\(n \times n\)オーソゴーナル（直交）マトリックス（行列）たちグループ（群）の定義
話題
About: グループ（群）
About: マトリックス（行列）たちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%リング（環）名%マトリックス（行列）たちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、オーソゴーナル（直交）マトリックス（行列）の定義を知っている。
- 読者は、グループ（群）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(n \times n\)オーソゴーナル（直交）マトリックス（行列）たちグループ（群）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( \mathbb{R}\): \(= \text{ リアルナンバー（実数）たちフィールド（体） }\)
\( \{M\}\): \(= \text{ 全ての } \mathbb{R} \text{ マトリックス（行列）たちスペース（空間） }\)
\( n\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(*O (n)\): \(= \{M \in \{M\} \vert M \in \{\text{ 全ての } n \times n \text{ オーソゴーナル（直交）マトリックス（行列）たち }\}\}\)
//
コンディションたち:
//
2: 注
\(O (n)\)は本当にあるグループ（群）であることを見よう。
\(M_1, M_2, M_3 \in O (n)\)を任意のものたちとしよう。
\(M_1 M_2 \in O (n)\)、なぜなら、\((M_1 M_2)^t = {M_2}^t {M_1}^t\)、任意のコミュータティブ（可換）リング（環）に対して、任意のマトリックス（行列）たちのプロダクト（積）のトランスポーズ（転置）は、当該構成要素たちのトランスポーズ（転置）たちの逆順によるプロダクト（積）であるという命題によって、\(= {M_2}^{- 1} {M_1}^{- 1}\)、したがって、\((M_1 M_2)^t M_1 M_2 = {M_2}^{- 1} {M_1}^{- 1} M_1 M_2 = {M_2}^{- 1} I M_2 = {M_2}^{- 1} M_2 = I\)および\(M_1 M_2 (M_1 M_2)^t = M_1 M_2 {M_2}^{- 1} {M_1}^{- 1} = M_1 I {M_1}^{- 1} = M_1 {M_1}^{- 1} = I\)、したがって、\((M_1 M_2)^t = (M_1 M_2)^{- 1}\)。
1) \((M_1 \bullet M_2) \bullet M_3 = M_1 \bullet (M_2 \bullet M_3)\): 任意のリング（環）に対して、当該リング（環）上方の任意のマトリックス（行列）たちのマルチプリケーション（乗法）たちはアソシアティブ（結合的）であるという命題によって。
2) \(i \in O (n)\)（'アイデンティティ（単位）要素'と呼ばれる)で、以下を満たすもの、つまり、\(i \bullet M_1 = M_1 \bullet i = M_1\): アイデンティティ（単位）行列\(I\)は、\(O (n)\)内にある、なぜなら、\(I^t = I = I^{-1}\)、そして、\(I M_1 = M_1 I = M_1\)。
3) \({M_1}^{- 1} \in O (n)\)（'\(M_1\)のインバース（逆）要素'と呼ばれる）で、以下を満たすもの、つまり、\({M_1}^{- 1} \bullet M_1 = M_1 \bullet {M_1}^{- 1} = I\): \({M_1}^t = {M_1}^{- 1} \in O (n)\)、なぜなら、\({{M_1}^t}^t = M_1\)および\({M_1}^t M_1 = I = M_1 {M_1}^t\)、したがって、\({{M_1}^t}^{- 1} = M_1 = {{M_1}^t}^t\)。
したがって、\(O (n)\)はあるグループ（群）である。
