574: ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）の中へのアファインシンプレックス（単体）マップ（写像）はカノニカル（自然な）トポロジーたちに関してコンティニュアス（連続）である

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ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）の中へのアファインシンプレックス（単体）マップ（写像）はカノニカル（自然な）トポロジーたちに関してコンティニュアス（連続）であることの記述/証明

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）
About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、アファインシンプレックス（単体）の定義を知っている。
• 読者は、ファイナイト（有限）次元リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（自然な）トポロジーの定義を知っている。
• 読者は、ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（自然な）$C^{\mathrm{\infty }}$アトラスの定義を知っている。
• 読者は、コンティニュアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間マップ（写像）は任意のポイントにおいてコンティニュアス（連続）である、もしも、当該スペース（空間）たちは何らかの$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちのサブスペース（部分空間）たちであり、当該ポイントおよび当該ポイントイメージ（像）の周りに当該マニフォールド（多様体）たちのチャートたちがあり、当該チャートオープンサブセット（部分集合）たち間マップ（写像）で元のマップ（写像）へリストリクテッド（制限される）なもので、そのコーディネート（ 座標）たちファンクション（関数）のリストリクション（制限）がコンティニュアス（連続）であるものがある場合という命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）の中への任意のアファインシンプレックス（単体）マップ（写像）はドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）のカノニカル（自然な）トポロジーたちに関してコンティニュアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$V$: $\in \{\text{ 全ての }d\text{ ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$でカノニカル（自然な）トポロジーを持つもの
$\{p_0,...,p_n\}$: $\subseteq V$, $\in \{V\text{ 上のベースポイントたちの全てのアファインインディペンデント（独立）セット（集合）たち }\}$
$[p_0,...,p_n]$: $=\text{ 当該アファインシンプレックス（単体） }$
${\mathbb{R}}^{n+1}$: $=\text{ ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }$
$T$: $=\{t=(t^0,...,t^n)\in {\mathbb{R}}^{n+1}|\sum _{j\in \{0,...,n\}}{t}^j=1\wedge 0\le t^j\}\subseteq {\mathbb{R}}^{n+1}$、${\mathbb{R}}^{n+1}$のトポロジカルサブスペース（部分空間）として
$f$: $:T\to V,t=(t^0,...,t^n)\mapsto \sum _{j\in \{0,...,n\}}{t}^j{p}_j$
//

ステートメント（言明）たち:
$f\in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}$
//

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2: 自然言語記述

任意の$d$ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）$V$でカノニカル（自然な）トポロジーを持つもの、$V$上のベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）セット（集合）$\{p_0,...,p_n\}\subseteq V$、アファインシンプレックス（単体）$[p_0,...,p_n]$、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）${\mathbb{R}}^{n+1}$、$T:=\{t=(t^0,...,t^n)\in {\mathbb{R}}^{n+1}|\sum _{j\in \{0,...,n\}}{t}^j=1\wedge 0\le t^j\}\subseteq {\mathbb{R}}^{n+1}$で${\mathbb{R}}^{n+1}$のトポロジカルサブスペース（部分空間）とみなしたものに対して、マップ（写像）$f:T\to V,t=(t^0,...,t^n)\mapsto \sum _{j\in \{0,...,n\}}{t}^j{p}_j$はコンティニュアス（連続）である。

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3: 証明

ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）${\mathbb{R}}^{n+1}$のことを考えよう。$T\subseteq {\mathbb{R}}^{n+1}$は当該$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）のトポロジカルサブスペース（部分空間）である。

ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）${\mathbb{R}}^d$からインデュースト（誘導された）カノニカル$C^{\mathrm{\infty }}$アトラスを持つカノニカル$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）$V$のことを考えよう。$V\subseteq V$は当該$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）のトポロジカルサブスペース（部分空間）である。

$({\mathbb{R}}^{n+1},id)$は$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）${\mathbb{R}}^{n+1}$のチャートである。

$\{p_1-p_0,...,p_n-p_0\}$は$V$上でリニア（線形）にインディペンデント（独立）であり、私たちは、$V$に対して、任意のベーシス（基底）$\{p_1-p_0,...,p_n-p_0,b_{n+1},...,b_d\}$を取ることができる。任意の$v\in V$に対して、$v=s^1(p_1-p_0)+...+s^n(p_n-p_0)+s^{n+1}{b}_{n+1}+...+s^d{b}_d$で、$(V,\varphi )$, $\varphi :V\to {\mathbb{R}}^d,v\mapsto (s^1,...,s^n,s^{n+1},...,s^d)$は、$V$に対するカノニカルな$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）のチャートである。

$f(t)=\sum _{j\in \{0,...,n\}}{t}^j{p}_j=\sum _{j\in \{0,...,n\}}{t}^j(p_j-p_0)+\sum _{j\in \{0,...,n\}}{t}^j{p}_0=\sum _{j\in \{1,...,n\}}{t}^j(p_j-p_0)+1p_0$。

したがって、マップ（写像）$f^{\prime }:{\mathbb{R}}^{n+1}\to V,t\mapsto \sum _{j\in \{1,...,n\}}{t}^j(p_j-p_0)+1p_0$を取ろう。$f^{\prime }{|}_{{\mathbb{R}}^{n+1}\cap T}=f{|}_{{\mathbb{R}}^{n+1}\cap T}$。リストリクテッド（制限された）コーディネート（座標）たちファンクション（関数）$\varphi \circ f^{\prime }\circ {id}^{-1}{|}_{id({\mathbb{R}}^{n+1}\cap T)}:id({\mathbb{R}}^{n+1}\cap T)\to \varphi (V)$は$(t^0,...,t^n)\mapsto (t^1+p_0^1,...,t^n+p_0^n,p_0^{n+1},...,p_0^d)$、ここで、$\varphi (p_0)=(p_0^1,...,p_0^d)$、それは明らかにコンティニュアス（連続）である。

任意のトポロジカルスペース（空間）たち間マップ（写像）は任意のポイントにおいてコンティニュアス（連続）である、もしも、当該スペース（空間）たちは何らかの$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちのサブスペース（部分空間）たちであり、当該ポイントおよび当該ポイントイメージ（像）の周りに当該マニフォールド（多様体）たちのチャートたちがあり、当該チャートオープンサブセット（部分集合）たち間マップ（写像）で元のマップ（写像）へリストリクテッド（制限される）なもので、そのコーディネート（ 座標）たちファンクション（関数）のリストリクション（制限）がコンティニュアス（連続）であるものがある場合という命題によって、$f$はコンティニュアス（連続）である。

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参考資料

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