583: ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のファイナイト（有限）シンプリシャルコンプレックスのアンダーライイング（下にある）スペース（空間）のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、その、コンプレックスの各要素とのインターセクション（共通集合）がクローズド（閉）である場合、そしてその場合に限って

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ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のファイナイト（有限）シンプリシャルコンプレックスのアンダーライイング（下にある）スペース（空間）のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、その、コンプレックスの各要素とのインターセクション（共通集合）がクローズド（閉）である場合、そしてその場合に限ってという記述/証明

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）
About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、シンプリシャルコンプレックスの定義を知っている。
• 読者は、ファイナイト（有限）次元リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（自然な）トポロジーの定義を知っている。
• 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
• 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
• 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上の任意のシンプリシャルコンプレックスの各要素は当該コンプレックスのアンダーライイング（下にある）スペース（空間）上でクローズド（閉）でコンパクトであるという命題を認めている。
• 読者は、任意のセット（集合）に対して、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）と任意のサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上の任意のファイナイト（有限）シンプリシャルコンプレックスのアンダーライイング（下にある）スペース（空間）の任意のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、その、当該コンプレックスの各要素とのインターセクション（共通集合）がクローズド（閉）である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$V$: $\in \{\text{ 全ての }d\text{ ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間） }\}$で、カノニカル（自然な）トポロジーを持つもの
$C$: $\in \{V\text{ 上の全てのファイナイト（有限）シンプリシャルコンプレックスたち }\}$
$|C|$: $=C\text{ のアンダーライイング（下にある）スペース（空間） }$
$S$: $\subseteq |C|$
//

ステートメント（言明）たち:
$S\in \{|C|\text{ の全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たち }\}$
$⟺$
$\mathrm{\forall }s\in C(s\cap S\in \{|C|\text{ の全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たち }\})$
//

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2: 自然言語記述

任意の$d$ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）$V$でカノニカル（自然な）トポロジーを持つもの、$V$上の任意のファイナイト（有限）シンプリシャルコンプレックス$C$、$C$のアンダーライイング（下にある）スペース（空間）$|C|$に対して、任意のサブセット（部分集合）$S\subseteq |C|$はクローズド（閉）である、もしも、各$s\in C$に対して、$s\cap S$が$|C|$上でクローズド（閉）である場合、そしてその場合に限って。

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3: 証明

$S$は$|C|$上でクローズド（閉）であると仮定しよう。

$s$は$|C|$上でクローズド（閉）である、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上の任意のシンプリシャルコンプレックスの各要素は当該コンプレックスのアンダーライイング（下にある）スペース（空間）上でクローズド（閉）でコンパクトであるという命題によって。$s\cap S$は$|C|$上でクローズド（閉）である、クローズドサブセット（閉部分集合）たちのインターセクション（共通集合）として。

$s\cap S$は$|C|$上でクローズド（閉）であると仮定しよう。

$S=S\cap |C|=S\cap {\cup }_{s\in C}s={\cup }_{s\in C}(s\cap S)$、任意のセット（集合）に対して、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）と任意のサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって。$s\cap S$は$|C|$上でクローズド（閉）であるので、ファイナイト（有限）ユニオン（和集合）${\cup }_{s\in C}(s\cap S)$は$|C|$上でクローズド（閉）である。

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参考資料

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