トポロジカルグループ（群）右アクションに関するポイントのスタビライザーに対して、スタビライザーの右コセット（剰余類）たちクオシエント（商）トポロジカルスペース（空間）からポイントのオービット（軌道）トポロジカルサブスペース（部分空間）の中へのカノニカル（正典）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）バイジェクション（全単射）であることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルグループ（群）右アクションの定義を知っている。
- 読者は、グループ（群）右アクションに関するポイントのスタビライザーの定義を知っている。
- 読者は、グループ（群）でトポロジーを持ちコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））のサブグループ（部分群）の左または右コセット（剰余類）たちクオシエント（商）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、グループ（群）右アクションに関するポイントのオービット（軌道）の定義を知っている。
- 読者は、バイジェクション（全単射）の定義を知っている。
- 読者は、任意のグループ（群）右アクションに関する任意のポイントのスタビライザーに対して、当該スタビライザーの右コセット（剰余類）たちクオシエント（商）セット（集合）から当該ポイントのオービット（軌道）の中へのカノニカル（正典）マップ（写像）はあるバイジェクション（全単射）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のコンティニュアスマップ（連続写像）および当該ドメイン（定義域）および当該コドメイン（余域）上の任意のイクイバレンスリレーション（同値関係）たちに対して、もしも、各ドメイン（定義域）イクイバレンス（同値）クラスが任意のコドメイン（余域）イクイバレンス（同値）クラス内にマップされる場合、当該クオシエント（商）スペース（空間）たち間のインデュースト（誘導された）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）から任意のトポロジカルスペース（空間）の中への任意のコンティニュアスマップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）のいくつかのコンポーネントたちの任意のセット（集合）を固定したインデュースト（誘導された）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルグループ（群）右アクションに関する任意のポイントのスタビライザーに対して、当該スタビライザーの右コセット（剰余類）たちクオシエント（商）トポロジカルスペース（空間）から当該ポイントのオービット（軌道）トポロジカルサブスペース（部分空間）の中へのカノニカル（正典）マップ（写像）はあるコンティニュアス（連続）バイジェクション（全単射）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルグループ（群）たち }\}\)
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(f\): \(: T \times G \to T\), \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルグループ（群）右アクションたち }\}\)
\(t\): \(\in T\)
\(G_t\): \(= f \text{ に関する } t \text{ のスタビライザー }\)
\(G (t)\): \(= f \text{ に関する } t \text{ のオービット（軌道） }\)
\(\sim_{G_t, r}\): \(= \{(g_1, g_2) \in G \times G \vert \exists g \in G (g_1, g_2 \in G_t g)\}\), \(\in \{G \text{ 上の全てのイクイバレンスリレーション（同値関係）たち }\}\)
\(\widetilde{f}\): \(: G / \sim_{G_t, r} \to G (t), [g] \mapsto t g\)、ここで、\(G / \sim_{G_t, r}\)は当該クオシエント（商）トポロジカルスペース（空間）で\(G (t) \subseteq T\)は当該トポロジカルサブスペース（部分空間）
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ステートメント（言明）たち:
\(\widetilde{f} \in \{\text{ 当該コンティニュアス（連続）バイジェクション（全単射）たち }\}\)
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2: 注
トポロジカルグループ（群）右アクションに対しては、スタビライザーの右コセット（剰余類）たちクオシエント（商）トポロジカルスペース（空間）を取る必要がある、"スタビライザーの左コセット（剰余類）たちクオシエント（商）トポロジカルスペース（空間）"ではなく、なぜなら、任意のグループ（群）右アクションに関する任意のポイントのスタビライザーに対して、当該スタビライザーの右コセット（剰余類）たちクオシエント（商）セット（集合）から当該ポイントのオービット（軌道）の中へのカノニカル（正典）マップ（写像）はあるバイジェクション（全単射）であるという命題がそう要求する。
3: Proof
Whole Strategy: Step 1: see that \(\widetilde{f}\) is valid and is a bijection, by the proposition that for the stabilizer of any point with respect to any group right action, the canonical map from the right cosets of the stabilizer quotient set into the orbit of the point is a bijection; Step 2: see that \(\widetilde{f}\) is continuous, by the proposition that for any continuous map and any equivalence relations on the domain and the codomain, if each domain equivalence class is mapped into any codomain equivalence class, the induced map between the quotient spaces is continuous.
Step 1:
\(\widetilde{f}\) is valid and is a bijection, by the proposition that for the stabilizer of any point with respect to any group right action, the canonical map from the right cosets of the stabilizer quotient set into the orbit of the point is a bijection.
Step 2:
Let \(\sim\) be the trivial equivalence relation on \(G (t)\) such that \(\forall t_1, t_2 \in G (t) (t_1 \sim t_2 \iff t_1 = t_2)\).
\(\sim\) is indeed an equivalence relation, because for each \(t \in G (t)\), \(t \sim t\), because \(t = t\); for each \(t_1, t_2 \in G (t)\), if \(t_1 \sim t_2\), \(t_2 \sim t_1\), because \(t_2 = t_1\); for each \(t_1, t_2, t_3 \in G (t)\), if \(t_1 \sim t_2\) and \(t_2 \sim t_3\), \(t_1 \sim t_3\), because \(t_1 = t_2 = t_3\).
\(G (t) / \sim = G (t)\), which is the quotient topological space.
\(g: G \to T, g \mapsto t g\), is continuous, by the proposition that for any continuous map from any product topological space into any topological space, the induced map with any set of some components of the domain fixed is continuous: \(f\) is continuous.
The codomain restriction, \(g^`: G \to G (t), g \mapsto t g\), is continuous, by the proposition that any restriction of any continuous map on the domain and the codomain is continuous.
\(\widetilde{f}\) is the map derived from \(g^`\) as in the proposition that for any continuous map and any equivalence relations on the domain and the codomain, if each domain equivalence class is mapped into any codomain equivalence class, the induced map between the quotient spaces is continuous.
So, \(\widetilde{f}\) is continuous.
