ローカルにコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）はその\(1\)-ポイントコンパクト化のオープンサブスペース（開部分空間）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ローカルにコンパクトなトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意のローカルにコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、当該\(1\)-ポイントコンパクト化のトポロジーは、当該\(1\)-ポイントが追加されたセット（集合）をコンパクトハウスドルフにし元のスペース（空間）をサブスペース（部分空間）として持つ唯一のトポロジーであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、任意の1ポイントサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のローカルにコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）はその\(1\)-ポイントコンパクト化のあるオープンサブスペース（開部分空間）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのローカルにコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T^+\): \(= \text{ 当該1-ポイントコンパクト化 }\)
//
Statements:
\(T \in \{\text{ の全てのオープンサブスペース（開部分空間）たち } T^+\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(T\)はハウスドルフ\(T^+\)のサブスペース（部分空間）であることを見る; ステップ2: \(T = T^+ \setminus \{\infty\}\)は\(T^+\)上でオープン（開）であることを見る。
ステップ1:
\(T^+\)はあるハウスドルフトポロジカルスペース（空間）であり、\(T\)は\(T^+\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）である、任意のローカルにコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、当該\(1\)-ポイントコンパクト化のトポロジーは、当該\(1\)-ポイントが追加されたセット（集合）をコンパクトハウスドルフにし元のスペース（空間）をサブスペース（部分空間）として持つ唯一のトポロジーであるという命題によって。
ステップ2:
\(\{\infty\} \subseteq T^+\)はクローズド（閉）である、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、任意の1ポイントサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であるという命題によって。
したがって、\(T = T^+ \setminus \{\infty\}\)は\(T^+\)上でオープン（開）である。
したがって、\(T\)は\(T^+\)のあるオープン（開）トポロジカルサブスペース（部分空間）である。
