モジュール（加群）でファイナイト（有限）ベーシス（基底）を持つものに対して、モジュール（加群）はコンポーネントたちモジュール（加群）へ'モジュール（加群）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であることの記述/証明
話題
About: モジュール（加群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、モジュール（加群）のベーシス（基底）の定義を知っている。
- 読者は、プロダクトモジュール（加群）の定義を知っている。
- 読者は、任意のリング（環）はカノニカル（正典）にあるモジュール（加群）で、ある\(1\)-要素ベーシス（基底）を持つという命題を認めている。
- 読者は、任意のベーシス（基底）を持つ任意のモジュール（加群）に対して、任意の要素の当該ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちセット（集合）はユニークであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のモジュール（加群）たち間の任意のバイジェクティブ（全単射）リニアマップ（線形写像）は'モジュール（加群）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、モジュール（加群）で任意のファイナイト（有限）ベーシス（基底）を持つ任意のものに対して、当該モジュール（加群）は当該コンポーネントたちモジュール（加群）へ'モジュール（加群）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(R\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\)、任意のリング（環）はカノニカル（正典）にあるモジュール（加群）で、ある\(1\)-要素ベーシス（基底）を持つという命題内で言及されているカノニカル（正典）モジュール（加群）ともみなされる
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）インデックスセット（集合）たち }\}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(\vert J \vert = d\)
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } R \text{ モジュール（加群）たち }\}\)で、任意のファイナイト（有限）ベーシス（基底）\(B = \{b^j \vert j \in J\}\)を持つもの
\(R^d\): \(= \text{ 当該プロダクトモジュール（加群） }\)
\(f\): \(: M \to R^d, m_{J_l} b^{J_l} \mapsto (m_{J_1}, ..., m_{J_d})\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全ての'モジュール（加群）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }\}\)
//
2: Proof
Whole Strategy: Step 1: see that \(f\) is valid; Step 2: see that \(f\) is linear; Step 3: see that \(f\) is a bijection; Step 4: conclude the proposition.
Step 1:
\(f\) is valid, because for each \(m \in M\), \((m_{J_1}, ..., m_{J_d})\) is uniquely determined, by the proposition that for any module with any basis, the components set of any element with respect to the basis is unique: when \(m_{J_l} b^{J_l}\) does not contain a basis element, the component is defined to be \(0\).
Step 2:
Let us see that \(f\) is linear.
Let \(m, m' \in M\) and \(r, r' \in R\) be any.
\(m = m_{J_l} b^{J_l}\) and \(m' = m'_{J_l} b^{J_l}\).
\(f (r m + r' m') = f (r m_{J_l} b^{J_l} + r' m'_{J_l} b^{J_l}) = f ((r m_{J_l} + r' m'_{J_l}) b^{J_l}) = (r m_{J_1} + r' m'_{J_1}, ..., r m_{J_d} + r' m'_{J_d}) = r (m_{J_1}, ..., m_{J_d}) + r' (m'_{J_1}, ..., m'_{J_d}) = r f (m) + r' f (m')\).
So, \(f\) is linear.
Step 3:
\(f\) is an injection, because for each \(m = m_{J_l} b^{J_l}, m' = m'_{J_l} b^{J_l} \in M\) such that \(m \neq m'\), \((m_{J_1}, ..., m_{J_d}) \neq (m'_{J_1}, ..., m'_{J_d})\), by the proposition that for any module with any basis, the components set of any element with respect to the basis is unique.
\(f\) is a surjection, because for each \((r_{J_1}, ..., r_{J_d}) \in R^d\), \(r_{J_l} b^{J_l} \in M\) and \(f (r_{J_l} b^{J_l}) = (r_{J_1}, ..., r_{J_d})\).
So, \(f\) is a bijection.
Step 4:
By the proposition that any bijective linear map between any modules is a 'modules - linear morphisms' isomorphism, \(f\) is a 'modules - linear morphisms' isomorphism.
