クォータニオン（4元数）ユークリディアンモジュール（加群）からそれ自体の中へのマップ（写像）およびオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）たちに対して、もしも、マップ（写像）がオーソゴーナルリニア（直交線形）である場合、そしてその場合に限って、マップ（写像）はベーシス（基底）に関してシンプレクティックマトリックス（行列）によって代表されることの記述/証明
話題
About: モジュール（加群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、クォータニオン（4元数）ユークリディアンモジュール（加群）の定義を知っている。
- 読者は、クォータニオン（4元数）ユークリディアンモジュール（加群）たち間オーソゴーナルリニアマップ（直交線形写像）の定義を知っている。
- 読者は、モジュール（加群）のベーシス（基底）の定義を知っている。
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つもののオーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）の定義を知っている。
- 読者は、\(n \times n\)シンプレクティックマトリックス（行列）たちグループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、任意の同一リング（環）上方の、モジュール（加群）で任意の\(d_1\)個要素たちベーシス（基底）を持つ任意のものからモジュール（加群）で任意の\(d_2\)個要素たちベーシス（基底）を持つ任意のものの中への任意のマップ（写像）に対して 、当該マップ（写像）はリニア（線形）である、もしも、当該マップ（写像）は当該\(d_1 \times d_2\)リング（環）マトリックス（行列）によって代表される場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のクォータニオン（4元数）ユークリディアンモジュール（加群）たち間任意のオーソゴーナルリニアマップ（直交線形写像）に対して、各要素たちのイメージ（像）たちのインナープロダクト（内積）は当該要素たちのインナープロダクト（内積）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のクォータニオン（4元数）ユークリディアンモジュール（加群）からそれ自体の中への任意のマップ（写像）および任意のオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）たちに対して、もしも、当該マップ（写像）がオーソゴーナルリニア（直交線形）である場合、そしてその場合に限って、当該マップ（写像）は当該ベーシス（基底）に関してあるシンプレクティックマトリックス（行列）によって代表されるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(n\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(\mathbb{H}^n\): \(= \text{ 当該クォータニオン（4元数）ユークリディアンモジュール（加群） }\)
\(B_1\): \(\in \{\mathbb{H}^n \text{ の全てのオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）たち }\}\), \(= \{{b_1}^1, ..., {b_1}^n\}\)
\(B_2\): \(\in \{\mathbb{H}^n \text{ の全てのオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）たち }\}\), \(= \{{b_2}^1, ..., {b_2}^n\}\)
\(f\): \(: \mathbb{H}^n \to \mathbb{H}^n\), \(\in \{\text{ 全てのマップ（写像）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全てのオーソゴーナルリニアマップ（直交線形写像）たち }\}\)
\(\iff\)
\(M, f \text{ の } B_1 \text{ および } B_2 \text{ に関するレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列） }, \in \{\text{ 全てのシンプレクティックマトリックス（行列）たち }\}\)
//
2: 注
\(\mathbb{H}^n\)の任意のベーシス（基底）は、不可避に、\(n\)要素たちを持つ、任意のリング（環）はカノニカル（正典）にあるモジュール（加群）で、ある\(1\)-要素ベーシス（基底）を持つという命題、モジュール（加群）たちでベーシス（基底）たちを持つものたちの任意のファイナイト（有限）プロダクトモジュール（加群）はこのベーシス（基底）を持つという命題、任意のディビジョン（除算持ち）リング（環）上方任意のモジュール（加群）で任意のファイナイト（有限）ベーシス（基底）を持つものに対して、より大きいカーディナリティ（濃度）を持つベーシス（基底）はないという命題によって。
3: Proof
Whole Strategy: use the proposition that for any map from any module with any \(d_1\)-elements basis into any module with any \(d_2\)-elements basis over any same ring, the map is linear if and only if the map is represented by the \(d_1 \times d_2\) ring matrix; Step 1: suppose that \(f\) is orthogonal linear; Step 2: see that \(f\) is represented by a \(n \times n \mathbb{H}\) matrix, \(M\); Step 3: see that \(M\) is symplectic; Step 4: suppose that \(f\) is represented by any symplectic \(n \times n\) matrix, \(S\); Step 5: see that \(f\) is linear; Step 6: see that \(f\) is orthogonal linear.
Step 1:
Let us suppose that \(f\) is orthogonal linear.
Step 2:
\(f\) is represented by a \(n \times n \mathbb{H}\) matrix, \(M\), by the proposition that for any map from any module with any \(d_1\)-elements basis into any module with any \(d_2\)-elements basis over any same ring, the map is linear if and only if the map is represented by the \(d_1 \times d_2\) ring matrix.
That means that \(f ({b_1}^j) = M^j_l {b_2}^l\).
Step 3:
\(f ({b_1}^j) f ({b_1}^l)^* = {{b_1}^j}^* {{b_1}^l}^*\), by the proposition that for any orthogonal linear map between any quaternion Euclidean modules, the inner product of the images of each elements is the inner product of the elements.
The left hand side is \((M^j_p {b_2}^p) (M^l_q {b_2}^q)^* = M^j_p {b_2}^p {{b_2}^q}^* {M^l_q}^* = \sum_{q \in \{1, ..., n\}} M^j_p \delta^p_q \overline{M^l_q}\), because \(B_2\) is orthonormal, \(= \sum_{p \in \{1, ..., n\}} M^j_p \overline{M^l_p} = M^j_p {M^*}^p_l = (M M^*)^j_l\).
So, \(M M^* = I\).
So, \(M^* = M^{- 1}\), by Note for the definition of \(n \times n\) symplectic matrices group.
So, \(M\) is symplectic.
Step 4:
Let us suppose that \(f\) is represented by any symplectic \(n \times n\) matrix, \(S\).
Step 5:
\(f\) is linear, by the proposition that for any map from any module with any \(d_1\)-elements basis into any module with any \(d_2\)-elements basis over any same ring, the map is linear if and only if the map is represented by the \(d_1 \times d_2\) ring matrix.
Step 6:
Let \(m = m_j {b_1}^j \in \mathbb{H}^n\) be any.
\(f (m) f (m)^* = f (m_j {b_1}^j) f (m_l {b_1}^l)^* = (m_j f ({b_1}^j)) (m_l f ({b_1}^l))^* = m_j f ({b_1}^j) f ({b_1}^l)^* {m_l}^* = m_j M^j_p {b_2}^p (M^l_q {b_2}^q)^* {m_l}^* = m_j M^j_p {b_2}^p {{b_2}^q}^* {M^l_q}^* {m_l}^* = \sum_{q \in \{1, ..., n\}} m_j M^j_p \delta^p_q {M^l_q}^* {m_l}^*\), because \(B_2\) is orthonormal, \(= \sum_{p \in \{1, ..., n\}} m_j M^j_p \overline{M^l_p} {m_l}^* = \sum_{l \in \{1, ..., n\}} m_j M^j_p {M^*}^p_l {m_l}^* = \sum_{l \in \{1, ..., n\}} m_j (M M^*)^j_l {m_l}^* = \sum_{l \in \{1, ..., n\}} m_j I^j_l {m_l}^*\), because \(M\) is symplectic, \(= \sum_{l \in \{1, ..., n\}} m_j \delta^j_l {m_l}^* = m_j {b_1}^j {{b_1}^l}^* {m_l}^*\), because \(B_1\) is orthonormal, \(= m (m_l {b_1}^l)^* = m m^*\).
So, \(f\) is orthogonal linear.
