ノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）、クローズドサブセット（閉部分集合）、クローズドサブセット（閉部分集合）を包含するオープンサブセット（開部分集合）に対して、クローズドインターバル（閉区間）の中へのコンティニュアスマップ（連続写像）でクローズドサブセット（閉部分集合）をバウンダリー（境界）へオープンサブセット（開部分集合）のコンプリメント（補集合）を他のバウンダリー（境界）へマップするものがある（ユリソーンの補助定理）の記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のクローズドサブセット（閉部分集合）の定義を知っている。
- 読者は、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）の定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）な、トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）はノーマル（正規）である、もしも、各オープンサブセット（開部分集合）に対して、当該オープンサブセット（開部分集合）内に包含されている各クローズドサブセット（閉部分集合）に対して、あるオープンサブセット（開部分集合）で当該クローズドサブセット（閉部分集合）を包含しそのクロージャー（閉包）が当該オープンサブセット（開部分集合）内に包含されているものがある場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意の\(2\)個の異なる非負リアルナンバー（実数）たちおよび\(1\)より大きい任意のナチュラルナンバー（自然数）に対して、何らかの第2および第3ナチュラルナンバー（自然数）たちで第3ナンバー（数）を当該ナンバー（数）の第2ナンバー（数）乗で割ったものが厳密に当該リアルナンバー（実数）たち間内にあるものたちがあるという命題を認めている。
- 読者は、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）に対して、全てのアッパーバウンデッド（上方有界）オープンインターバル（開区間）たちおよび全てのローワーバウンデッド（下方有界）オープンインターバル（開区間）たちのセット（集合）はあるサブベーシス（基底）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間任意のマップ（写像）のコンティニュアス（連続）性をチェックするためには、任意のベーシス（基底）または任意のサブベーシス（基底）のみのプリイメージ（前像）たちだけをチェックすれば十分であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間の任意のマップ（写像）たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）、任意のクローズドサブセット（閉部分集合）、当該クローズドサブセット（閉部分集合）を包含する任意のオープンサブセット（開部分集合）に対して、任意のクローズドインターバル（閉区間）の中へのあるコンティニュアスマップ（連続写像）で当該クローズドサブセット（閉部分集合）を当該クローズドインターバル（閉区間）の任意のバウンダリー（境界）へ当該オープンサブセット（開部分集合）のコンプリメント（補集合）を他のバウンダリー（境界）へマップするものがある（ユリソーンの補助定理）という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(C\): \(\in \{T \text{ の全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たち }\}\)
\(U\): \(\in \{T \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}\)で、\(C \subseteq U\)を満たすもの
\(\mathbb{R}\): \(= \text{ 当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)
\([r_1, r_2]\): \(\subseteq \mathbb{R}\)で、サブスペース（部分空間）トポロジーを持つもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists f: T \to [r_1, r_2] \in \{\text{ 全てのコンティニュアスマップ（連続写像）たち }\} (f (C) = \{r_1\} \land f (T \setminus U) = \{r_2\})\)
\(\land\)
\(\exists f: T \to [r_1, r_2] \in \{\text{ 全てのコンティニュアスマップ（連続写像）たち }\} (f (C) = \{r_2\} \land f (T \setminus U) = \{r_1\})\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(J := \{m / 2^n \vert n \in \mathbb{N}, m \in \mathbb{N} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } 0 \le m \le 2^n\}\)を取り、以下を満たす\(\{U_j \vert j \in J\}\)、つまり、\(j_1 \lt j_2\)を満たす各\(j_1, j_2 \in J\)に対して、\(\overline{U_{j_1}} \subseteq U_{j_2}\)、を取る; ステップ2: \(f': T \to [0, 1], t \mapsto 1 \text{ 、 } t \notin U_1 \text{ である時 }; \mapsto Inf (\{j \in J \vert t \in U_j\}) \text{ 、 } t \in U_1 \text{ である時 }\)を取り、\(f'\)はコンティニュアス（連続）であることを見る; ステップ3: 以下を満たすあるコンティニュアス（連続）\(g: [0, 1] \to [r_1, r_2]\)、つまり、\(g (0) = r_1\)および\(g (1) = r_2\)または\(g (0) = r_2\)および\(g (1) = r_1\)、を取る; ステップ4: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(J := \{m / 2^n \vert n \in \mathbb{N}, m \in \mathbb{N} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } 0 \le m \le 2^n\}\)を取ろう。
\(U_1 := U\)としよう。
以下を満たすあるオープン（開）\(U_0 \subseteq T\)、つまり、\(C \subseteq U_0 \subseteq \overline{U_0} \subseteq U_1\)、がある、任意のトポロジカルスペース（空間）はノーマル（正規）である、もしも、各オープンサブセット（開部分集合）に対して、当該オープンサブセット（開部分集合）内に包含されている各クローズドサブセット（閉部分集合）に対して、あるオープンサブセット（開部分集合）で当該クローズドサブセット（閉部分集合）を包含しそのクロージャー（閉包）が当該オープンサブセット（開部分集合）内に包含されているものがある場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
今や、私たちは、\(n = 0\)に対して、\(J_n := \{m / 2^n \vert m \in \mathbb{N} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } 0 \le m \le 2^n\}\)に対して、以下を満たす\(\{U_j \vert j \in J_n\}\)、つまり、\(j_1 \lt j_2\)を満たす各\(j_1, j_2 \in J_n\)に対して、\(\overline{U_{j_1}} \subseteq U_{j_2}\)、を持つ。
以下を満たすあるオープン（開）\(U_{1 / 2^1} \subseteq T\)、つまり、\(\overline{U_0} \subseteq U_{1 / 2^1} \subseteq \overline{U_{1 / 2^1}} \subseteq U_1\)、がある、前と同様。
今や、私たちは、\(n = 1\)に対して、\(J_n := \{m / 2^n \vert m \in \mathbb{N} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } 0 \le m \le 2^n\}\)に対して、以下を満たす\(\{U_j \vert j \in J_n\}\)、つまり、\(j_1 \lt j_2\)を満たす各\(j_1, j_2 \in J_n\)に対して、\(\overline{U_{j_1}} \subseteq U_{j_2}\)、を持つ。
私たちは、\(n = n' - 1\)に対して、\(J_n := \{m / 2^n \vert m \in \mathbb{N} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } 0 \le m \le 2^n\}\)に対して、以下を満たす\(\{U_j \vert j \in J_n\}\)、つまり、\(j_1 \lt j_2\)を満たす各\(j_1, j_2 \in J_n\)に対して、\(\overline{U_{j_1}} \subseteq U_{j_2}\)、を持つ、と仮定しよう。
\(n = n'\)に対して、\(J_n := \{m / 2^n \vert m \in \mathbb{N} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } 0 \le m \le 2^n\}\)に対して、以下を満たす\(\{U_j \vert j \in J_n\}\)、つまり、各\((2 p + 1) / 2^n \in J_n\)、ここで、\(p \in \mathbb{N}\)で\(0 \le p \lt 2^{n - 1} - 1\)を満たすもの、に対して、\(\overline{U_{(2 p) / 2^n}} \subseteq U_{(2 p + 1) / 2^n} \subseteq \overline{U_{(2 p + 1) / 2^n}} \subseteq U_{(2 p + 2) / 2^n}\)、を取る、それは可能である、なぜなら、\(\overline{U_{(2 p) / 2^n}} = \overline{U_{p / 2^{n - 1}}} \subseteq U_{(p + 1) / 2^{n - 1}} = U_{(2 p + 2) / 2^n}\): 各\(U_{(2 p) / 2^n} = U_{p / 2^{n - 1}}\)および\(U_{2^n / 2^n} = U_1\)は既に決定されている。
今や、私たちは、\(n = n'\)に対して、\(J_n := \{m / 2^n \vert m \in \mathbb{N} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } 0 \le m \le 2^n\}\)に対して、以下を満たす\(\{U_j \vert j \in J_n\}\)、つまり、\(j_1 \lt j_2\)を満たす各\(j_1, j_2 \in J_n\)に対して、\(\overline{U_{j_1}} \subseteq U_{j_2}\)、を持つ、なぜなら、\(j_1, j_2 \in J_{n - 1}\)である時、それは成立する; \(j_1 = (2 p + 1) / 2^n \in J_n \setminus J_{n - 1}\)である時、\((2 p + 2) / 2^n \le j_2\)、そして、\(\overline{U_{j_1}} \subseteq U_{(2 p + 2) / 2^n}\)であるところ、\(j_2 \in J_{n - 1}\)である時、\(U_{(2 p + 2) / 2^n} \subseteq U_{j_2}\)が成立する、そして、そうでない場合、\(j_2 = (2 p' + 1) / 2^n\)、そして、\(\overline{U_{(2 p') / 2^n}} \subseteq U_{j_2}\)、しかし、\(U_{(2 p + 2) / 2^n} \subseteq U_{(2 p') / 2^n}\); \(j_2 = (2 p + 1) / 2^n \in J_n \setminus J_{n - 1}\)である時、\(j_1 \le (2 p) / 2^n\)、そして、\(\overline{U_{(2 p) / 2^n}} \subseteq U_{j_2}\)であるところ、\(j_1 \in J_{n - 1}\)である時、\(\overline{U_{j_1}} \subseteq \overline{U_{(2 p) / 2^n}}\)は成立する、そして、そうでない場合、\(j_1 = (2 p' + 1) / 2 ^n\)、そして、\(\overline{U_{j_1}} \subseteq U_{(2 p' + 2) / 2 ^n}\)、しかし、\(U_{(2 p' + 2) / 2 ^n} \subseteq U_{(2 p) / 2^n}\)。
したがって、インダクティブ（帰納的）に、私たちは、\(\{U_j \vert j \in J\}\)を持つ。
\(j_1 \lt j_2\)を満たす各\(j_1, j_2 \in J\)に対して、\(\overline{U_{j_1}} \subseteq U_{j_2}\)、なぜなら、\(j_1 = m / 2^n\)および\(j_2 = m' / 2^{n'}\)であるところ、\(n = n'\)である時、それが成立することを、私たちは既に知っている、なぜなら、\(j_1, j_2 \in J_n\); \(n \lt n'\)である時、\(j_1 = (2^{n ' - n} m) / 2^{n'}\)、したがって、\(j_1, j_2 \in J_{n'}\)、したがって、それは成立する; \(n' \lt n\)である時、\(j_2 = (2^{n - n'} m') / 2^n\)、したがって、\(j_1, j_2 \in J_n\)、したがって、それは成立する。
ステップ2:
\(f': T \to [0, 1], t \mapsto 1 \text{ 、 } t \notin U_1 \text{ である時 }; \mapsto Inf (\{j \in J \vert t \in U_j\}) \text{ 、 } t \in U_1 \text{ である時 }\)を定義しよう。
本定義は妥当である、なぜなら、\(\{j \in J \vert t \in U_j\}\)は空でない、\(t \in U_1\)である時、なぜなら、\(1 \in \{j \in J \vert t \in U_j\}\)、そして、\(\{j \in J \vert t \in U_j\}\)は\(0\)のよってローワーバウンデッド（下方有界）である。
\(f'\)はコンティニュアス（連続）であることを見よう。
\((- \infty, r) \subseteq \mathbb{R}\)を任意のものとしよう。
\(r \le 0\)である時、\(f'^{-1} ((- \infty, r)) = \emptyset\)、なぜなら、\(f'\)は\([0, 1]\)の中へのものである。
\(0 \lt r\)である時、\(f'^{-1} ((- \infty, r)) = \cup \{U_j \vert j \lt r\}\)、なぜなら、各\(t \in f'^{-1} ((- \infty, r))\)に対して、\(f' (t) \lt r\)、以下を満たすものある\(j \in J\)、つまり、\(f' (t) \lt j \lt r\)、がある、任意の\(2\)個の異なる非負リアルナンバー（実数）たちおよび\(1\)より大きい任意のナチュラルナンバー（自然数）に対して、何らかの第2および第3ナチュラルナンバー（自然数）たちで第3ナンバー（数）を当該ナンバー（数）の第2ナンバー（数）乗で割ったものが厳密に当該リアルナンバー（実数）たち間内にあるものたちがあるという命題によって、すると、\(t \in U_j\)、なぜなら、もしも、\(t \notin U_j\)であったら、\(t \notin U_{j^`}\)、以下を満たす各\(j^` \in J\)、つまり、\(j^` \lt j\)、に対して、\(f' (t)\)がインフィマム（下限）であったことに反する矛盾、したがって、\(t \in \cup \{U_j \vert j \lt r\}\); 各\(t \in \cup \{U_j \vert j \lt r\}\)に対して、\(t \in U_j\)、以下を満たすある\(j \in J\)、つまり、\(j \lt r\)、に対して、すると、\(f' (t) \le j \lt r\)、したがって、\(t \in f'^{-1} ((- \infty, r))\)。
したがって、\(f'^{-1} ((- \infty, r)) \subseteq T\)はオープン（開）である。
\((r, \infty) \subseteq \mathbb{R}\)を任意のものとしよう。
\(r \lt 0\)である時、\(f'^{-1} ((r, \infty)) = T\)、なぜなら、\(f'\)は\([0, 1]\)の中へのものである。
\(0 \le r\)である時、\(f'^{-1} ((r, \infty)) = \cup \{T \setminus U_j \vert r \lt j\}\)、なぜなら、各\(t \in f'^{-1} ((r, \infty))\)に対して、\(r \lt f' (t)\)、以下を満たすある\(j \in J\)、つまり、\(r \lt j \lt f' (t)\)、がある、任意の\(2\)個の異なる非負リアルナンバー（実数）たちおよび\(1\)より大きい任意のナチュラルナンバー（自然数）に対して、何らかの第2および第3ナチュラルナンバー（自然数）たちで第3ナンバー（数）を当該ナンバー（数）の第2ナンバー（数）乗で割ったものが厳密に当該リアルナンバー（実数）たち間内にあるものたちがあるという命題によって、すると、\(t \notin U_j\)、なぜなら、もしも、\(t \in U_j\)であったら、\(f' (t) \le j\)、矛盾、したがって、\(t \in T \setminus U_j\)、したがって、\(t \in \cup \{T \setminus U_j \vert r \lt j\}\); 各\(t \in \cup \{T \setminus U_j \vert r \lt j\}\)に対して、\(t \in T \setminus U_j\)、以下を満たすある\(j \in J\)、つまり、\(r \lt j\)、に対して、\(t \notin U_j\)、したがって、\(j \le f' (t)\)、なぜなら、もしも、\(f' (t) \lt j\)であったら、\(t \in U_j\)、矛盾、したがって、\(r \lt j \le f' (t)\)、したがって、\(t \in f'^{-1} ((r, \infty))\)。
したがって、\(f'^{-1} ((r, \infty)) \subseteq T\)はオープン（開）である。
\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）に対して、全てのアッパーバウンデッド（上方有界）オープンインターバル（開区間）たちおよび全てのローワーバウンデッド（下方有界）オープンインターバル（開区間）たちのセット（集合）はあるサブベーシス（基底）であるという命題および任意のトポロジカルスペース（空間）たち間任意のマップ（写像）のコンティニュアス（連続）性をチェックするためには、任意のベーシス（基底）または任意のサブベーシス（基底）のみのプリイメージ（前像）たちだけをチェックすれば十分であるという命題によって、\(f'\)はコンティニュアス（連続）である。
\(f' (C) = \{0\}\)、なぜなら、各\(c \in C\)に対して、\(c \in U_0\)。
\(f' (T \setminus U) = \{1\}\)、なぜなら、各\(t \in T \setminus U\)に対して、\(t \notin U = U_1\)。
ステップ3:
\(g: [0, 1] \to [r_1, r_2], t \mapsto (r_2 - r_1) (t + r_1 / (r_2 - r_1))\)を取ろう。
それは、本当に\([r_1, r_2]\)の中へのものである、なぜなら、\(g (0) = (r_2 - r_1) r_1 / (r_2 - r_1) = r_1\)および\(g (1) = (r_2 - r_1) (1 + r_1 / (r_2 - r_1)) = (r_2 - r_1) ((r_2 - r_1 + r_1) / (r_2 - r_1)) = (r_2 - r_1) r_2 / (r_2 - r_1) = r_2\)、\(g\)は増加であるところ。
\(g\)はコンティニュアス（連続）である、なぜなら、それは、リニア（線形）である。
\(g \circ f': T \to [r_1, r_2]\)はコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間の任意のマップ（写像）たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題によって。
\(g \circ f' (C) = \{r_1\}\)、なぜなら、\(f' (C) = \{0\}\)および\(g (0) = r_1\)。
\(g \circ f' (T \setminus U) = \{r_2\}\)、なぜなら、\(f' (T \setminus U) = \{1\}\)および\(g (1) = r_2\)。
\(g: [0, 1] \to [r_1, r_2], t \mapsto - (r_2 - r_1) (t - r_2 / (r_2 - r_1))\)を取ろう。
それは、本当に\([r_1, r_2]\)の中へのものである、なぜなら、\(g (0) = - (r_2 - r_1) (- r_2 / (r_2 - r_1)) = r_2\)および\(g (1) = - (r_2 - r_1) (1 - r_2 / (r_2 - r_1)) = - (r_2 - r_1) (r_2 - r_1 - r_2) / (r_2 - r_1) = - (r_2 - r_1) (- r_1) / (r_2 - r_1) = r_1\)、\(g\)は減少であるところ。
\(g\)はコンティニュアス（連続）である、なぜなら、それは、リニア（線形）である。
\(g \circ f': T \to [r_1, r_2]\)はコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間の任意のマップ（写像）たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題によって。
\(g \circ f' (C) = \{r_2\}\)、なぜなら、\(f' (C) = \{0\}\)および\(g (0) = r_2\)。
\(g \circ f' (T \setminus U) = \{r_1\}\)、なぜなら、\(f' (T \setminus U) = \{1\}\)および\(g (1) = r_1\)。
ステップ4:
したがって、\(g \circ f'\)を\(f\)として取って、本命題に対するコンディションたちを満たすある\(f\)がある。
