\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）およびイクイバレンスリレーション（同値関係）で\(2\)個の要素たちはイクイバレント（同値）である、もしも、それらの差がラショナル（有理）である場合、そしてその場合に限って、ものに対して、クオシエント（商）トポロジーはトリビアルであることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、クオシエント（商）セット（集合）の定義を知っている。
- 読者は、セット（集合）上の、マップ（写像）に関するクオシエント（商）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、トリビアルトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意のリアルナンバー（実数）より大きく別の任意のリアルナンバー（実数）以下であるあるラショナルナンバー（有理数）をシステマチックに選ぶある方法を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）およびイクイバレンスリレーション（同値関係）で\(2\)個の要素たちはイクイバレント（同値）である、もしも、それらの差がラショナル（有理）である場合、そしてその場合に限って、ものに対して、当該クオシエント（商）トポロジーはトリビアルであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\mathbb{R}\): \(= \text{ 当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)
\(\sim\): \(\in \{\mathbb{R} \text{ 上の全てのイクイバレンスリレーション（同値関係）たち }\}\)で、以下を満たすもの、つまり、各\(r_1, r_2 \in \mathbb{R}\)に対して、\(r_1 \sim r_2 \iff r_1 - r_2 \in \mathbb{Q}\)
\(\mathbb{R} / \sim\): \(= \text{ 当該クオシエント（商）セット（集合） }\)で、\(f\)に関するクオシエント（商）トポロジーを持つもの
\(f\): \(: \mathbb{R} \to \mathbb{R} / \sim\)で、以下を満たすもの、つまり、各\(r \in \mathbb{R}\)に対して、\(r \in f (r)\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\mathbb{R} / \sim \in \{\text{ 全てのトリビアルトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意の非空オープン（開）\(U \subseteq \mathbb{R} / \sim\)に対して、各\(r' \in \mathbb{R}\)に対して、\(r' \in f^{-1} (U)\)であることを見る、任意の\(r \in f^{-1} (U)\)および\(B_{r, \epsilon} \subseteq f^{-1} (U)\)を取り、\(r' - q \in B_{r, \epsilon}\)である、ある\(q \in \mathbb{Q}\)に対して、ことを見ることによって。
ステップ1:
\(U \subseteq \mathbb{R} / \sim\)を、任意の非空オープンサブセット（開部分集合）としよう。
\(r \in f^{-1} (U)\)を任意のものとしよう、それは、存在する、なぜなら、\(U\)は非空であり、\(f\)はあるサージェクション（全射）である。
以下を満たすある\(B_{r, \epsilon} \subseteq \mathbb{R}\)、つまり、\(B_{r, \epsilon} \subseteq f^{-1} (U)\)、がある、なぜなら、\(f^{-1} (U) \subseteq \mathbb{R}\)はオープン（開）である。
\(r' \in \mathbb{R}\)を任意のものとしよう。
\(r' - r - \epsilon \lt r' - r + \epsilon\)。
したがって、以下を満たすある\(q \in \mathbb{Q}\)、つまり、\(r' - r - \epsilon \lt q \lt r' - r + \epsilon\)、がある、任意のリアルナンバー（実数）より大きく別の任意のリアルナンバー（実数）以下であるあるラショナルナンバー（有理数）をシステマチックに選ぶ方法に対する"注"によって。
\(- r' + r - \epsilon \lt - q \lt - r' + r + \epsilon\)、\(r - \epsilon \lt r' - q \lt r + \epsilon\)、したがって、\(r' - q \in B_{r, \epsilon}\)、したがって、\(r' - q \in f^{-1} (U)\)。
\(f (r') = f (r' - q) \in U\)、したがって、\(r' \in f^{-1} (U)\)。
したがって、\(f^{-1} (U) = \mathbb{R}\)。
したがって、\(U = \mathbb{R} / \sim\)、なぜなら、もしも、\([r] \notin U\)である場合、\(r \notin f^{-1} (U)\)、矛盾。
それが意味するのは、\(\mathbb{R} / \sim\)の全てのオープンサブセット（開部分集合）たちは\(\emptyset\)および\(\mathbb{R} / \sim\)であること。
したがって、\(\mathbb{R} / \sim\)はトリビアルである。
