ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）上のコンパクトトポロジカルグループ（群）左アクションに関するポイントのスタビライザーに対して、スタビライザーの左コセット（剰余類）たちクオシエント（商）トポロジカルスペース（空間）からポイントのオービット（軌道）トポロジカルサブスペース（部分空間）の中へのカノニカル（正典）マップ（写像）はホメオモーフィズム（位相同形写像）であることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コンパクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルグループ（群）左アクションの定義を知っている。
- 読者は、グループ（群）左アクションに関するポイントのスタビライザーの定義を知っている。
- 読者は、グループ（群）でトポロジーを持ちコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））のサブグループ（部分群）の左または右コセット（剰余類）たちクオシエント（商）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、グループ（群）左アクションに関するポイントのオービット（軌道）の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルグループ（群）左アクションに関する任意のポイントのスタビライザーに対して、当該スタビライザーの左コセット（剰余類）たちクオシエント（商）トポロジカルスペース（空間）から当該ポイントのオービット（軌道）トポロジカルサブスペース（部分空間）の中へのカノニカル（正典）マップ（写像）はあるコンティニュアス（連続）バイジェクション（全単射）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）の任意のクウォシェント（商）スペース（空間）はコンパクトであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の任意のサブスペース（部分空間）はハウスドルフであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）から任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の上への任意のコンティニュアス（連続）バイジェクション（全単射）はあるホメオモーフィズム（位相同形写像）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）上の任意のコンパクトトポロジカルグループ（群）左アクションに関する任意のポイントのスタビライザーに対して、当該スタビライザーの左コセット（剰余類）たちクオシエント（商）トポロジカルスペース（空間）から当該ポイントのオービット（軌道）トポロジカルサブスペース（部分空間）の中へのカノニカル（正典）マップ（写像）はあるホメオモーフィズム（位相同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのコンパクトトポロジカルグループ（群）たち }\}\)
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(f\): \(: G \times T \to T\), \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルグループ（群）左アクションたち }\}\)
\(t\): \(\in T\)
\(G_t\): \(= f \text{ に関する } t \text{ のスタビライザー }\)
\(G (t)\): \(= f \text{ に関する } t \text{ のオービット（軌道） }\)
\(\sim_{G_t, l}\): \(= \{(g_1, g_2) \in G \times G \vert \exists g \in G (g_1, g_2 \in g G_t)\}\), \(\in \{G \text{ 上の全てのイクイバレンスリレーション（同値関係）たち }\}\)
\(\widetilde{f}\): \(: G / \sim_{G_t, l} \to G (t), [g] \mapsto g t\)、ここで、\(G / \sim_{G_t, l}\)は当該クオシエント（商）トポロジカルスペース（空間）で\(G (t) \subseteq T\)は当該トポロジカルサブスペース（部分空間）
//
ステートメント（言明）たち:
\(\widetilde{f} \in \{\text{ 全てのホメオモーフィズム（位相同形写像）たち }\}\)
//
2: 注
トポロジカルグループ（群）左アクションに対しては、スタビライザーの左コセット（剰余類）たちクオシエント（商）トポロジカルスペース（空間）を取る必要がある、"スタビライザーの右コセット（剰余類）たちクオシエント（商）トポロジカルスペース（空間）"ではなく、なぜなら、任意のトポロジカルグループ（群）左アクションに関する任意のポイントのスタビライザーに対して、当該スタビライザーの左コセット（剰余類）たちクオシエント（商）トポロジカルスペース（空間）から当該ポイントのオービット（軌道）トポロジカルサブスペース（部分空間）の中へのカノニカル（正典）マップ（写像）はあるコンティニュアス（連続）バイジェクション（全単射）であるという命題がそう要求する。
3: Proof
Whole Strategy: Step 1: see that \(\widetilde{f}\) is valid and is a continuous bijection, by the proposition that for the stabilizer of any point with respect to any topological group left action, the canonical map from the left cosets of the stabilizer quotient topological space into the orbit of the point topological subspace is a continuous bijection; Step 2: see that \(G / \sim_{G_t, l}\) is compact and that \(G (t)\) is Hausdorff; Step 3: conclude the proposition.
Step 1:
\(\widetilde{f}\) is valid and is a continuous bijection, by the proposition that for the stabilizer of any point with respect to any topological group left action, the canonical map from the left cosets of the stabilizer quotient topological space into the orbit of the point topological subspace is a continuous bijection.
Step 2:
\(G / \sim_{G_t, l}\) is compact, by the proposition that any quotient space of any compact topological space is compact.
\(G (t)\) is Hausdorff, by the proposition that any subspace of any Hausdorff topological space is Hausdorff.
Step 3:
\(\widetilde{f}\) is a homeomorphism, by the proposition that any continuous bijection from any compact topological space onto any Hausdorff topological space is a homeomorphism.
