573: アファインシンプレックス（単体）マップ（写像）のドメイン（定義域）はユークリディアントポロジカルスーパースペース（空間）上でクローズド（閉）でコンパクトである

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アファインシンプレックス（単体）マップ（写像）のドメイン（定義域）はユークリディアントポロジカルスーパースペース（空間）上でクローズド（閉）でコンパクトであることの記述/証明

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）
About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、アファインシンプレックス（単体）の定義を知っている。
• 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）の定義を知っている。
• 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
• 読者は、トポロジカルスペース（空間）のコンパクトサブセット（部分集合）の定義を知っている。
• 読者は、コンティニュアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、ハイネ-ボレル定理を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のアファインシンプレックス（単体）マップ（写像）のドメイン（定義域）は当該ユークリディアントポロジカルスーパースペース（空間）上でクローズド（閉）でコンパクトであるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
${\mathbb{R}}^{n+1}$: $=\text{ ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }$
$T$: $=\{t=(t^0,...,t^n)\in {\mathbb{R}}^{n+1}|\sum _{j\in \{0,...,n\}}{t}^j=1\wedge 0\le t^j\}\subseteq {\mathbb{R}}^{n+1}$、${\mathbb{R}}^{n+1}$のサブスペース（部分空間）として
//

ステートメント（言明）たち:
$T\in \{{\mathbb{R}}^{n+1}\text{ の全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たち }\}\cap \{{\mathbb{R}}^{n+1}\text{ の全てのコンパクトサブセット（部分集合）たち }\}$。
//

$T$はそれ自体としてコンパクトトポロジカルスペース（空間）である、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しい という命題によって。

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2: 自然言語記述

ユークリディアントポロジカルスペース（空間）${\mathbb{R}}^{n+1}$に対して、$T:=\{t=(t^0,...,t^n)\in {\mathbb{R}}^{n+1}|\sum _{j\in \{0,...,n\}}{t}^j=1\wedge 0\le t^j\}\subseteq {\mathbb{R}}^{n+1}$で${\mathbb{R}}^{n+1}$のサブスペース（部分空間）とみなしたものは、${\mathbb{R}}^{n+1}$上でクローズド（閉）でコンパクトである。

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3: 注

何のアファインシンプレックス（単体）も"記述"内に明示的に現れないが、$T$は任意のアファインシンプレックスマップ（写像）$f:T\to [p_0,...,p_n]=\{\sum _{j\in \{0,...,n\}}{t}^j{p}_j\in V|t^j\in \mathbb{R},\sum _{j\in \{0,...,n\}}{t}^j=1\wedge 0\le t^j\}$のドメイン（定義域）である。

"アファインシンプレックス（単体）マップ（写像）"は、確立された用語ではないかもしれないが、任意のアファインシンプレックス（単体）の下にあるマップ（写像）を意味し、アファインシンプレックス（単体）からのアファインマップ（写像）を意味しない。

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3: 証明

$\mathbb{R}$はユークリディアントポロジカルスペース（空間）であるとしよう。マップ（写像）$f_1:{\mathbb{R}}^{n+1}\to \mathbb{R},(t^1,...,t^n)\mapsto \sum _{j\in \{0,...,n\}}{t}^j$を取ろう。$f_1$は明らかにコンティニュアス（連続）である。各$j\in \{0,...,n\}$に対して、マップ（写像）$f_{2,j}:{\mathbb{R}}^{n+1}\to \mathbb{R},(t^1,...,t^n)\mapsto t^j$を取ろう。$f_{2,j}$は明らかにコンティニュアス（連続）である。

$T={f_1}^{-1}(\{1\})\cap {\cap }_j{f_{2,j}}^{-1}([0,\mathrm{\infty }))$、しかし、${f_1}^{-1}(\{1\})\subseteq {\mathbb{R}}^{n+1}$および${f_{2,j}}^{-1}([0,\mathrm{\infty }))\subseteq {\mathbb{R}}^{n+1}$は${\mathbb{R}}^{n+1}$上でクローズド（閉）である、なぜなら、$\{1\},[0,\mathrm{\infty })\subseteq \mathbb{R}$は$\mathbb{R}$上でクローズド（閉）であり、$f_1$および$f_{2,j}$はコンティニュアス（連続）である。

したがって、$T$は${\mathbb{R}}^{n+1}$上でクローズド（閉）である。

$T$はバウンデッド（有界）である（不可避に$t^j\le 1$）から、$T$は${\mathbb{R}}^{n+1}$上でコンパクトである、ハイネ-ボレル定理によって。

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参考資料

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