ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）の中へのアファインシンプレックス（単体）マップ（写像）はカノニカル（自然な）トポロジーたちに関してコンティニュアス（連続）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、アファインシンプレックス（単体）の定義を知っている。
- 読者は、ファイナイト（有限）次元リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（自然な）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（自然な）\(C^\infty\)アトラスの定義を知っている。
- 読者は、コンティニュアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間マップ（写像）は任意のポイントにおいてコンティニュアス（連続）である、もしも、当該スペース（空間）たちは何らかの\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちのサブスペース（部分空間）たちであり、当該ポイントおよび当該ポイントイメージ（像）の周りに当該マニフォールド（多様体）たちのチャートたちがあり、当該チャートオープンサブセット（部分集合）たち間マップ（写像）で元のマップ（写像）へリストリクテッド（制限される）なもので、そのコーディネート（ 座標）たちファンクション（関数）のリストリクション（制限）がコンティニュアス（連続）であるものがある場合という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）の中への任意のアファインシンプレックス（単体）マップ（写像）はドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）のカノニカル（自然な）トポロジーたちに関してコンティニュアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)でカノニカル（自然な）トポロジーを持つもの
\(\{p_0, ..., p_n\}\): \(\subseteq V\), \(\in \{V\text{ 上のベースポイントたちの全てのアファインインディペンデント（独立）セット（集合）たち }\}\)
\([p_0, ..., p_n]\): \(= \text{ 当該アファインシンプレックス（単体） }\)
\(\mathbb{R}^{n + 1}\): \(= \text{ ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)
\(T\): \(= \{t = (t^0, ..., t^n) \in \mathbb{R}^{n + 1} \vert \sum_{j \in \{0, ..., n\}} t^j = 1 \land 0 \le t^j\} \subseteq \mathbb{R}^{n + 1}\)、\(\mathbb{R}^{n + 1}\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）として
\(f\): \(: T \to V, t = (t^0, ..., t^n) \mapsto \sum_{j \in \{0, ..., n\}} t^j p_j\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}\)
//
2: 自然言語記述
任意の\(d\)ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）\(V\)でカノニカル（自然な）トポロジーを持つもの、\(V\)上のベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）セット（集合）\(\{p_0, ..., p_n\} \subseteq V\)、アファインシンプレックス（単体）\([p_0, ..., p_n]\)、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）\(\mathbb{R}^{n + 1}\)、\(T := \{t = (t^0, ..., t^n) \in \mathbb{R}^{n + 1} \vert \sum_{j \in \{0, ..., n\}} t^j = 1 \land 0 \le t^j\} \subseteq \mathbb{R}^{n + 1}\)で\(\mathbb{R}^{n + 1}\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）とみなしたものに対して、マップ（写像）\(f: T \to V, t = (t^0, ..., t^n) \mapsto \sum_{j \in \{0, ..., n\}} t^j p_j\)はコンティニュアス（連続）である。
3: 証明
ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）\(\mathbb{R}^{n + 1}\)のことを考えよう。\(T \subseteq \mathbb{R}^{n + 1}\)は当該\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のトポロジカルサブスペース（部分空間）である。
ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）\(\mathbb{R}^d\)からインデュースト（誘導された）カノニカル\(C^\infty\)アトラスを持つカノニカル\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）\(V\)のことを考えよう。\(V \subseteq V\)は当該\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のトポロジカルサブスペース（部分空間）である。
\((\mathbb{R}^{n + 1}, id)\)は\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）\(\mathbb{R}^{n + 1}\)のチャートである。
\(\{p_1 - p_0, ..., p_n - p_0\}\)は\(V\)上でリニア（線形）にインディペンデント（独立）であり、私たちは、\(V\)に対して、任意のベーシス（基底）\(\{p_1 - p_0, ..., p_n - p_0, b_{n + 1}, ..., b_d\}\)を取ることができる。任意の\(v \in V\)に対して、\(v = s^1 (p_1 - p_0) + ... + s^n (p_n - p_0) + s^{n + 1} b_{n + 1} + ... + s^d b_d\)で、\((V, \phi)\), \(\phi: V \to \mathbb{R}^d, v \mapsto (s^1, ..., s^n, s^{n + 1}, ..., s^d)\)は、\(V\)に対するカノニカルな\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のチャートである。
\(f (t) = \sum_{j \in \{0, ..., n\}} t^j p_j = \sum_{j \in \{0, ..., n\}} t^j (p_j - p_0) + \sum_{j \in \{0, ..., n\}} t^j p_0 = \sum_{j \in \{1, ..., n\}} t^j (p_j - p_0) + 1 p_0\)。
したがって、マップ（写像）\(f': \mathbb{R}^{n + 1} \to V, t \mapsto \sum_{j \in \{1, ..., n\}} t^j (p_j - p_0) + 1 p_0\)を取ろう。\(f'\vert_{\mathbb{R}^{n + 1} \cap T} = f\vert_{\mathbb{R}^{n + 1} \cap T}\)。リストリクテッド（制限された）コーディネート（座標）たちファンクション（関数）\(\phi \circ f' \circ {id}^{-1}\vert_{id (\mathbb{R}^{n + 1} \cap T)}: id (\mathbb{R}^{n + 1} \cap T) \to \phi (V)\)は\((t^0, ..., t^n) \mapsto (t^1 + p^1_0, ..., t^n + p^n_0, p^{n + 1}_0, ..., p^d_0)\)、ここで、\(\phi (p_0) = (p^1_0, ..., p^d_0)\)、それは明らかにコンティニュアス（連続）である。
任意のトポロジカルスペース（空間）たち間マップ（写像）は任意のポイントにおいてコンティニュアス（連続）である、もしも、当該スペース（空間）たちは何らかの\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちのサブスペース（部分空間）たちであり、当該ポイントおよび当該ポイントイメージ（像）の周りに当該マニフォールド（多様体）たちのチャートたちがあり、当該チャートオープンサブセット（部分集合）たち間マップ（写像）で元のマップ（写像）へリストリクテッド（制限される）なもので、そのコーディネート（ 座標）たちファンクション（関数）のリストリクション（制限）がコンティニュアス（連続）であるものがある場合という命題によって、\(f\)はコンティニュアス（連続）である。
