839: トポロジカルスペース（空間）およびその、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）たちとの2つのプロダクトたちに対して、プロダクトたち間のインジェクティブ（単射）コンティニュアス（連続）マップ（写像）でファイバー維持でファイバー上でリニア（線形）なものは、コンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）である

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トポロジカルスペース（空間）およびその、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）たちとの2つのプロダクトたちに対して、プロダクトたち間のインジェクティブ（単射）コンティニュアス（連続）マップ（写像）でファイバー維持でファイバー上でリニア（線形）なものは、コンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、プロダクトトポロジーの定義を知っている。
• 読者は、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、インジェクション（単射）の定義を知っている。
• 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、コンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）の定義を知っている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）およびその、任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）たちとの2つのプロダクトたちに対して、当該プロダクトたち間の任意のマップ（写像）でファイバー維持で各ファイバー上でリニア（線形）なものはコンティニュアス（連続）である、もしも、カノニカル（正典）マトリックス（行列）がコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、ドメイン（定義域）の、アンカウンタブル（不可算）でもよいあるオープンカバー（開被覆）の各オープンセット（開集合）、への、ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、という命題を認めている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）から任意のファイナイト（有限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）の中への任意のマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、全てのコンポーネントマップ（写像）たちがコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）およびその、任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）たちとの2つのプロダクトたちに対して、当該プロダクトたち間の任意のインジェクティブ（単射）コンティニュアス（連続）マップ（写像）でファイバー維持で各ファイバー上でリニア（線形）なものは、コンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$T$: $\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}$
${\mathbb{R}}^{d_1}$: $=\text{ 当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }$
${\mathbb{R}}^{d_2}$: $=\text{ 当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }$
$T\times {\mathbb{R}}^{d_1}$: $=\text{ 当該プロダクトトポロジカルスペース（空間） }$
$T\times {\mathbb{R}}^{d_2}$: $=\text{ 当該プロダクトトポロジカルスペース（空間） }$
${\mathbb{R}}^{d_2{d}_1}$: $=\text{ 当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }$
$M$: $:T\to \{\text{ 全ての }{d}_{2}x{d}_1\text{ リアル（実）マトリックス（行列）たち }\}\subseteq {\mathbb{R}}^{d_2{d}_1}$で、コドメイン（余域）をトポロジカルサブスペース（部分空間）としたもの
$f$: $:T\times {\mathbb{R}}^{d_1}\to T\times {\mathbb{R}}^{d_2},(t,v)\mapsto (t,M(t)v)$, $\in \{\text{ 全てのインジェクション（単射）たち }\}\cap \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}$
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ステートメント（言明）たち:
$f\in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）たち }\}$
//

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2: 注

$T\times {\mathbb{R}}^{d_1}$および$T\times {\mathbb{R}}^{d_2}$はカノニカル（正典）にベクトルたちバンドル（束）たちとみなされており、"ファイバー"と言っているのは、当該ベクトルたちバンドル（束）たちに関してである。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $M$はコンティニュアス（連続）であることを見る; ステップ2: 各$t\in T$に対して、$M(t)$はランク$d_1$であることを見て、$M(t)$のある$d_{1}x{d}_1$インバーティブル（可逆）サブマトリックス（行列）を取る; ステップ3: $t$のあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_t\subseteq T$でその上で当該サブマトリックス（行列）がインバーティブル（可逆）であるものを取り、そうしたオープンサブセット（開部分集合）たちによる$T$のオープンカバー（開被覆）を取る; ステップ4: $f(T\times {\mathbb{R}}^{d_1})\subseteq T\times {\mathbb{R}}^{d_2}$のオープンカバー（開被覆）を$T$の当該オープンカバー（開被覆）に関して取る; ステップ5: $f^{\prime }:T\times {\mathbb{R}}^{d_1}\to f(T\times {\mathbb{R}}^{d_1})\subseteq T\times {\mathbb{R}}^{d_2}$を$f$のコドメインリストリクション（余域）とし、$f^{\prime -1}$は当該オープンカバー（開被覆）の各要素上においてコンティニュアス（連続）であることを見る; ステップ6: 本命題を結論する。

ステップ1:

$M$はコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）およびその、任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）たちとの2つのプロダクトたちに対して、当該プロダクトたち間の任意のマップ（写像）でファイバー維持で各ファイバー上でリニア（線形）なものはコンティニュアス（連続）である、もしも、カノニカル（正典）マトリックス（行列）がコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。

ステップ2:

$t\in T$は任意のものとしよう。

$f$はインジェクティブ（単射）であるから、$M(t)$はインジェクティブ（単射）である、なぜなら、それは$f$のリストリクション（制限）である。

それが意味するのは、$M(t)$は$d_1$であるということ。

したがって、$M(t)$のある$d_{1}x{d}_1$インバーティブル（可逆）サブマトリックス（行列）がある、それが意味するのは、当該サブマトリックス（行列）のデターミナント（行列式）は非ゼロであるということ。

ステップ3:

$M$はコンティニュアス（連続）であるので、当該サブマトリックス（行列）のデターミナント（行列式）はコンティニュアス（連続）である、したがって、$t$のあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_t\subseteq T$でその上で当該デターミナント（行列式）が非ゼロであるものがある、それが意味するのは、当該サブマトリックス（行列）は$U_t$上でインバーティブル（可逆）であるということ。

そうした$U_t$たちは$T$をカバーする、したがって、$T$のオープンカバー（開被覆）$\{U_t|t\in T\}$がある。

ステップ4:

$\{U_t\times {\mathbb{R}}^{d_2}|t\in T\}$は$T\times {\mathbb{R}}^{d_2}$のオープンカバー（開被覆）である。

$\{(U_t\times {\mathbb{R}}^{d_2})\cap f(T\times {\mathbb{R}}^{d_1})|t\in T\}$は$f(T\times {\mathbb{R}}^{d_1})\subseteq T\times {\mathbb{R}}^{d_2}$（サブスペース（部分空間）トポロジーを持つ）のオープンカバー（開被覆）である。

ステップ5:

$f^{\prime }:T\times {\mathbb{R}}^{d_1}\to f(T\times {\mathbb{R}}^{d_1})\subseteq T\times {\mathbb{R}}^{d_2}$を$f$のコドメイン（余域）リストリクション（制限）としよう。

私たちが見る必要のあることは、$f^{\prime -1}$がコンティニュアス（連続）であることだが、$f^{\prime -1}{|}_{(U_t\times {\mathbb{R}}^{d_2})\cap f(T\times {\mathbb{R}}^{d_1})}:(U_t\times {\mathbb{R}}^{d_2})\cap f(T\times {\mathbb{R}}^{d_1})\to T\times {\mathbb{R}}^{d_1}$がコンティニュアス（連続）であることを見るだけでよい、任意のトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、ドメイン（定義域）の、アンカウンタブル（不可算）でもよいあるオープンカバー（開被覆）の各オープンセット（開集合）、への、ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、という命題によって。

当該インバーティブル（可逆）$d_{1}x{d}_1$サブマトリックス（行列）を$M^{\prime }$とする。

各$(t^{\prime },w^{\prime })\in (U_t\times {\mathbb{R}}^{d_2})\cap f(T\times {\mathbb{R}}^{d_1})$に対して、$f^{\prime -1}((t^{\prime },w^{\prime })):=(t^{\prime },v^{\prime })$としよう。$(t^{\prime },v^{\prime })\in U_t\times {\mathbb{R}}^{d_1}$および$f^{\prime }((t^{\prime },v^{\prime }))=(t^{\prime },M(t^{\prime })v^{\prime }=w^{\prime })$。

$M^{\prime }(t^{\prime })v^{\prime }=(w^{\prime j_1},...,w^{\prime j_{d_1}}{)}^t:=w^{″}$、ここで、$\{j_1,...,j_{d_1}\}\subseteq \{1,...,d_2\}$。

$f^{\prime -1}((t^{\prime },w^{\prime }))=(t^{\prime },v^{\prime })=(t^{\prime },M^{\prime }(t^{\prime }{)}^{-1}{w}^{″})$。

$M$はコンティニュアス（連続）であるから、$M$の各コンポーネントはコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）から任意のファイナイト（有限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）の中への任意のマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、全てのコンポーネントマップ（写像）たちがコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって、したがって、$M^{\prime -1}$の各コンポーネントはコンティニュアス（連続）である（それは、$M$のコンポーネントたちのあるポリノミアル（多項式）を$M^{\prime }$のデターミナント（行列式）（それはゼロにならない）で割ったもの）、そして、$M^{\prime -1}$はコンティニュアス（連続）である。

任意のトポロジカルスペース（空間）およびその、任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）たちとの2つのプロダクトたちに対して、当該プロダクトたち間の任意のマップ（写像）でファイバー維持で各ファイバー上でリニア（線形）なものはコンティニュアス（連続）である、もしも、カノニカル（正典）マトリックス（行列）がコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって、マップ（写像）$g:U_t\times {\mathbb{R}}^{d_1}\to U_t\times {\mathbb{R}}^{d_1},(t^{\prime },w^{″})\mapsto (t^{\prime },M^{\prime -1}{w}^{″})$はコンティニュアス（連続）である。

$(t^{\prime },v^{\prime })\in U_t\times {\mathbb{R}}^{d_1}$の各オープンネイバーフッド（開近傍）に対して、ある$V_{t^{\prime }}\times V_{v^{\prime }}\subseteq U_t\times {\mathbb{R}}^{d_1}$で当該ネイバーフッド（近傍）内に包含されているものがある、ここで、$V_{t^{\prime }}\subseteq U_t$は$t^{\prime }$のオープンネイバーフッド（開近傍）であり、$V_{v^{\prime }}\subseteq {\mathbb{R}}^{d_1}$は$v^{\prime }$のオープンネイバーフッド（開近傍）である。

$g$はコンティニュアス（連続）であるから、以下を満たすある$U_{t^{\prime }}\times U_{w^{″}}\subseteq U_t\times {\mathbb{R}}^{d_1}$、つまり、$g(U_{t^{\prime }}\times U_{w^{″}})\subseteq V_{t^{\prime }}\times V_{v^{\prime }}$、がある、ここで、$U_{t^{\prime }}\subseteq U_t$は$t^{\prime }$のあるオープンネイバーフッド（開近傍）であり、$U_{w^{″}}\subseteq {\mathbb{R}}^{d_1}$は$w^{″}$のあるオープンネイバーフッド（開近傍）である。

$U_{t^{\prime }}\times U_{w^{″}}\times {\mathbb{R}}^{d_2-d_1}\subseteq U_t\times {\mathbb{R}}^{d_2}$は$(t^{\prime },w^{\prime })$のあるオープンネイバーフッド（開近傍）であり、したがって、$(U_{t^{\prime }}\times U_{w^{″}}\times {\mathbb{R}}^{d_2-d_1})\cap f(T\times {\mathbb{R}}^{d_1})\subseteq U_t\times {\mathbb{R}}^{d_2}\cap f(T\times {\mathbb{R}}^{d_1})$は$(t^{\prime },w^{\prime })$のあるオープンネイバーフッド（開近傍）である。

すると、$f^{\prime -1}{|}_{(U_t\times {\mathbb{R}}^{d_2})\cap f(T\times {\mathbb{R}}^{d_1})}((U_{t^{\prime }}\times U_{w^{″}}\times {\mathbb{R}}^{d_2-d_1})\cap f(T\times {\mathbb{R}}^{d_1}))\subseteq V_{t^{\prime }}\times V_{v^{\prime }}$、なぜなら、$f^{\prime -1}((t^{\prime },w^{\prime }))=(t^{\prime },M^{\prime }(t^{\prime }{)}^{-1}{w}^{″})=g((t^{\prime },w^{″}))$および$g(U_{t^{\prime }}\times U_{w^{″}})\subseteq V_{t^{\prime }}\times V_{v^{\prime }}$。

したがって、$f^{\prime -1}{|}_{(U_t\times {\mathbb{R}}^{d_2})\cap f(T\times {\mathbb{R}}^{d_1})}$はコンティニュアス（連続）である。

ステップ6:

したがって、$f^{\prime -1}$はコンティニュアス（連続）である、したがって、$f^{\prime }$はホメオモーフィズム（位相同形写像）である。

したがって、$f$はコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）である。

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参考資料

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