集合）をベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なセット（集合）へマップする、という命題および任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）数の要素たちを持つリニア（線形）にインディペンデント（独立）な任意のサブセット（部分集合）はベーシス（基底）であるという命題によって。
\(f\)はある'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意のベクトルたちスペース（空間）間において、任意のベーシス（基底）を任意のベーシス（基底）の上へバイジェクティブ（全単射）にマップし当該マッピングをリニア（線形）に拡張する任意のマップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。
したがって、インバース（逆）\(f^{-1}: V \to V\)がある。
\(f^{-1} \circ f (b_j) = b_j\)、しかし、左辺は、\(f^{-1} (M^l_j b_l) = M^l_j f^{-1} (b_l)\)である。
したがって、\({M^{-1}}^j_m b_j = {M^{-1}}^j_m M^l_j f^{-1} (b_l) = \delta^l_m f^{-1} (b_l) = f^{-1} (b_m)\)。
各\(v = v^j b_j, v' = v'^l b_l \in V\)に対して、\(\langle v', f (v) \rangle = \langle v'^l b_l, f (v^j b_j) \rangle = v'^l \langle b_l, v^j f (b_j) \rangle = v'^l \langle b_l, v^j M^m_j b_m \rangle = v'^l \overline{v^j} \overline{M^m_j} \langle b_l, b_m \rangle = v'^l \overline{v^j} \overline{M^m_j} \delta^m_l = v'^l \overline{v^j} \overline{M^l_j} = v'^l \overline{v^j} {M^*}^j_l\)。
他方で、\(\langle f^{-1} (v'), v \rangle = \langle f^{-1} (v'^l b_l), v^j b_j \rangle = \overline{v^j} \langle v'^l f^{-1} (b_l), b_j \rangle = \overline{v^j} \langle v'^l {M^{-1}}^m_l b_m, b_j \rangle = v'^l \overline{v^j} {M^{-1}}^m_l \langle b_m, b_j \rangle = v'^l \overline{v^j} {M^{-1}}^m_l \delta_{m, j} = v'^l \overline{v^j} {M^{-1}}^j_l\)。
\(M\)はユニタリであるから、\(M^* = M^{-1}\)、したがって、\(\langle v', f (v) \rangle = \langle f^{-1} (v'), v \rangle\)、それが意味するのは、\(f^* = f^{-1}\)。
したがって、\(V^* = V\)および\(f^* \circ f = f \circ f^* = id\)。
したがって、\(f\)はユニタリである。
