グループ（群）トポロジカルスペース（空間）に対して、もしも、スペース（空間）からトポロジカルグループ（群）の上への'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）ホメオモーフィズム（位相同形写像）がある場合、スペース（空間）はトポロジカルグループ（群）であることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルグループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、ホメオモーフィズム（位相同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意の有限個のコンティヌアス（連続）マップ（写像）たちのプロダクトマップ（写像）は、プロダクトトポロジーによってコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間の任意のマップ（写像）たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのインターセクション（共通集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）はそれらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のマップ（写像）に対して、空サブセット（部分集合）の当該マップ（写像）プリイメージ（前像）は空セット（集合）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）トポロジカルスペース（空間）に対して、もしも、当該スペース（空間）から任意のトポロジカルグループ（群）の上への任意の'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）ホメオモーフィズム（位相同形写像）がある場合、当該スペース（空間）はあるトポロジカルグループ（群）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G_1\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\} \cap \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(G_2\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルグループ（群）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists f: G_1 \to G_2 \in \{\text{ 全ての'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }\} \cap \{\text{ 全てのホメオモーフィズム（位相同形写像）たち }\}\)
\(\implies\)
\(G_1 \in \{\text{ 全てのトポロジカルグループ（群）たち }\}\)
//
2: 注
一部の人々はこれを明らかであるとみなすかもしれない、しかし、要点は、それは、ある'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）ホメオモーフィズム（位相同形写像）があるという問題であって、ある'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）とあるホメオモーフィズム（位相同形写像）があるという問題ではない、ということ: 当該'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）があるホメオモーフィズム（位相同形写像）である必要がある。
3: Proof
Whole Strategy: Step 1: see that the multiplication and the inversion on \(G_1\) are continuous; Step 2: see that \(G_1\) is Hausdorff; Step 3: conclude the proposition.
Step 1:
Let \(m_1: G_1 \times G_1 \to G_1\) be the multiplication on \(G_1\).
Let \(m_2: G_2 \times G_2 \to G_2\) be the multiplication on \(G_2\).
\(m_1 = f^{- 1} \circ m_2 \circ (f, f)\), because for each \(g_1, g'_1 \in G_1\), \(f^{- 1} \circ m_2 \circ (f, f) (g_1, g'_1) = f^{- 1} \circ m_2 \circ (f (g_1), f (g'_1)) = f^{- 1} (f (g_1) f (g'_1)) = f^{- 1} (f (g_1 g'_1))\), because \(f\) is a group homomorphism, \(= g_1 g'_1 = m_1 (g_1, g'_1)\).
\((f, f)\) is continuous, by the proposition that the product map of any finite number of continuous maps is continuous by the product topologies.
\(m_2\) is continuous, because \(G_2\) is a topological group.
\(f^{- 1}\) is continuous, because \(f\) is a homeomorphism
\(m_1 = f^{- 1} \circ m_2 \circ (f, f)\) is continuous, by the proposition that for any maps between any arbitrary subspaces of any topological spaces continuous at any corresponding points, the composition is continuous at the point.
Let \(i_1: G_1 \to G_1\) be the inversion on \(G_1\).
Let \(i_2: G_2 \to G_2\) be the inversion on \(G_2\).
\(i_1 = f^{- 1} \circ i_2 \circ f\), because for each \(g_1 \in G_1\), \(f^{- 1} \circ i_2 \circ f (g_1) = f^{- 1} (f (g_1)^{- 1}) = f^{- 1} (f (g_1^{- 1}))\), because \(f\) is a group homomorphism, \(= g_1^{- 1} = i_1 (g_1)\).
\(f\) is continuous, because \(f\) is a homeomorphism
\(i_2\) is continuous, because \(G_2\) is a topological group.
\(f^{- 1}\) is continuous, because \(f\) is a homeomorphism
\(i_1 = f^{- 1} \circ i_2 \circ f\) is continuous, by the proposition that for any maps between any arbitrary subspaces of any topological spaces continuous at any corresponding points, the composition is continuous at the point.
Step 2:
Let us see that \(G_1\) is Hausdorff.
Let \(g_1, g'_1 \in G_1\) be any such that \(g_1 \neq g'_1\).
\(f (g_1), f (g'_1) \in G_2\) such that \(f (g_1) \neq f (g'_1)\), because \(f\) is a bijection.
There are some open neighborhoods of \(f (g_1), f (g'_1)\), \(U_{f (g_1)}, U_{f (g'_1)} \subseteq G_2\), such that \(U_{f (g_1)} \cap U_{f (g'_1)} = \emptyset\), because \(G_2\) is Hausdorff.
\(f^{- 1} (U_{f (g_1)}), f^{- 1} (U_{f (g'_1)}) \subseteq G_1\) are some open neighborhoods of \(g_1, g'_1\), because \(f\) is a homeomorphism, and \(f^{- 1} (U_{f (g_1)}) \cap f^{- 1} (U_{f (g'_1)}) = f^{- 1} (U_{f (g_1)} \cap U_{f (g'_1)})\), by the proposition that for any map, the map preimage of any intersection of sets is the intersection of the map preimages of the sets, \(= f^{- 1} (\emptyset) = \emptyset\), by the proposition that for any map, the map preimage of the empty subset is the empty set.
So, \(G_1\) is Hausdorff.
Step 3:
By Step 1 and Step 2, \(G_1\) is a topological group.
