トポロジカルスペース（空間）はハウスドルフである、もしも、そのダイゴーナル（対角線）がクローズド（閉）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）はハウスドルフである、もしも、そのダイゴーナル（対角線）がクローズド（閉）である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T \times T\): \(= \text{ 当該プロダクトトポロジカルスペース（空間） }\)
\(S\): \(= \{(t, t) \in T \times T \vert t \in T\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(T \in \{\text{ 全てのハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(\iff\)
\(S \in \{T \times T \text{ の全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(T\)はハウスドルフであると仮定する; ステップ2: \(T \times T \setminus S\)はオープン（開）であることを見る、オープン（開）であることのローカル基準を使って; ステップ3: \(S\)はクローズド（閉）であると仮定する; ステップ4: \(T\)はハウスドルフであることを見る、オープン（開）であることのローカル基準を使って。
ステップ1:
\(T\)はハウスドルフであると仮定しよう。
ステップ2:
\(T \times T \setminus S \subseteq T \times T\)はオープン（開）であることを見よう。
\((t_1, t_2) \in T \times T \setminus S\)を任意のものとしよう。
\(t_1 \neq t_2\)。
\(T\)はハウスドルフであるから、以下を満たす、\(t_1\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{t_1} \subseteq T\)および\(t_2\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{t_2} \subseteq T\)、つまり、\(U_{t_1} \cap U_{t_2} = \emptyset\)、がある。
\(U_{t_1} \times U_{t_2} \subseteq T \times T\)は\((t_1, t_2)\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）である。
\(U_{t_1} \times U_{t_2} \subseteq T \times T \setminus S\)、なぜなら、各\((t'_1, t'_2) \in U_{t_1} \times U_{t_2}\)に対して、\(t'_1 \neq t'_2\)、なぜなら、\(U_{t_1} \cap U_{t_2} = \emptyset\)。
したがって、オープン（開）であることのローカル基準によって、\((T \times T) \setminus S\)はオープン（開）である。
したがって、\(S\)はクローズド（閉）である。
ステップ3:
\(S\)はクローズド（閉）であると仮定しよう。
ステップ4:
\((T \times T) \setminus S \subseteq T \times T\)はオープン（開）である。
\(t_1, t_2 \in T\)を、\(t_1 \neq t_2\)を満たす任意のものとしよう。
\((t_1, t_2) \in (T \times T) \setminus S\)。
\((t_1, t_2)\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{(t_1, t_2)} \subseteq T \times T\)、つまり、\(U_{(t_1, t_2)} \subseteq (T \times T) \setminus S\)、がある、オープン（開）であることのローカル基準によって。
以下を満たす、\(t_1\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{t_1} \subseteq T\)および\(t_2\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{t_2} \subseteq T\)、つまり、\(U_{t_1} \times U_{t_2} \subseteq U_{(t_1, t_2)}\)、がある、任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）および任意のポイントの任意のネイバーフッド（近傍）に対して、当該ポイントのあるオープンネイバーフッド（開近傍）で当該ネイバーフッド（近傍）内に包含されているものが当該ポイントのコンポーネントたちの何らかのオープンネイバーフッド（開近傍）たちのプロダクトとしてあるという命題、がある。
\(U_{t_1} \cap U_{t_2} = \emptyset\)、なぜなら、各\((t'_1, t'_2) \in U_{t_1} \times U_{t_2}\)に対して、\((t'_1, t'_2) \in U_{(t_1, t_2)} \subseteq (T \times T) \setminus S\)、それが含意するのは、\(t'_1 \neq t'_2\)、したがって、各\(t'_1 \in U_{t_1}\)に対して、\(t'_1 \notin U_{t_2}\)。
したがって、\(T\)はハウスドルフである。
