トポロジカルグループ（群）に対して、サブグループ（部分群）でトポロジカルサブスペース（部分空間）としたものはトポロジカルグループ（群）であることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルグループ（群）に対して、任意のサブグループ（部分群）でトポロジカルサブスペース（部分空間）としたものはあるトポロジカルグループ（群）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G'\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルグループ（群）たち }\}\)
\(G\): \(\in \{G' \text{ の全てのサブグループ（部分群）たち }\}\)、当該トポロジカルサブスペース（部分空間）として
//
ステートメント（言明）たち:
\(G\in \{\text{ 全てのトポロジカルグループ（群）たち }\}\)
//
2: Proof
Whole Strategy: Step 1: see that \(G\) is Hausdorff; Step 2: see that the multiplication and the inversion on \(G\) are continuous; Step 3: conclude the proposition.
Step 1:
\(G\) is Hausdorff, by the proposition that any subspace of any Hausdorff topological space is Hausdorff.
Step 2:
Let \(m: G \times G \to G\) and \(i: G \to G\) be the multiplication and the inversion on \(G\).
Let \(m': G' \times G' \to G'\) and \(i': G' \to G'\) be the multiplication and the inversion on \(G\), which are continuous.
\(m\) and \(i\) are some restrictions of \(m'\) and \(i'\).
\(G \times G\) is a topological subspace of \(G' \times G'\), by the proposition that for any possibly uncountable number of indexed topological spaces or any finite number of topological spaces and their subspaces, the product of the subspaces is the subspace of the product of the base spaces.
\(m\) is continuous, by the proposition that any restriction of any continuous map on the domain and the codomain is continuous.
\(i\) is continuous, by the proposition that any restriction of any continuous map on the domain and the codomain is continuous.
Step 3:
So, \(G\) is a topological group.
