ローカルにクローズド（閉）トポロジカルサブスペース（部分空間）の定義
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のクローズドサブセット（閉部分集合）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）上のポイントのネイバーフッド（近傍）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ローカルにクローズド（閉）トポロジカルサブスペース（部分空間）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( T'\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(*T\): \(\subseteq T'\)で、\(T'\)のサブスペース（部分空間）トポロジーを持つもの
//
コンディションたち:
\(\forall t \in T (\exists U'_t \in \{t \text{ の } T' \text{ 上における全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たちで } T' \text{ のサブスペース（部分空間）トポロジーを持つものたち }\} (U'_t \cap T \in \{U'_t \text{ の全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たち }\}))\)
//
2: 注
\(T \subseteq T'\)がクローズド（閉）である時は、\(T\)はローカルにクローズド（閉）である、なぜなら、\(t\)のいかなるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U'_t \subseteq T'\)、例えば、\(U'_t = T'\)、に対しても、\(U'_t \cap T\)は\(U'_t\)上でクローズド（閉）である、任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、ベーススペース（空間）上のあるクローズドセット（閉集合）であってそれの当該サブスペース（部分空間）とのインターセクション（共通集合）が当該サブセット（部分集合）であるものがある場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
\(T \subseteq T'\)がオープン（開）である時は、\(T\)はローカルにクローズド（閉）である、なぜなら、\(t\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U'_t \subseteq T'\)、つまり、\(U'_t \subseteq T\)、がある、オープン（開）であることのローカル基準によって、そして、\(U'_t \cap T = U'_t \subseteq U'_t\)はクローズド（閉）である。
任意のインターバル（区間）\(T = I \subseteq \mathbb{R} = T'\)、ここで、\(I = (r_1, r_2), (r_1, r_2], [r_1, r_2), \text{ , } [r_1, r_2], \text{ のいずれか }\)、ここで、\(r_1\)は、\(I\)がローワーオープン（下方閉）である時\(- \infty\)かもしれない、\(r_2\)は、\(I\)がアッパーオープン（上方開）である時\(\infty\)かもしれない、は、ローカルにクローズド（閉）である、なぜなら、任意のオープン（開）またはクローズド（閉）ケースはローカルにクローズド（閉）であると既に知られているところ、\((r_1, r_2]\)に対しては、\(t \neq r_2\)である時は、ある\(U'_t \subseteq (r_1, r_2]\)があり、\(U'_t \cap T = U'_t \subseteq U'_t\)はクローズド（閉）であり、\(t = r_2\)である時は、以下を満たすある\(U'_t = B_{r_2, \epsilon}\)、つまり、\(r_1 \lt r_2 - \epsilon\)、があり、\(U'_t \cap T = (r_2 - \epsilon, r_2]\)、それは、\(B_{r_2, \epsilon}\)上でクローズド（閉）である、なぜなら、\((r_2 - \epsilon, r_2] = B_{r_2, \epsilon} \cap [r_2 - \epsilon, r_2]\); \([r_1, r_2)\)に対しても、同様。
それでは、何たちがローカルにクローズド（閉）でないのか？
例えば、\(T = \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R} = T'\)はローカルにクローズド（閉）でない、なぜなら、任意の\(q \in \mathbb{Q}\)に対して、任意の\(U'_q \subseteq \mathbb{R}\)に対して、\(U'_q \cap \mathbb{Q} \subseteq U'_q\)はクローズド（閉）でない、なぜなら、\(U'_q \setminus (U'_q \cap \mathbb{Q}) \subseteq U'_q\)はオープン（開）でない、なぜなら、各\(r \in U'_q \setminus (U'_q \cap \mathbb{Q})\)に対して、以下を満たす任意の\(B'_{r, \epsilon} \subseteq \mathbb{R}\)、つまり、\(B'_{r, \epsilon} \subseteq U'_q\)、はあるラショナルナンバー（有理数）を包含する、したがって、\(B'_{r, \epsilon} \subseteq U'_q \setminus (U'_q \cap \mathbb{Q})\)は成立しない。
