コンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）はノーマル（正規）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コンパクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）はコンパクトであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）はノーマル（正規）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(T \in \{\text{ 全てのノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 以下を満たす任意のクローズド（閉）\(C_1, C_2\)、つまり、\(C_1 \cap C_2 = \emptyset\)、を取る; ステップ2: 各\(c_1 \in C_1\)に対して、各\(c_2 \in C_2\)に対して、以下を満たす、\(c_1\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{c_1, c_2}\)および\(c_2\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{c_2}\)、つまり、\(U_{c_1, c_2} \cap U_{c_2} = \emptyset\)、を取り、\(C_2\)をカバーするあるファイナイト（有限）\(\{U_{c_{2, j}}\}\)を取り、\(U_{c_1} := \cap U_{c_1, c_{2, j}}\)および\(U_{C_2} := \cup U_{c_{2, j}}\)を取る; ステップ3: \(C_1\)をカバーするあるファイナイト（有限）\(\{U_{c_{1, j}}\}\)を取り、\(\cup U_{c_{1, j}}\)および\(\cap U_{C_2, c_{1, j}}\)を取る。
ステップ1:
\(C_1, C_2 \subseteq T\)を、以下を満たす任意のクローズドサブセット（閉部分集合）たち、つまり、\(C_1 \cap C_2 = \emptyset\)、としよう。
ステップ2:
\(c_1 \in C_1\)を任意のものとしよう、それは、本ステップを通して固定される。
\(c_2 \in C_2\)を任意のものとしよう。
以下を満たす、\(c_1\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{c_1, c_2}\)および\(c_2\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{c_2}\)、つまり、\(U_{c_1, c_2} \cap U_{c_2} = \emptyset\)、がある、なぜなら、\(T\)はハウスドルフである: \(U_{c_1, c_2}\)は\(c_2\)に依存する（\(U_{c_2}\)も\(c_1\)に依存するが、\(c_1\)は本ステップ内で固定されているので、この依存性は明示的に表記されていない）。
\(\{U_{c_2} \vert c_2 \in C_2\}\)は\(C_2\)のあるオープンカバー（開被覆）である。
\(C_2\)は\(T\)のあるコンパクトサブセット（部分集合）である、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）はコンパクトであるという命題によって。
したがって、\(\{U_{c_2} \vert c_2 \in C_2\}\)のあるファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）\(\{U_{c_{2, j}} \vert j \in J\}\)がある。
\(U_{c_1} := \cap_{j \in J} U_{c_1, c_{2, j}}\)および\(U_{C_2} := \cup_{j \in J} U_{c_{2, j}}\)を取ろう。
\(U_{c_1}\)は\(c_1\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）である、あるファイナイト（有限）インターセクション（共通集合）として。
\(U_{C_2}\)は\(C_2\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）である。
\(U_{c_1} \cap U_{C_2} = \emptyset\)、なぜなら、各\(j \in J\)に対して、\(U_{c_1} \subseteq U_{c_1, c_{2, j}}\)、したがって、\(U_{c_1} \cap U_{c_{2, j}} = \emptyset\)、したがって、\(U_{c_1} \cap U_{C_2} = \emptyset\)。
ステップ3:
ステップ2によって、各\(c_1 \in C_1\)に対して、以下を満たす、\(c_1\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{c_1}\)および\(U_{C_2, c_1}\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）、つまり、\(U_{c_1} \cap U_{C_2, c_1} = \emptyset\)、がある: \(U_{C_2, c_1}\)は\(c_1\)に依存する。
\(\{U_{c_1} \vert c_1 \in C_1\}\)は\(C_1\)のあるオープンカバー（開被覆）である。
\(C_1\)は\(T\)のあるコンパクトサブセット（部分集合）である、前と同様。
したがって、\(\{U_{c_1} \vert c_1 \in C_1\}\)のあるファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）\(\{U_{c_{1, j}} \vert j \in J\}\)がある。
\(U_{C_1} := \cup_{j \in J} U_{c_{1, j}}\)および\(U_{C_2} := \cap_{j \in J} U_{C_2, c_{1, j}}\)を取ろう。
\(U_{C_1}\)は\(C_1\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）である。
\(U_{C_2}\)は\(C_2\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）である、オープンネイバーフッド（開近傍）たちのあるファイナイト（有限）インターセクション（共通集合）として。
\(U_{C_1} \cap U_{C_2} = \emptyset\)、なぜなら、各\(j \in J\)に対して、\(U_{C_2} \subseteq U_{C_2, c_{1, j}}\)、したがって、\(U_{c_{1, j}} \cap U_{C_2} = \emptyset\)、したがって、\(U_{C_1} \cap U_{C_2} = \emptyset\)。
したがって、\(T\)はノーマル（正規）である。
