トポロジカルサムたちのファイナイト（有限）プロダクトはプロダクトたちのトポロジカルサムであることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、プロダクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルサムの定義を知っている。
- 読者は、任意のセット（集合）に対して、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）と任意のサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数のセット（集合）たちのインデックスたちセット（集合）たちが同じであるプロダクトたちのインターセクション（共通集合）は当該セット（集合）たちのインターセクション（共通集合）たちのプロダクトであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルサムたちの任意のファイナイト（有限）プロダクトは当該トポロジカルサムたちの構成要素たちのプロダクトたちのトポロジカルサムであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）インデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{L_j \in \{\text{ 全てのインデックスセット（集合）たち }\} \vert j \in J\}\):
\(\{T_{j, l_j} \in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\} \vert j \in J, l_j \in L_j\}\)
\(T\): \(= \times_{j \in J} \coprod_{l_j \in L_j} T_{j, l_j}\)
\(T'\): \(= \coprod_{\times_{j \in J} l_j \in \times_{j \in J} L_j} \times_{j \in J} T_{j, l_j}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(T = T'\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(T\)と\(T'\)はセット（集合）的に同一であることを見る; ステップ2: 各種オープン（開）\(U \subseteq T\)は\(T'\)上でオープン（開）であることを見る; ステップ3: 各オープン（開）\(U' \subseteq T'\)は\(T\)上でオープン（開）であることを見る。
ステップ1:
\(J = \{1, ..., n\}\)としよう、一般性を失わうことなく、私たちの表現たちの便宜のみのために。
\(T\)と\(T'\)はセット（集合）的に同一である、なぜなら、当該アイデンティティマップ（恒等写像）\(id: T \to T', (p_1, ..., p_n) \mapsto (p_1, ..., p_n)\)、ここで、\((p_1, ..., p_n) \in T\)は\(p_1 \in T_{1, l_1}, ..., p_n \in T_{n, l_n}\)を意味し、したがって、\((p_1, ..., p_n) \in \times_{j \in J} T_{j, l_j}\)は\(T'\)内にあり、それは本当にあるインジェクション（単射）である、なぜなら、任意の\((p_1, ..., p_n) \neq (p'_1, ..., p'_n)\)に対して、\(p_j \neq p'_j\)、ある\(j \in J\)に対して、そして、\(id ((p_1, ..., p_n))^j = p_j \neq p'_j = id ((p'_1, ..., p'_n))^j\)、そして、あるサージェクション（全射）である、なぜなら、各\((p_1, ..., p_n) \in T'\)に対して、\(id ((p_1, ..., p_n)) = (p_1, ..., p_n)\)。
問題は、\(T\)と\(T'\)は同一トポロジーを持つか否かである。
ステップ2:
\(U \subseteq T\)を任意のオープンサブセット（開部分集合）としよう。
\(U = \cup_{m \in M} \times_{j \in j} U_{j, m}\)、ここで、\(M\)はあるアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）で\(U_{j, m} \subseteq \coprod_{l_j \in L_j} T_{j, l_j}\)は\(\coprod_{l_j \in L_j} T_{j, l_j}\)上でオープン（開）である、プロダクトトポロジーの定義に対する"注"によって。
\(U \cap \times_{j \in J} T_{j, l_j} = (\cup_{m \in M} \times_{j \in j} U_{j, m}) \cap (\times_{j \in J} T_{j, l_j}) = \cup_{m \in M} (\times_{j \in j} U_{j, m} \cap \times_{j \in J} T_{j, l_j})\)、任意のセット（集合）に対して、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）と任意のサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって、\(= \cup_{m \in M} \times_{j \in J} (U_{j, m} \cap T_{j, l_j})\)、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数のセット（集合）たちのインデックスたちセット（集合）たちが同じであるプロダクトたちのインターセクション（共通集合）は当該セット（集合）たちのインターセクション（共通集合）たちのプロダクトであるという命題によって。
各\(j \in J\)に対して、\(U_{j, m} \cap T_{j, l_j}\)は\(T_{j, l_j}\)上でオープン（開）である、なぜなら、\(U_{j, m}\)は\(\coprod_{l_j \in L_j} T_{j, l_j}\)上でオープン（開）である、トポロジカルサムの定義によって。
したがって、\(\times_{j \in J} (U_{j, m} \cap T_{j, l_j})\)は\(\times_{j \in J} T_{j, l_j}\)上でオープン（開）である、プロダクトトポロジーの定義によって、したがって、\(U \cap \times_{j \in J} T_{j, l_j}\)は\(\times_{j \in J} T_{j, l_j}\)上でオープン（開）である。
したがって、\(U\)は\(T'\)上でオープン（開）である、トポロジカルサムの定義によって。
ステップ3:
\(U' \subseteq T'\)を任意のオープンサブセット（開部分集合）としよう。
\(U' \cap (\times_{j \in J} T_{j, l_j})\)は\(\times_{j \in J} T_{j, l_j}\)上でオープン（開）である、トポロジカルサムの定義によって。
したがって、\(U' \cap (\times_{j \in J} T_{j, l_j}) = \cup_{m \in M_{\times_{j \in J} l_j}} \times_{j \in J} U_{j, m}\)、ここで、\(M_{\times_{j \in J} l_j}\)はアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）であり\(U_{j, m} \subseteq T_{j, l_j}\)は\(T_{j, l_j}\)上でオープン（開）である、プロダクトトポロジーの定義に対する"注"によって。
\(U' = \cup_{\times_{j \in J} l_j \in \times_{j \in J} L_j} (U' \cap (\times_{j \in J} T_{j, l_j})) = \cup_{\times_{j \in J} l_j \in \times_{j \in J} L_j} \cup_{m \in M_{\times_{j \in J} l_j}} \times_{j \in J} U_{j, m}\)。
しかし、\(U_{j, m}\)は\(\coprod_{l_j \in L_j} T_{j, l_j}\)上でオープン（開）である、なぜなら、\(U_{j, m} \cap T_{j, l_j} = U_{j, m}\)は\(T_{j, l_j}\)上でオープン（開）であり\(U_{j, m} \cap T_{j, l'_j} = \emptyset\)、任意の\(l'_j \neq l_j\)に対して、トポロジカルサムの定義によって。
したがって、\(\times_{j \in J} U_{j, m}\)は\(T\)上でオープン（開）である、プロダクトトポロジーの定義によって、そして、\(U' = \cup_{\times_{j \in J} l_j \in \times_{j \in J} L_j} \cup_{m \in M_{\times_{j \in J} l_j}} \times_{j \in J} U_{j, m}\)は\(T\)上でオープン（開）である。
