219: パスコネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントはローカルにパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）上でオープン（開）かつクローズド（閉）である

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>

パスコネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントはローカルにパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）上でオープン（開）かつクローズド（閉）であることの記述/証明

---

話題

About: トポロジカルスペース（空間）

---

この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

---

開始コンテキスト

• 読者は、パスコネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントの定義を知っている。
• 読者は、ローカルにパスコネクテッド（連結された）なトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
• 読者は、任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）上でパスコネクテッド（連結された）である任意の2ポイントたちは任意のより大きなサブスペース（部分空間）上でパスコネクテッド（連結された）であるという命題を認めている。
• 読者は、オープン（開）であることのローカル基準を認めている。
• 読者は、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題を認めている。

---

ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のパスコネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントは任意のローカルにパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）上でオープン（開）かつクローズド（閉）であるという命題の記述および証明を得る。

---

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

---

本体

---

1: 記述

任意のローカルにパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）$T$に対して、任意のパスコネクテッド（連結された）コンポーネント$T_1\subseteq T$はオープン（開）かつクローズド（閉）である。

---

2: 証明

任意のポイント$p\in T_1$の周りに、$p$のあるネイバーフッド（近傍）$N_p\subseteq T$および$p$のパスコネクテッド（連結された）ネイバーフッド（近傍）${N_p}^{\prime }\subseteq N_p$がある。${N_p}^{\prime }\subseteq T_1$、なぜなら、${N_p}^{\prime }$上の各ポイントは${N_p}^{\prime }$上で$p$とパスコネクテッド（連結された）である、したがって、$T$上でもそうである、任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）上でパスコネクテッド（連結された）である任意の2ポイントたちは任意のより大きなサブスペース（部分空間）上でパスコネクテッド（連結された）であるという命題によって。したがって、$T_1$はオープン（開）である、オープン（開）であることのローカル基準によって。

$T_1$はクローズド（閉）でなかったと仮定する。クロージャー（閉包）$\overline{T_1}$はクローズド（閉）であるところ、あるポイント$p\in \overline{T_1}$および$p\notin T_1$があるだろう。任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題によって、$p$は$T_1$のアキューミュレーションポイント（集積点）であるだろう。$p$の任意のネイバーフッド（近傍）$N_p$に対して、$p$のあるパスコネクテッド（連結された）ネイバーフッド（近傍）${N_p}^{\prime }\subseteq N_p$がある。$p$は$T_1$のアキューミュレーション（集積点）ポイントということになるから、${N_p}^{\prime }$は$T_1$のあるポイントを包含することになる、したがって、$p$は${N_p}^{\prime }$上で$T_1$の当該ポイントとパスコネクテッド（連結された）だということになる、そして、$T$上でそうだということになる、任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）上でパスコネクテッド（連結された）である任意の2ポイントたちは任意のより大きなサブスペース（部分空間）上でパスコネクテッド（連結された）であるという命題によって。したがって、$p$は$T_1$内にあるということになる、矛盾。したがって、$T_1$はクローズド（閉）である。

---

参考資料

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>