メトリックスペース（計量付き空間）およびサブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）はトータル（全体的）にバウンデッド（有界）である、もしも、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）がトータル（全体的）にバウンデッド（有界）である場合、そしてその場合に限って、もしも、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）が、中心たちをサブセット（部分集合）内にして、トータル（全体的）にバウンデッド（有界）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）はトータル（全体的）にバウンデッド（有界）である、もしも、当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）がトータル（全体的）にバウンデッド（有界）である場合、そしてその場合に限って、もしも、当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）が、中心たちを当該サブセット（部分集合）内にして、トータル（全体的）にバウンデッド（有界）である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)で、当該メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの
\(S\): \(\subseteq M\)
\(\overline{S}\): \(= \text{ 当該クロージャー（閉包） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(S \in \{M \text{ の全てのトータル（全体的）にバウンデッド（有界）サブセット（部分集合）たち }\}\)
\(\iff\)
\(\overline{S} \in \{M \text{ の全てのトータル（全体的）にバウンデッド（有界）サブセット（部分集合）たち }\}\)
\(\iff\)
\(\overline{S} \in \{M \text{ の全てのトータル（全体的）にバウンデッド（有界）サブセット（部分集合）たち }\}\)、当該中心たちを\(S\)内に選んで
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(S\)はトータル（全体的）にバウンデッド（有界）であると仮定する; ステップ2: \(\overline{S}\)は、中心たちを\(S\)内に選んで、トータル（全体的）にバウンデッド（有界）であることを見る、\(\epsilon / 2\)に対する\(S\)の任意のファイナイト（有限）カバーを取ることによって; ステップ3: \(\overline{S}\)はトータル（全体的）にバウンデッド（有界）であると仮定する; ステップ4: \(S\)はトータル（全体的）にバウンデッド（有界）であることを見る、\(\epsilon / 2\)に対する\(\overline{S}\)の任意のファイナイト（有限）カバーを取り各中心\(m_j\)に対して任意の\(s_j \in B_{m_j, \epsilon / 2} \cap S\)を選ぶことによって; ステップ5: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(S\)はトータル（全体的）にバウンデッド（有界）であると仮定しよう。
ステップ2:
\(\epsilon \in \mathbb{R}\)を、\(0 \lt \epsilon\)を満たす任意のものとしよう。
以下を満たす、あるファイナイト（有限）インデックスセット（集合）\(J\)および何らかの\(\{B_{s_j, \epsilon / 2} \vert j \in J, s_j \in S\}\)、つまり、\(S \subseteq \cup_{j \in J} B_{s_j, \epsilon / 2}\)、がある。
\(m \in \overline{S}\)を任意のものとしよう。
\(B_{m, \epsilon / 2} \cap S \neq \emptyset\)、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題によって、したがって、ある\(s \in B_{m, \epsilon / 2} \cap S\)がある。
\(s \in B_{s_j, \epsilon / 2}\)、ある\(j \in J\)に対して。
\(dist (m, s_j) \le dist (m, s) + dist (s, s_j) \lt \epsilon / 2 + \epsilon / 2 = \epsilon\)。
それが意味するのは、\(\{B_{s_j, \epsilon} \vert j \in J\}\)は\(\overline{S}\)をカバーする。
したがって、\(\overline{S}\)は、中心たちを\(S\)内に選んで、トータル（全体的）にバウンデッド（有界）である。
ステップ3:
\(\overline{S}\)はトータル（全体的）にバウンデッド（有界）であると仮定しよう。
ステップ4:
\(\epsilon \in \mathbb{R}\)を、\(0 \lt \epsilon\)を満たす任意のものとしよう。
以下を満たす、あるファイナイト（有限）インデックスセット（集合）\(J\)および何らかの\(\{B_{m_j, \epsilon / 2} \vert j \in J, m_j \in \overline{S}\}\)、つまり、\(\overline{S} \subseteq \cup_{j \in J} B_{m_j, \epsilon / 2}\)、がある。
各\(j \in J\)に対して、\(B_{m_j, \epsilon / 2} \cap S \neq \emptyset\)、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題によって、したがって、ある\(s_j \in B_{m_j, \epsilon / 2} \cap S\)がある、各\(j \in J\)に対して。
\(s \in S\)を任意のものとしよう。
\(s \in \overline{S}\)であるから、\(s \in B_{m_j, \epsilon / 2}\)、ある\(j \in J\)に対して、そして、上で選ばれた\(s_j\)でもって、\(dist (s, s_j) \le dist (s, m_j) + dist (m_j, s_j) \lt \epsilon / 2 + \epsilon / 2 = \epsilon\)、したがって、\(s \in B_{s_j, \epsilon}\)。
それが意味するのは、\(\{B_{s_j, \epsilon} \vert j \in J, s_j \in S\}\)は\(S\)をカバーすること。
したがって、\(S\)はトータル（全体的）にバウンデッド（有界）である。
ステップ5:
もしも、\(\overline{S}\)が、中心たちを\(S\)内に選んで、トータル（全体的）にバウンデッド（有界）である場合、\(\overline{S}\)はトータル（全体的）にバウンデッド（有界）である、明らかに。
もしも、\(S\)がトータル（全体的）にバウンデッド（有界）である場合、\(\overline{S}\)は、中心たちを\(S\)内に選んで、トータル（全体的）にバウンデッド（有界）である、ステップ2によって、そして、\(\overline{S}\)はトータル（全体的）にバウンデッド（有界）である。
もしも、\(\overline{S}\)はトータル（全体的）にバウンデッド（有界）である場合、\(S\)はトータル（全体的）にバウンデッド（有界）である、ステップ4によって。
もしも、\(\overline{S}\)はトータル（全体的）にバウンデッド（有界）である場合、\(S\)はトータル（全体的）にバウンデッド（有界）である、ステップ4によって、そして、\(\overline{S}\)は、中心たちを\(S\)内に選んで、トータル（全体的）にバウンデッド（有界）である、ステップ2によって。
もしも、\(\overline{S}\)は、中心たちを\(S\)内に選んで、トータル（全体的）にバウンデッド（有界）である場合、\(\overline{S}\)はトータル（全体的）にバウンデッド（有界）である、ステップ5の冒頭で言及されたとおり。
したがって、本命題は成立する。
