トポロジカルクワジコネクテッド（ほぼ連結された）コンポーネントはクローズド（閉）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルクワジコネクテッド（ほぼ連結された）コンポーネントの定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のクローズドサブセット（閉部分集合）の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、コドメイン（余域）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意の、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数のクローズドセット（閉集合）たちのインターセクション（共通集合）または任意の、有限数のクローズドセット（閉集合）たちのユニオン（和集合）は、クローズド（閉）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、各クワジコネクテッド（ほぼ連結された）コンポーネントはクローズド（閉）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(C\): \(\in \{T \text{ の全てのクワジコネクテッド（ほぼ連結された）コンポーネントたち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(C \in \{T \text{ の全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意の\(c \in C\)を取り、\(C = \cap_{f \in F} f^{-1} (f (c))\)であることを見る。
ステップ1:
\(c \in C\)を任意のものとしよう。
\(C = \{t \in T \vert \forall f \in F (f (t) = f (c))\}\)。
\(C = \cap_{f \in F} f^{-1} (\{f (c))\}\)、なぜなら、各\(t \in \{t \in T \vert \forall f \in F (f (t) = f (c))\}\)に対して、各\(f \in F\)に対して、\(f (t) = f (c)\)、したがって、\(t \in f^{-1} (f (c))\)、各\(f \in F\)に対して、したがって、\(t \in \cap_{f \in F} f^{-1} (\{f (c))\})\); 各\(t \in \cap_{f \in F} f^{-1} (\{f (c))\})\)に対して、\(t \in f^{-1} (\{f (c))\})\)、各\(f \in F\)に対して、したがって、\(f (t) = f (c)\)、各\(f \in F\)、したがって、\(t \in \{t \in T \vert \forall f \in F (f (t) = f (c))\}\)。
\(\{f (c)\} \subseteq T'\)はクローズド（閉）である、なぜなら、\(T' \setminus \{f (c)\} \subseteq T'\)はオープン（開）である。
したがって、\(f^{-1} (\{f (c)) \subseteq T\)はクローズド（閉）である、任意のトポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、コドメイン（余域）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
\(\cap_{f \in F} f^{-1} (\{f (c))\} \subseteq T\)はクローズド（閉）である、任意の、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数のクローズドセット（閉集合）たちのインターセクション（共通集合）または任意の、有限数のクローズドセット（閉集合）たちのユニオン（和集合）は、クローズド（閉）であるという命題によって。
したがって、\(C \subseteq T\)はクローズド（閉）である。
