クォータニオン（4元数）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）は、対応するユークリディアントポロジカルスペース（空間）へカノニカル（正典）にホメオモーフィック（位相同形写像）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、クォータニオン（4元数）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ホメオモーフィズム（位相同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間マップ（写像）は任意のポイントにおいてコンティニュアス（連続）である、もしも、当該スペース（空間）たちは何らかの\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちのサブスペース（部分空間）たちであり、当該ポイントおよび当該ポイントイメージ（像）の周りに当該マニフォールド（多様体）たちのチャートたちがあり、当該チャートオープンサブセット（部分集合）たち間マップ（写像）で元のマップ（写像）へリストリクテッド（制限される）なもので、そのコーディネート（ 座標）たちファンクション（関数）のリストリクション（制限）がコンティニュアス（連続）であるものがある場合という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のクォータニオン（4元数）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）は、対応するユークリディアントポロジカルスペース（空間）へカノニカル（正典）にホメオモーフィック（位相同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(n\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(\mathbb{H}^n\): \(= \text{ 当該クォータニオン（4元数）ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)
\(\mathbb{R}^{4 n}\): \(= \text{ 当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)
\(f'''^`\): \(: \mathbb{H}^n \to f''' (\mathbb{H}^n) \subseteq M_{2 \times 2 n} (\mathbb{C})\), \(= \text{ ホメオモーフィズム（位相同形写像） }\)、それによって\(\mathbb{H}^n\)のトポロジーが定義されている
\(h\): \(: M_{2 \times 2 n} (\mathbb{C}) \to \mathbb{C}^{4 n} \to \mathbb{R}^{8 n}\), \(= \text{ ホメオモーフィズム（位相同形写像） }\)、それによって、\(M_{2 \times 2 n} (\mathbb{C})\)のトポロジーが定義されている
\(h^`\): \(: f''' (\mathbb{H}^n) \to h (f''' (\mathbb{H}^n))\), \(= h \text{ のドメイン（定義域）コドメイン（余域）リストリクション（制限） }\)
\(h'\): \(: \mathbb{R}^{4 n} \to \mathbb{R}^{8 n}, (a_1, b_1, c_1, d_1, ..., a_n, b_n, c_n, d_n) \mapsto (a_1, b_1, - c_1, d_1, c_1, d_1, a_1, - b_1, ..., a_n, b_n, - c_n, d_n, c_n, d_n, a_n, - b_n)\)
\(h'^`\): \(: \mathbb{R}^{4 n} \to h' (\mathbb{R}^{4 n})\), \(= \text{ the codomain restriction of } h'\)
\(h'^`\): \(: \mathbb{R}^{4 n} \to h' (\mathbb{R}^{4 n})\), \(= h' \text{ のコドメイン（余域）リストリクション（制限） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\({h'^`}^{- 1} \circ h^` \circ f'''^`: \mathbb{H}^n \to \mathbb{R}^{4 n}, (a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k, ..., a_n + b_n i + c_n j + d_n k) \mapsto (a_1, b_1, c_1, d_1, ..., a_n, b_n, c_n, d_n) \in \{\text{ 全てのホメオモーフィズム（位相同形写像）たち }\}\)
//
2: 注
したがって、私たちは、\(\mathbb{H}^n\)のトポロジーを、\(\mathbb{H}^n\)から\(\mathbb{R}^4\)の上への直接マッピングではなく\(f'''^`\)によって定義したところ、実のところ、\(\mathbb{H}^n\)は\(\mathbb{R}^4\)へホメオモーフィック（位相同形写像）である、当該直接マッピングによって。
3: Proof
Whole Strategy: Step 1: see that \({h'^`}^{- 1} \circ h^` \circ f'''^`\) is valid: Step 2: see that \(h^`\) and \(h'^`\) are some homeomorphisms; Step 3: conclude the proposition.
Step 1:
Let us see that \({h'^`}^{- 1} \circ h^` \circ f'''^`\) is valid.
The codomain of \(f'''^`\) equals the domain of \(h^`\), but the issue is whether the codomain of \(h^`\), \(h (f''' (\mathbb{H}^n))\), equals the domain of \({h'^`}^{- 1}\), \(h' (\mathbb{R}^{4 n})\).
\(\mathbb{H}^n = \{(a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k, ..., a_n + b_n i + c_n j + d_n k) \vert a_1, b_1, c_1, d_1, ..., a_n, b_n, c_n, d_n \in \mathbb{R}\}\).
\(f''' (\mathbb{H}^n) = \{\begin{pmatrix} a_1 + b_1 i & c_1 + d_1 i & ... & a_n + b_n i & c_n + d_n i \\ - c_1 + d_1 i & a_1 - b_1 i & ... & - c_n + d_n i & a_n - b_n i \end{pmatrix} \vert a_1, b_1, c_1, d_1, ..., a_n, b_n, c_n, d_n \in \mathbb{R}\}\).
\(h (f''' (\mathbb{H}^n)) = \{(a_1, b_1, - c_1, d_1, c_1, d_1, a_1, - b_1, ..., a_n, b_n, - c_n, d_n, c_n, d_n, a_n, - b_n) \vert a_1, b_1, c_1, d_1, ..., a_n, b_n, c_n, d_n \in \mathbb{R}\}\).
\(h' (\mathbb{R}^{4 n}) = \{(a_1, b_1, - c_1, d_1, c_1, d_1, a_1, - b_1, ..., a_n, b_n, - c_n, d_n, c_n, d_n, a_n, - b_n) \vert a_1, b_1, c_1, d_1, ..., a_n, b_n, c_n, d_n \in \mathbb{R}\}\).
So, \(h (f''' (\mathbb{H}^n)) = h' (\mathbb{R}^{4 n})\).
Each \((a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k, ..., a_n + b_n i + c_n j + d_n k) \in \mathbb{H}^n\) is mapped to \(\begin{pmatrix} a_1 + b_1 i & c_1 + d_1 i & ... & a_n + b_n i & c_n + d_n i \\ - c_1 + d_1 i & a_1 - b_1 i & ... & - c_n + d_n i & a_n - b_n i \end{pmatrix}\) by \(f'''^`\), which is mapped to \((a_1, b_1, - c_1, d_1, c_1, d_1, a_1, - b_1, ..., a_n, b_n, - c_n, d_n, c_n, d_n, a_n, - b_n)\) by \(h^`\), which is mapped to \((a_1, b_1, c_1, d_1, ..., a_n, b_n, c_n, d_n)\) by \({h'^`}^{- 1}\).
So, \({h'^`}^{- 1} \circ h^` \circ f'''^`\) is valid.
Step 2:
\(f'''^`\) is defined to be a homeomorphism: the topology of \(\mathbb{H}^n\) has been defined to make \(f'''^`\) a homeomorphism.
\(h\) is defined to be a homeomorphism: the topology of \(M_{2 \times 2 n} (\mathbb{C})\) has been defined to make \(h\) a homeomorphism
\(h^`\) is a homeomorphism, by the proposition that any restriction of any continuous map on the domain and the codomain is continuous.
\(h'\) is obviously an injection.
So, \(h'^`\) is a bijection.
So, \({h'^`}^{- 1}\) exists.
\(\mathbb{R}^{4 n}\) is a topological subspace of the \(C^\infty\) manifold, \(\mathbb{R}^{4 n}\), and \(\mathbb{R}^{8 n}\) is a topological subspace of the \(C^\infty\) manifold, \(\mathbb{R}^{8 n}\), and by the standard charts, the components function of \(h'^`\) is nothing but \(: (a_1, b_1, c_1, d_1, ..., a_n, b_n, c_n, d_n) \mapsto (a_1, b_1, - c_1, d_1, c_1, d_1, a_1, - b_1, ..., a_n, b_n, - c_n, d_n, c_n, d_n, a_n, - b_n)\), which is continuous.
So, \(h'\) is continuous, by the proposition that any topological spaces map is continuous at any point if the spaces are the subspaces of some \(C^\infty\) manifolds and there are some charts of the manifolds around the point and the point image and a map between the chart open subsets which (the map) is restricted to the original map whose (the chart open subsets map's) coordinates function's restriction is continuous.
\(h'^`\) is continuous, by the proposition that any restriction of any continuous map on the domain and the codomain is continuous.
Let us think of \(h'': \mathbb{R}^{8 n} \to \mathbb{R}^{4 n}, (a_1, b_1, - c_1, d_1, c'_1, d'_1, a'_1, - b'_1, ..., a_n, b_n, - c_n, d_n, c'_n, d'_n, a'_n, - b'_n) \mapsto (a_1, b_1, c_1, d_1, ..., a_n, b_n, c_n, d_n)\).
\(h'' \vert_{h' (\mathbb{R}^{4 n})} = {h'^`}^{- 1}\).
\(h''\) is obviously continuous, so, \(h'' \vert_{h' (\mathbb{R}^{4 n})}\) is continuous, by the proposition that any restriction of any continuous map on the domain and the codomain is continuous.
So, \({h'^`}^{- 1}\) is continuous, by the proposition that any topological spaces map is continuous at any point if the spaces are the subspaces of some \(C^\infty\) manifolds and there are some charts of the manifolds around the point and the point image and a map between the chart open subsets which (the map) is restricted to the original map whose (the chart open subsets map's) coordinates function's restriction is continuous.
So, \(h'^`\) is a homeomorphism, and \({h'^`}^{- 1}\) is a homeomorphism.
Step 3:
So, \({h'^`}^{- 1} \circ h^` \circ f'''^`\) is a homeomorphism.
