パスコネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントはローカルにパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）上でオープン（開）かつクローズド（閉）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、パスコネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントの定義を知っている。
- 読者は、ローカルにパスコネクテッド（連結された）なトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）上でパスコネクテッド（連結された）である任意の2ポイントたちは任意のより大きなサブスペース（部分空間）上でパスコネクテッド（連結された）であるという命題を認めている。
- 読者は、オープン（開）であることのローカル基準を認めている。
- 読者は、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のパスコネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントは任意のローカルにパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）上でオープン（開）かつクローズド（閉）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のローカルにパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）\(T\)に対して、任意のパスコネクテッド（連結された）コンポーネント\(T_1 \subseteq T\)はオープン（開）かつクローズド（閉）である。
2: 証明
任意のポイント\(p \in T_1\)の周りに、\(p\)のあるネイバーフッド（近傍）\(N_p \subseteq T\)および\(p\)のパスコネクテッド（連結された）ネイバーフッド（近傍）\({N_p}' \subseteq N_p\)がある。\({N_p}' \subseteq T_1\)、なぜなら、\({N_p}'\)上の各ポイントは\({N_p}'\)上で\(p\)とパスコネクテッド（連結された）である、したがって、\(T\)上でもそうである、任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）上でパスコネクテッド（連結された）である任意の2ポイントたちは任意のより大きなサブスペース（部分空間）上でパスコネクテッド（連結された）であるという命題によって。したがって、\(T_1\)はオープン（開）である、オープン（開）であることのローカル基準によって。
\(T_1\)はクローズド（閉）でなかったと仮定する。クロージャー（閉包）\(\overline{T_1}\)はクローズド（閉）であるところ、あるポイント\(p \in \overline{T_1}\)および\(p \notin T_1\)があるだろう。任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題によって、\(p\)は\(T_1\)のアキューミュレーションポイント（集積点）であるだろう。\(p\)の任意のネイバーフッド（近傍）\(N_p\)に対して、\(p\)のあるパスコネクテッド（連結された）ネイバーフッド（近傍）\({N_p}' \subseteq N_p\)がある。\(p\)は\(T_1\)のアキューミュレーション（集積点）ポイントということになるから、\({N_p}'\)は\(T_1\)のあるポイントを包含することになる、したがって、\(p\)は\({N_p}'\)上で\(T_1\)の当該ポイントとパスコネクテッド（連結された）だということになる、そして、\(T\)上でそうだということになる、任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）上でパスコネクテッド（連結された）である任意の2ポイントたちは任意のより大きなサブスペース（部分空間）上でパスコネクテッド（連結された）であるという命題によって。したがって、\(p\)は\(T_1\)内にあるということになる、矛盾。したがって、\(T_1\)はクローズド（閉）である。
