アファインシンプレックス（単体）マップ（写像）のドメイン（定義域）はユークリディアントポロジカルスーパースペース（空間）上でクローズド（閉）でコンパクトであることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、アファインシンプレックス（単体）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）の定義を知っている。
- 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のコンパクトサブセット（部分集合）の定義を知っている。
- 読者は、コンティニュアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、ハイネ-ボレル定理を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のアファインシンプレックス（単体）マップ（写像）のドメイン（定義域）は当該ユークリディアントポロジカルスーパースペース（空間）上でクローズド（閉）でコンパクトであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\mathbb{R}^{n + 1}\): \(= \text{ ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)
\(T\): \(= \{t = (t^0, ..., t^n) \in \mathbb{R}^{n + 1} \vert \sum_{j \in \{0, ..., n\}} t^j = 1 \land 0 \le t^j\} \subseteq \mathbb{R}^{n + 1}\)、\(\mathbb{R}^{n + 1}\)のサブスペース（部分空間）として
//
ステートメント（言明）たち:
\(T \in \{\mathbb{R}^{n + 1} \text{ の全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たち }\} \cap \{\mathbb{R}^{n + 1} \text{ の全てのコンパクトサブセット（部分集合）たち }\}\)。
//
\(T\)はそれ自体としてコンパクトトポロジカルスペース（空間）である、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しい という命題によって。
2: 自然言語記述
ユークリディアントポロジカルスペース（空間）\(\mathbb{R}^{n + 1}\)に対して、\(T := \{t = (t^0, ..., t^n) \in \mathbb{R}^{n + 1} \vert \sum_{j \in \{0, ..., n\}} t^j = 1 \land 0 \le t^j\} \subseteq \mathbb{R}^{n + 1}\)で\(\mathbb{R}^{n + 1}\)のサブスペース（部分空間）とみなしたものは、\(\mathbb{R}^{n + 1}\)上でクローズド（閉）でコンパクトである。
3: 注
何のアファインシンプレックス（単体）も"記述"内に明示的に現れないが、\(T\)は任意のアファインシンプレックスマップ（写像）\(f: T \to [p_0, ..., p_n] = \{\sum_{j \in \{0, ..., n\}} t^j p_j \in V \vert t^j \in \mathbb{R}, \sum_{j \in \{0, ..., n\}} t^j = 1 \land 0 \le t^j\}\)のドメイン（定義域）である。
"アファインシンプレックス（単体）マップ（写像）"は、確立された用語ではないかもしれないが、任意のアファインシンプレックス（単体）の下にあるマップ（写像）を意味し、アファインシンプレックス（単体）からのアファインマップ（写像）を意味しない。
3: 証明
\(\mathbb{R}\)はユークリディアントポロジカルスペース（空間）であるとしよう。マップ（写像）\(f_1: \mathbb{R}^{n + 1} \to \mathbb{R}, (t^1, ..., t^n) \mapsto \sum_{j \in \{0, ..., n\}} t^j\)を取ろう。\(f_1\)は明らかにコンティニュアス（連続）である。各\(j \in \{0, ..., n\}\)に対して、マップ（写像）\(f_{2, j}: \mathbb{R}^{n + 1} \to \mathbb{R}, (t^1, ..., t^n) \mapsto t^j\)を取ろう。\(f_{2, j}\)は明らかにコンティニュアス（連続）である。
\(T = {f_1}^{-1} (\{1\}) \cap \cap_j {f_{2, j}}^{-1} ([0, \infty))\)、しかし、\({f_1}^{-1} (\{1\}) \subseteq \mathbb{R}^{n + 1}\)および\({f_{2, j}}^{-1} ([0, \infty)) \subseteq \mathbb{R}^{n + 1}\)は\(\mathbb{R}^{n + 1}\)上でクローズド（閉）である、なぜなら、\(\{1\}, [0, \infty) \subseteq \mathbb{R}\)は\(\mathbb{R}\)上でクローズド（閉）であり、\(f_1\)および\(f_{2, j}\)はコンティニュアス（連続）である。
したがって、\(T\)は\(\mathbb{R}^{n + 1}\)上でクローズド（閉）である。
\(T\)はバウンデッド（有界）である（不可避に\(t^j \le 1\)）から、\(T\)は\(\mathbb{R}^{n + 1}\)上でコンパクトである、ハイネ-ボレル定理によって。
