ローカルにコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、\(1\)-ポイントコンパクト化のトポロジーは、\(1\)-ポイントが追加されたセット（集合）をコンパクトハウスドルフにし元のスペース（空間）をサブスペース（部分空間）として持つ唯一のトポロジーであることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ローカルにコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の\(1\)-ポイントコンパクト化の定義を知っている。
- 読者は、コンパクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意のセット（集合）マイナス任意のセット（集合）と任意のセット（集合）のインターセクション（共通集合）は第1セット（集合）と第3セット（集合）のインターセクション（共通集合）マイナス第2セット（集合）と第3セット（集合）のインターセクション（共通集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のセット（集合）に対して、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）と任意のサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、もしも、各ポイントがあるコンパクトネイバーフッド（近傍）を持つ場合、そしてその場合に限って、当該スペース（空間）はローカルにコンパクトであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）はコンパクトであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、当該スペース（空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）で任意のサブスペース（部分空間）内に包含されているものは当該サブスペース（部分空間）上でコンパクトであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、任意の1ポイントサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のオープン（開）トポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のオープンセット（開集合）はベーススペース（空間）上でオープン（開）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はベーススペース（空間）上でコンパクトであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のローカルにコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、当該\(1\)-ポイントコンパクト化のトポロジーは、当該\(1\)-ポイントが追加されたセット（集合）をコンパクトハウスドルフにし元のスペース（空間）をサブスペース（部分空間）として持つ唯一のトポロジーであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのローカルにコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)で、トポロジー\(O\)を持つもの
\(T^+\): \(= T \text{ の1-ポイントコンパクト化 }\)で、トポロジー\(O^+\)を持つもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(T^+ \{\text{ をコンパクトハウスドルフにし } T\text{ をサブスペース（部分空間）としてもつ全てのトポロジーたち } \} = \{O^+\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(T^+\)は\(O^+\)を持つと仮定する; ステップ2: \(T\)は\(T^+\)のサブスペース（部分空間）であることを見る; ステップ3: \(T^+\)の任意のオープンカバー（開被覆）\(\{U_j \vert j \in J\}\)に対して、あるファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）を見つける; ステップ4: \(T^+\)はハウスドルフであることを見る; ステップ5: \({O^+}'\)は\(T^+\)をコンパクトハウスドルフにし\(T\)をサブスペース（部分空間）として持つと仮定し、\(O^+ = {O^+}'\)であることを見る。
ステップ1:
\(T^+\)は\(O^+\)を持つと仮定しよう。
ステップ2:
\(T\)は\(T^+\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）であることを見よう。
\(U \in O\)を任意のものとしよう。
\(U \in O^+\)、そして、\(U = U \cap T\)。
\(U' \in O^+\)を任意のものとしよう。
\(U' \in O\)または\(U' = T^+ \setminus K\)、ここで、\(K \subseteq T\)はコンパクト、である。
\(U' \in O\)である時は、\(U' \cap T = U' \in O\)。
\(U' = T^+ \setminus K\)である時は、\(U' \cap T = (T^+ \setminus K) \cap T = (T^+ \cap T) \setminus (K \cap T)\)、任意のセット（集合）マイナス任意のセット（集合）と任意のセット（集合）のインターセクション（共通集合）は第1セット（集合）と第3セット（集合）のインターセクション（共通集合）マイナス第2セット（集合）と第3セット（集合）のインターセクション（共通集合）であるという命題によって、\(= T \setminus K\)、しかし、\(K \subseteq T\)はクローズド（閉）である、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であるという命題によって、したがって、\(T \setminus K\)は\(T\)上でオープン（開）である。
したがって、\(T\)の任意のサブセット（部分集合）はオープン（開）である、もしも、それが、\(T^+\)のあるオープンサブセット（開部分集合）と\(T\)のインターセクション（共通集合）である場合、そしてその場合に限って、したがって、\(T\)は\(T^+\)のサブスペース（部分空間）である。
ステップ3:
\(\{U_j \vert j \in J\}\)、ここで、\(J\)は任意のアンカウンタブル（不可算）であるかもしれないインデックスセット（集合）、を\(T^+\)の任意のオープンカバー（開被覆）としよう。
以下を満たすある\(U_l\)、つまり、\(\infty \in U_l\)、がある。
\(U_l = T^+ \setminus K\)、ここで、\(K \subseteq T\)はあるコンパクトサブセット（部分集合）、である。
\(T^+ \subseteq U_l \cup K\)。
\(K \subseteq \cup_{j \in J \setminus \{l\}} U_j\)、なぜなら、各\(k \in K\)に対して、\(k \in T^+\)であるから、\(k \in U_j\)、ある\(j \in J\)に対して、しかし、\(k \notin U_l\)、したがって、\(k \in U_j\)、ある\(j \in J \setminus \{l\}\)に対して。
\(K \subseteq (\cup_{j \in J \setminus \{l\}} U_j) \cap T = \cup_{j \in J \setminus \{l\}} (U_j \cap T)\)、任意のセット（集合）に対して、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）と任意のサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって、しかし、\(U_j \cap T\)は\(T\)上でオープン（開）である、なぜなら、\(T\)は\(T^+\)のあるトポロジカルサブスペース（部分空間）である、したがって、\(\{U_j \cap T \vert j \in J \setminus \{l\}\}\)は\(K\)のあるオープンカバー（開被覆）である。
\(K \subseteq T\)はコンパクトであるから、あるファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）\(\{U_j \cap T \vert j \in J^`\}\)、ここで、\(J^` \subseteq J \setminus \{l\}\)はあるファイナイト（有限）インデックスセット（集合）、がある。
\(K \subseteq \cup_{j \in J^`} (U_j \cap T) \subseteq \cup_{j \in J^`} U_j\)。
したがって、\(T^+ \subseteq U_l \cup K \subseteq U_l \cup (\cup_{j \in J^`} U_j) = \cup_{j \in (\{l\} \cup J^`)} U_j\)。
\(\{U_j \vert j \in (\{l\} \cup J^`)\}\)は\(\{U_j \vert j \in J\}\)のあるファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）であるから、\(T^+\)はコンパクトである。
ステップ4:
\(p_1, p_2 \in T^+\)を、\(p_1 \neq p_2\)を満たす任意のものたちとしよう。
\(p_1, p_2 \in T\)または\(p_1 \in T\)および\(p_2 = \infty\)、一般性を失なうことなく。
\(p_1, p_2 \in T\)である時は、以下を満たす、\(p_1\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{p_1} \subseteq T\)および\(p_2\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{p_2} \subseteq T\)、つまり、\(U_{p_1} \cap U_{p_2} = \emptyset\)、がある、なぜなら、\(T\)はハウスドルフである、しかし、\(U_{p_1}\)および\(U_{p_2}\)は\(T^+\)上でオープン（開）である。
\(p_1 \in T\)および\(p_2 = \infty\)である時は、\(p_1\)のあるコンパクトネイバーフッド（近傍）\(K_{p_1} \subseteq T\)がある、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、もしも、各ポイントがあるコンパクトネイバーフッド（近傍）を持つ場合、そしてその場合に限って、当該スペース（空間）はローカルにコンパクトであるという命題によって、\(p_1\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{p_1} \subseteq T\)、つまり、\(U_{p_1} \subseteq K_{p_1}\)、がある、なぜなら、\(K_{p_1}\)はあるネイバーフッド（近傍）である、そして、\(T^+ \setminus K_{p_1}\)は\(p_2\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）である、そして、\(U_{p_1} \cap (T^+ \setminus K_{p_1}) = \emptyset\)。
したがって、\(T^+\)はハウスドルフである。
ステップ5:
あるトポロジー\({O^+}'\)が、\(T^+\)をコンパクトハウスドルフにし\(T\)をトポロジカルサブスペース（部分空間）としてもつと仮定しよう。
\(U \in O^+\)を任意のものとしよう。
\(U \in O\)または\(U = T^+ \setminus K\)、ここで、\(K \subseteq T\)はコンパクト、である。
\(U \in O\)である時は、\(T \subseteq T^+\)は\({O^+}'\)に関してオープン（開）である、なぜなら、\(T = T^+ \setminus \{\infty\}\)で\(\{\infty\} \subseteq T^+\)はクローズド（閉）である、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、任意の1ポイントサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であるという命題によって、そして、\(U = U \cap T \in {O^+}'\)、任意のオープン（開）トポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のオープンセット（開集合）はベーススペース（空間）上でオープン（開）であるという命題によって。
\(U = T^+ \setminus K\)である時は、\(K\)は\(T^+\)上で\({O^+}'\)に関してコンパクトである、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はベーススペース（空間）上でコンパクトであるという命題によって、したがって、\(K\)は\(T^+\)上で\({O^+}'\)に関してコンパクトである、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であるという命題によって、したがって、\(U \in {O^+}'\)。
したがって、\(O^+ \subseteq {O^+}'\)。
\(U' \in {O^+}'\)を任意のものとしよう。
\(U' \subseteq T\)であるか、そうでないかである。
\(U' \subseteq T\)である時は、\(U' = U' \cap T \in O\)、なぜなら、\(T\)はサブスペース（部分空間）である、したがって、\(U' \in O^+\)。
そうでない時は、\(S := T^+ \setminus U' \subseteq T^+\)は\({O^+}'\)に関してクローズド（閉）でありコンパクトである、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）はコンパクトであるという命題によって、そして、\(T^+ \setminus U' \subseteq T\)は\(T\)上でコンパクトである、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、当該スペース（空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）で任意のサブスペース（部分空間）内に包含されているものは当該サブスペース（部分空間）上でコンパクトであるという命題によって、したがって、\(U' = T^+ \setminus S \in O^+\)。
したがって、\({O^+}' \subseteq O^+\)。
したがって、\(O^+ = {O^+}'\)。
