ユニークファクタライゼイションドメイン（因子分解領域）、ファイナイト（有限）サブセット（部分集合）に対して、もしも、サブセット（部分集合）の各ペアサブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちがユニットアソシエイトたちである場合、そしてその場合に限って、サブセット（部分集合）の最小共通マルチプル（倍）たちはサブセット（部分集合）の要素たちのマルチプル（積）のアソシエイトたちであることの記述/証明
話題
About: リング（環）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ユニークファクタライゼイションドメイン（因子分解領域）の定義を知っている。
- 読者は、コミュータティブ（可換）リング（環）のサブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちの定義を知っている。
- 読者は、コミュータティブ（可換）リング（環）のサブセット（部分集合）の最小共通マルチプル（倍）たちの定義を知っている。
- 読者は、コミュータティブ（可換）リング（環）の要素のアソーシエイトたちの定義を知っている。
- 読者は、クオシエント（商）セット（集合）のレプリゼンタティブ（代表）たちセット（集合）の定義を知っている。
- 読者は、任意のユニークファクタライゼイションドメイン（因子分解領域）に対して、任意のファイナイト（有限）サブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちを得る、当該サブセット（部分集合）の各要素をアソーシエイトたちクオシエント（商）セット（集合）のレプリゼンタティブ（代表）たちセット（集合）を用いてファクタライズ（因子分解）することによる方法が機能するという命題を認めている。
- 読者は、任意のユニークファクタライゼイションドメイン（因子分解領域）に対して、任意のファイナイト（有限）サブセット（部分集合）の最小共通マルチプル（倍）たちを得る、当該サブセット（部分集合）の各要素をアソーシエイトたちクオシエント（商）セット（集合）のレプリゼンタティブ（代表）たちセット（集合）を用いてファクタライズ（因子分解）することによる方法が機能するという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のユニークファクタライゼイションドメイン（因子分解領域）、任意のファイナイト（有限）サブセット（部分集合）で1つよりも多くの要素たちを持つものに対して、もしも、当該サブセット（部分集合）の各ペアサブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちがユニットアソシエイトたちである場合、そしてその場合に限って、当該サブセット（部分集合）の最小共通マルチプル（倍）たちは当該サブセット（部分集合）の要素たちのマルチプル（積）のアソシエイトたちであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(R\): \(\in \{\text{ 全てのユニークファクタライゼイションドメイン（因子分解領域）たち }\}\)
\(U\): \(= \{R \text{ の全てのユニットたち }\}\)
\(I\): \(= \{R \text{ の全てのイリデューシブル（約分不能）要素たち }\}\)
\(R / Asc\): \(= \text{ アソシエイトたちイクイバレンスリレーション（同値関係）によるクオシエント（商）セット（集合） }\)
\(f\): \(: R / Asc \to R\)で以下を満たすもの、つまり、\(\forall p \in R / Asc, f (p) \in p\)
\(\overline{R / Asc - f}\): \(= R / Asc \text{ の } f \text{ による } \text{ レプリゼンタティブ（代表）たちセット（集合） }\)
\(S\): \(= \{p_1, ..., p_n\}\), \(\in \{R \text{ の全てのファイナイト（有限）サブセット（部分集合）たち }\}\)で、1つよりも多くの要素たちを持つもの
\(gcd (S)\):
\(lcm (S)\):
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall p_j, p_k \in S \text{ で以下を満たすもの、つまり、 } p_j \neq p_k (gcd (\{p_j, p_k\}) = Asc (1))\)
\(\iff\)
\(lcm (S) = Asc (p_1 ... p_n)\)
//
2: 自然言語記述
任意のユニークファクタライゼイションドメイン（因子分解領域）\(R\)、\(R\)の全てのユニットたちのセット（集合）\(U\)、\(R\)の全てのイリデューシブル（約分不能）要素たちのセット（集合）\(I\)、アソシエイトたちイクイバレンスリレーション（同値関係）によるクオシエント（商）セット（集合）\(R / Asc\)、以下を満たす任意のマップ（写像）\(f: R / Asc \to R\)、つまり、各\(p \in R / Asc\)に対して、\(f (p) \in p\)、\(R / Asc\)の\(f\)によるレプリゼンタティブ（代表）たちセット（集合）\(\overline{R / Asc - f}\)、任意のファイナイト（有限）サブセット（部分集合）\(S = \{p_1, ..., p_n\} \subseteq R\)で1つよりも多くの要素たちを持つものに対して、もしも、\(\forall p_j, p_k \in S \text{ で以下を満たすもの、つまり、 } p_j \neq p_k (gcd (\{p_j, p_k\}) = Asc (1))\)である場合、そしてその場合に限って、\(lcm (S) = Asc (p_1 ... p_n)\)。
3: 注
私たちは、\(gcd (S) = Asc (1)\)について話しているのではない。
4: 証明
本証明は、任意のユニークファクタライゼイションドメイン（因子分解領域）に対して、任意のファイナイト（有限）サブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちを得る、当該サブセット（部分集合）の各要素をアソーシエイトたちクオシエント（商）セット（集合）のレプリゼンタティブ（代表）たちセット（集合）を用いてファクタライズ（因子分解）することによる方法が機能するという命題および任意のユニークファクタライゼイションドメイン（因子分解領域）に対して、任意のファイナイト（有限）サブセット（部分集合）の最小共通マルチプル（倍）たちを得る、当該サブセット（部分集合）の各要素をアソーシエイトたちクオシエント（商）セット（集合）のレプリゼンタティブ（代表）たちセット（集合）を用いてファクタライズ（因子分解）することによる方法が機能するという命題に基づいているので、それら命題たちが理解されているものと想定されている。
\(I' = \{i_1, ..., i_l\}\)を、それら命題たち内に挙げられているいくつかのイリデューシブル（約分不能）要素たちのセット（集合）としよう: それは、両命題たち内で同じである。肝要な点は、\(S\)の要素たちの\(I'\)に関するファクタライゼイションたちはユニークであるということ、なぜなら、私たちは、アソシエイトたちイクイバレンスクラスたちの固定されたレプリゼンタティブ（代表）たちを選んである。
\(\forall p_1, p_2 \in S (gcd (\{p_1, p_2\}) = Asc (1))\)であると仮定しよう。
\(p_j = u_j i_1^{c_{j, 1}} ... i_l^{c_{j, l}}\)であるところ、もしも、\(0 \lt c_{j, k}\)である場合、各\(s \neq j\)に対して\(c_{s, k} = 0\)、なぜなら、そうでなければ、\(i_k\)は\(\{p_j, p_s\}\)の共通ディバイザー（因子）であることになり\(1\)は\(\{p_j, p_s\}\)の最大共通ディバイザー（因子）ではないことになる、なぜなら、\(1 = q i_k\)は成立しないことになる、なぜなら、それは、\(i_k\)がユニットだったことを意味することになる。
\(p_1 ... p_n = u_1 i_1^{c_{1, 1}} ... i_l^{c_{1, l}} ... u_n i_1^{c_{n, 1}} ... i_l^{c_{n, l}} = u_1 ... u_n i_1^{c_{1, 1}} ... i_1^{c_{n, 1}} ... i_l^{c_{1, l}} ... i_l^{c_{n, l}} = u_1 ... u_n i_1^{c_{1, 1} + ... + c_{n, 1}} ... i_l^{c_{1, l} + ... + c_{n, l}}\)、しかし、\(c_{1, k} + ... + c_{n, k} = max (\{c_{s, k} \vert s \in \{1, ..., n\}\}) = M_k\)、なぜなら、1項のみが非ゼロである、したがって、\(= u_1 ... u_n i_1^{M_1} ... i_l^{M_l} = u_1 ... u_n m\)。
したがって、\(m = (u_1 ... u_n)^{-1} p_1 ... p_n\)、そして、\(lcm (S) = Asc (m) = Asc ((u_1 ... u_n)^{-1} p_1 ... p_n) = Asc (p_1 ... p_n)\)。
\(lcm (S) = Asc (p_1 ... p_n)\)であると仮定しよう。
\(lcm (S) = Asc (m)\)。
したがって、\(Asc (m) = Asc (p_1 ... p_n)\)、それが含意するのは、ある\(u \in U\)に対して\(m = u p_1 ... p_n\)であるということ。
\(i_1^{M_1} ... i_l^{M_l} = u u_1 ... u_n i_1^{c_{1, 1} + ... + c_{n, 1}} ... i_l^{c_{1, l} + ... + c_{n, l}}\)、それが含意するのは、\(M_k = max (\{c_{s, k} \vert s \in \{1, ..., n\}\}) = c_{1, k} + ... + c_{n, k}\)、なぜなら、当該ファクタライゼイションたちはユニークである。それが意味するのは、それら項たちの内の1つのみが非ゼロであるということ、なぜなら、各項は非ネガティブ（負）であるところ、もしも、2つの項たちがポジティブ（正）であったら、合計はマキシマム（最大）よりも大きいことになる。
したがって、各ペア\(p_j, p_s \in S\)に対して、各\(k \in \{1, ..., l\}\)に対して、\(m_k := min (\{c_{j, k}, c_{s, k}\}) = 0\)。したがって、\(d := i_1^{m_1} ... i_l^{m_l} = i_1^{0} ... i_l^{0} = 1\)。
したがって、\(gcd (\{p_j, p_s\}) = Asc (1)\)。
