トポロジカルスペース（空間）に対して、コネクテッド（連結された）コンポーネントは、クワジコネクテッド（ほぼ連結された）コンポーネント内に包含されることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルコネクテッド（連結された）コンポーネント.
- 読者は、トポロジカルクワジコネクテッド（ほぼ連結された）コンポーネントの定義を知っている。
- 読者は、任意のマップ（写像）のコドメイン（余域）全体のプリイメージ（前像）はドメイン（定義域）全体であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のディスジョイント（互いに素な）サブセット（部分集合）たちの任意のマップ（写像）下のプリイメージ（前像）たちはディスジョイント（互いに素）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のセット（集合）に対して、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）と任意のサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントは、より大きくはできない任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）に他ならないという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、各コネクテッド（連結された）コンポーネントは、対応するクワジコネクテッド（ほぼ連結された）コンポーネント内に包含されるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(C\): \(\in \{T \text{ の全てのコネクテッド（連結された）コンポーネントたち }\}\)
\(C'\): \(\in \{T \text{ の全てのクワジコネクテッド（ほぼ連結された）コンポーネントたち }\}\)で、任意の固定された\(c \in C\)に対して、\(c \in C'\)を満たすもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(C \subseteq C'\)
//
任意の固定された\(c \in C\)に対して、\(c \in C'\)を満たす決定された\(C'\)があり、そうした\(C'\)は\(c\)に依存しない、本命題によって。
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意の固定された\(c \in C\)および\(c \in C'\)を満たす決定された\(C'\)を取る; ステップ2: 各\(c' \in C\)に対して、各\(f \in F\)に対して、\(f (c') = f (c)\)であることを見る。
ステップ1:
任意の固定された\(c \in C\)を取ろう。
\(c \in C'\)を満たす決定された\(C'\)がある、それは、本当に決定される、なぜなら、\(C'\)はあるイクイバレンス（同値）クラスであり、任意のイクイバレンス（同値）クラスたちセット（集合）は、当該セット（集合）のあるディビジョン（分割）である。
ステップ2:
\(f \in F: T \to T'\)を任意のものとしよう。
\(T = f^{-1} (T')\)、任意のマップ（写像）のコドメイン（余域）全体のプリイメージ（前像）はドメイン（定義域）全体であるという命題によって、\(= f^{-1} (\{f (c)\} \cup (T' \setminus \{f (c)\})) = f^{-1} (\{f (c)\}) \cup f^{-1} (T' \setminus \{f (c)\})\)、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって。
\(f^{-1} (\{f (c)\}) \cap f^{-1} (T' \setminus \{f (c)\}) = \emptyset\)、任意のディスジョイント（互いに素な）サブセット（部分集合）たちの任意のマップ（写像）下のプリイメージ（前像）たちはディスジョイント（互いに素）であるという命題によって。
\(f^{-1} (\{f (c)\})\)および\(f^{-1} (T' \setminus \{f (c)\})\)は\(T\)の何らかのオープンサブセット（開部分集合）たちである、なぜなら、\(T'\)はディスクリート（離散）であり\(f\)はコンティニュアス（連続）である。
\(C = T \cap C = (f^{-1} (\{f (c)\}) \cup f^{-1} (T' \setminus \{f (c)\})) \cap C = (f^{-1} (\{f (c)\}) \cap C) \cup (f^{-1} (T' \setminus \{f (c)\}) \cap C)\)、任意のセット（集合）に対して、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）と任意のサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって。
\(f^{-1} (\{f (c)\}) \cap C\)および\(f^{-1} (T' \setminus \{f (c)\}) \cap C\)はトポロジカルサブスペース（部分空間）としての\(C\)の何らかのオープンサブセット（開部分集合）たちであり、\((f^{-1} (\{f (c)\}) \cap C) \cap (f^{-1} (T' \setminus \{f (c)\}) \cap C) = \emptyset\)、なぜなら、\(f^{-1} (\{f (c)\}) \cap f^{-1} (T' \setminus \{f (c)\}) = \emptyset\)。
したがって、\(C\)は\(T\)のあるコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）である、任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントは、より大きくはできない任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）に他ならないという命題によって、\(f^{-1} (T' \setminus \{f (c)\}) \cap C = \emptyset\): \(f^{-1} (\{f (c)\}) \cap C \neq \emptyset\)、なぜなら、\(c \in f^{-1} (\{f (c)\}) \cap C\)。
それが意味するのは、\(f (C) \subseteq \{f (c)\}\)、それが意味するのは、各\(c' \in C\)に対して、\(f (c') = f (c)\)。
それが意味するのは、\(C \subseteq C'\)。
