\(m \times n\)リアル（実）マトリックス（行列）たちトポロジカルスペース（空間）の定義
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%リング（環）名%マトリックス（行列）たちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(m \times n\)リアル（実）マトリックス（行列）たちトポロジカルスペース（空間）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( m\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\( n\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\( \{M\}\): \(= \text{ } \mathbb{R} \text{ マトリックス（行列）たちスペース（空間） }\)
\(*M_{m \times n} (\mathbb{R})\): \(= \{M \in \{M\} \vert M \in \text{ 全ての } m \times n \text{ マトリックス（行列）たち } \}\), \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\( \mathbb{R}^{m n}\): \(= \text{ 当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)
\( f\): \(: M_{m \times n} (\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^{m n}, M \mapsto (M^1_1, ..., M^m_1, ..., M^1_n, ..., M^m_n)\)
//
コンディションたち:
\(f \in \{\text{ 全てのホメオモーフィズム（位相同形写像）たち }\}\)
//
\(m = n\)である時は、\(M_{m \times n} (\mathbb{R})\)は、しばしば、\(M_n (\mathbb{R})\)と表記される。
2: 注
言い換えると、\(M_{m \times n} (\mathbb{R})\)に、\(f\)をあるホメオモーフィズム（位相同形写像）にするトポロジーが与えられる、それは、妥当である、なぜなら、\(f\)はあるバイジェクション（全単射）である: 任意の\(S \subseteq M_{m \times n} (\mathbb{R})\)はオープン（開）である、もしも、\(f (S) \subseteq \mathbb{R}^{m n}\)がオープン（開）である場合、そしてその場合に限って。
\(m = n\)である時は、\(M_n (\mathbb{R})\)はあるリング（環）である、\(n \times n\)リング（環）マトリックス（行列）たちのリング（環）の定義によって、そして、当該マルチプリケーション（乗法）\(m: M_n (\mathbb{R}) \times M_n (\mathbb{R}) \to M_n (\mathbb{R})\)はコンティニュアス（連続）である、すぐ下に見られるとおり。
\(m = f^{- 1} \circ f \circ m \circ (f^{- 1}, f^{- 1}) \circ (f, f)\)、なぜなら、各\(M, M' \in M_n (\mathbb{R})\)に対して、\(f^{- 1} \circ f \circ m \circ (f^{- 1}, f^{- 1}) \circ (f, f) (M, M') = f^{- 1} \circ f \circ m \circ (f^{- 1}, f^{- 1}) \circ (f (M), f (M')) = f^{- 1} \circ f \circ m (f^{- 1} (f (M)), f^{- 1} (f (M'))) = f^{- 1} \circ f \circ m (M, M') = m (M, M')\)。
\(f \circ m \circ (f^{- 1}, f^{- 1}): \mathbb{R}^{n^2} \times \mathbb{R}^{n^2} \to \mathbb{R}^{n^2}\)はコンティニュアス（連続）であることを見よう。
\(\mathbb{R}^{n^2}\)は、\(C^{\infty}\)マニフォールド（多様体）\(\mathbb{R}^{n^2}\)のあるトポロジカルサブスペース（部分空間）である、そして、\(\mathbb{R}^{n^2}\)に対するスタンダード（標準）チャートによって、各\(v_1, v_2 \in f (M_n (\mathbb{R}))\)の各コンポーネントは\(f^{- 1} (v_1), f^{- 1} (v_2)\)のあるコンポーネントになる、\(m (f^{- 1} (v_1), f^{- 1} (v_2))\)の各コンポーネントは\(f^{- 1} (v_1), f^{- 1} (v_2)\)のコンポーネントたちのあるポリノミアル（多項式）である、それは、\(v_1, v_2\)のコンポーネントたちのあるポリノミアル（多項式）である、そして、\(m (f^{- 1} (v_1), f^{- 1} (v_2))\)のそれらコンポーネントたちは\(f \circ m \circ (f^{- 1}, f^{- 1}) (v_1, v_2)\)のコンポーネントたちになる、したがって、\(f \circ m \circ (f^{- 1}, f^{- 1})\)のコンポーネントたちファンクション（関数）のコンポーネントたちは何らかのポリノミアル（多項式）たちである、それらは、コンティニュアス（連続）である。
したがって、\(f \circ m \circ (f^{- 1}, f^{- 1})\)はコンティニュアス（連続である）、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間マップ（写像）は任意のポイントにおいてコンティニュアス（連続）である、もしも、当該スペース（空間）たちは何らかの\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちのサブスペース（部分空間）たちであり、当該ポイントおよび当該ポイントイメージ（像）の周りに当該マニフォールド（多様体）たちのチャートたちがあり、当該チャートオープンサブセット（部分集合）たち間マップ（写像）で元のマップ（写像）へリストリクテッド（制限される）なもので、そのコーディネート（ 座標）たちファンクション（関数）のリストリクション（制限）がコンティニュアス（連続）であるものがある場合という命題によって。
\((f, f)\)はコンティニュアス（連続）である、任意の有限個のコンティヌアス（連続）マップ（写像）たちのプロダクトマップ（写像）は、プロダクトトポロジーによってコンティヌアス（連続）であるという命題によって。
\(f^{- 1}\)はコンティニュアス（連続）である、なぜなら、\(f\)はあるホメオモーフィズム（位相同形写像）である。
したがって、\(m = f^{- 1} \circ f \circ m \circ (f^{- 1}, f^{- 1}) \circ (f, f)\)はコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間の任意のマップ（写像）たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題によって。
