モジュール（加群）で同一ファイナイト（有限）カーディナリティ（濃度）の\(2\)個のベーシス（基底）たちを持つものおよびモジュール（加群）エンドモーフィズム（自己準同形写像）に対して、ベーシス（基底）たちの変更に関するエンドモーフィズム（自己準同形写像）マトリックス（行列）たちのトランジション（遷移）はこれであることの記述/証明
話題
About: モジュール（加群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%リング（環）名%モジュール（加群）の定義を知っている。
- 読者は、%ストラクチャー（構造）種類名%エンドモーフィズム（自己準同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意の同一リング（環）上方の、モジュール（加群）で任意の\(d_1\)個要素たちベーシス（基底）を持つ任意のものからモジュール（加群）で任意の\(d_2\)個要素たちベーシス（基底）を持つ任意のものの中への任意のマップ（写像）に対して 、当該マップ（写像）はリニア（線形）である、もしも、当該マップ（写像）は当該\(d_1 \times d_2\)リング（環）マトリックス（行列）によって代表される場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のベーシス（基底）を持つ任意のモジュール（加群）に対して、任意の要素の当該ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちセット（集合）はユニークであるという命題を認めている。
- 読者は、もしも、任意の正方リング（環）マトリックス（行列）があるインバース（逆）を持つ場合、当該インバース（逆）はユニークインバース（逆）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、モジュール（加群）で任意の同一ファイナイト（有限）カーディナリティ（濃度）の任意の\(2\)個のベーシス（基底）たちを持つ任意のものおよび任意のモジュール（加群）エンドモーフィズム（自己準同形写像）に対して、当該ベーシス（基底）たちの変更に関する当該エンドモーフィズム（自己準同形写像）マトリックス（行列）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(R\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\)
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } R \text{ モジュール（加群）たち }\}\)
\(n\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(B\): \(\in \{M \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\} = \{b^j \vert j \in \{1, ..., n\}\}\)
\(B'\): \(\in \{M \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\} = \{b'^l = N^l_j b^j \vert l \in \{1, ..., n\}\}\)
\(f\): \(: M \to M\), \(\in \{\text{ 全てのリング（環）エンドモーフィズム（自己準同形写像）たち }\}\)
\(O\): \(= f \text{ の } B \text{ に関するマトリックス（行列） }\)、任意の同一リング（環）上方の、モジュール（加群）で任意の\(d_1\)個要素たちベーシス（基底）を持つ任意のものからモジュール（加群）で任意の\(d_2\)個要素たちベーシス（基底）を持つ任意のものの中への任意のマップ（写像）に対して 、当該マップ（写像）はリニア（線形）である、もしも、当該マップ（写像）は当該\(d_1 \times d_2\)リング（環）マトリックス（行列）によって代表される場合、そしてその場合に限って、という命題内で定義された
\(O'\): \(= f \text{ の } B' \text{ に関するマトリックス（行列） }\)、任意の同一リング（環）上方の、モジュール（加群）で任意の\(d_1\)個要素たちベーシス（基底）を持つ任意のものからモジュール（加群）で任意の\(d_2\)個要素たちベーシス（基底）を持つ任意のものの中への任意のマップ（写像）に対して 、当該マップ（写像）はリニア（線形）である、もしも、当該マップ（写像）は当該\(d_1 \times d_2\)リング（環）マトリックス（行列）によって代表される場合、そしてその場合に限って、という命題内で定義された
//
ステートメント（言明）たち:
\(O' = N O N^{-1}\)
//
2: 注
これは、任意のベクトルたちスペース（空間）\(M\)に対してだけでなく任意のモジュール（加群）\(M\)に対しても成立する、そうしたベーシス（基底）たちが存在する限り。
3: Proof
Whole Strategy: Step 1: see that \(N\) is uniquely determined; Step 2: take \(N' \in M_n (R)\) such that \(b^j = N'^j_l b'^l\), and see that \(N' = N^{- 1}\); Step 3: see that \(f (b'^l) = N^l_j O^j_m N'^m_p b'^p\).
Step 1:
\(N\) is uniquely determined, by the proposition that for any module with any basis, the components set of any element with respect to the basis is unique.
Step 2:
There is the unique \(N' \in M_n (R)\) such that \(b^j = N'^j_l b'^l\), by the proposition that for any module with any basis, the components set of any element with respect to the basis is unique.
For each \(l \in \{1, ..., n\}\), \(b'^l = N^l_j b^j = N^l_j N'^j_m b'^m\), which implies that \(N^l_j N'^j_l = 1\) and \(N^l_j N'^j_m = 0\) for each \(m \neq l\), which implies that \(N N' = I\).
For each \(j \in \{1, ..., n\}\), \(b^j = N'^j_l b'^l = N'^j_l N^l_m b^m\), which implies that \(\) and \(N'^j_l N^l_j = 1\) and \(N'^j_l N^l_m = 0\) for each \(m \neq j\), which implies that \(N' N = I\).
So, \(N'\) is an inverse of \(N\) and is the inverse, \(N^{- 1}\), by the proposition that if any square ring matrix has an inverse, the inverse is the unique inverse.
Step 3:
For each \(l \in \{1, ..., n\}\), \(f (b'^l) = f (N^l_j b^j) = N^l_j f (b^j)\), because \(f\) is linear, \(= N^l_j O^j_m b^m = N^l_j O^j_m N'^m_p b'^p = O'^l_p b'^p\), which implies that \(N^l_j O^j_m N'^m_p = O'^l_p\), which implies that \(N O N' = O'\).
So, \(O' = N O N^{- 1}\).
