トポロジカルスペース（空間）およびその、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）たちとの2つのプロダクトたちに対して、プロダクトたち間のインジェクティブ（単射）コンティニュアス（連続）マップ（写像）でファイバー維持でファイバー上でリニア（線形）なものは、コンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、プロダクトトポロジーの定義を知っている。
- 読者は、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、インジェクション（単射）の定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）およびその、任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）たちとの2つのプロダクトたちに対して、当該プロダクトたち間の任意のマップ（写像）でファイバー維持で各ファイバー上でリニア（線形）なものはコンティニュアス（連続）である、もしも、カノニカル（正典）マトリックス（行列）がコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、ドメイン（定義域）の、アンカウンタブル（不可算）でもよいあるオープンカバー（開被覆）の各オープンセット（開集合）、への、ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、という命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）から任意のファイナイト（有限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）の中への任意のマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、全てのコンポーネントマップ（写像）たちがコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）およびその、任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）たちとの2つのプロダクトたちに対して、当該プロダクトたち間の任意のインジェクティブ（単射）コンティニュアス（連続）マップ（写像）でファイバー維持で各ファイバー上でリニア（線形）なものは、コンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(\mathbb{R}^{d_1}\): \(= \text{ 当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)
\(\mathbb{R}^{d_2}\): \(= \text{ 当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)
\(T \times \mathbb{R}^{d_1}\): \(= \text{ 当該プロダクトトポロジカルスペース（空間） }\)
\(T \times \mathbb{R}^{d_2}\): \(= \text{ 当該プロダクトトポロジカルスペース（空間） }\)
\(\mathbb{R}^{d_2 d_1}\): \(= \text{ 当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)
\(M\): \(: T \to \{\text{ 全ての } d_2 x d_1 \text{ リアル（実）マトリックス（行列）たち }\} \subseteq \mathbb{R}^{d_2 d_1}\)で、コドメイン（余域）をトポロジカルサブスペース（部分空間）としたもの
\(f\): \(: T \times \mathbb{R}^{d_1} \to T \times \mathbb{R}^{d_2}, (t, v) \mapsto (t, M (t) v)\), \(\in \{\text{ 全てのインジェクション（単射）たち }\} \cap \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）たち }\}\)
//
2: 注
\(T \times \mathbb{R}^{d_1}\)および\(T \times \mathbb{R}^{d_2}\)はカノニカル（正典）にベクトルたちバンドル（束）たちとみなされており、"ファイバー"と言っているのは、当該ベクトルたちバンドル（束）たちに関してである。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(M\)はコンティニュアス（連続）であることを見る; ステップ2: 各\(t \in T\)に対して、\(M (t)\)はランク\(d_1\)であることを見て、\(M (t)\)のある\(d_1 x d_1\)インバーティブル（可逆）サブマトリックス（行列）を取る; ステップ3: \(t\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_t \subseteq T\)でその上で当該サブマトリックス（行列）がインバーティブル（可逆）であるものを取り、そうしたオープンサブセット（開部分集合）たちによる\(T\)のオープンカバー（開被覆）を取る; ステップ4: \(f (T \times \mathbb{R}^{d_1}) \subseteq T \times \mathbb{R}^{d_2}\)のオープンカバー（開被覆）を\(T\)の当該オープンカバー（開被覆）に関して取る; ステップ5: \(f': T \times \mathbb{R}^{d_1} \to f (T \times \mathbb{R}^{d_1}) \subseteq T \times \mathbb{R}^{d_2}\)を\(f\)のコドメインリストリクション（余域）とし、\(f'^{-1}\)は当該オープンカバー（開被覆）の各要素上においてコンティニュアス（連続）であることを見る; ステップ6: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(M\)はコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）およびその、任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）たちとの2つのプロダクトたちに対して、当該プロダクトたち間の任意のマップ（写像）でファイバー維持で各ファイバー上でリニア（線形）なものはコンティニュアス（連続）である、もしも、カノニカル（正典）マトリックス（行列）がコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
ステップ2:
\(t \in T\)は任意のものとしよう。
\(f\)はインジェクティブ（単射）であるから、\(M (t)\)はインジェクティブ（単射）である、なぜなら、それは\(f\)のリストリクション（制限）である。
それが意味するのは、\(M (t)\)は\(d_1\)であるということ。
したがって、\(M (t)\)のある\(d_1 x d_1\)インバーティブル（可逆）サブマトリックス（行列）がある、それが意味するのは、当該サブマトリックス（行列）のデターミナント（行列式）は非ゼロであるということ。
ステップ3:
\(M\)はコンティニュアス（連続）であるので、当該サブマトリックス（行列）のデターミナント（行列式）はコンティニュアス（連続）である、したがって、\(t\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_t \subseteq T\)でその上で当該デターミナント（行列式）が非ゼロであるものがある、それが意味するのは、当該サブマトリックス（行列）は\(U_t\)上でインバーティブル（可逆）であるということ。
そうした\(U_t\)たちは\(T\)をカバーする、したがって、\(T\)のオープンカバー（開被覆）\(\{U_t \vert t \in T\}\)がある。
ステップ4:
\(\{U_t \times \mathbb{R}^{d_2} \vert t \in T\}\)は\(T \times \mathbb{R}^{d_2}\)のオープンカバー（開被覆）である。
\(\{(U_t \times \mathbb{R}^{d_2}) \cap f (T \times \mathbb{R}^{d_1}) \vert t \in T\}\)は\(f (T \times \mathbb{R}^{d_1}) \subseteq T \times \mathbb{R}^{d_2}\)（サブスペース（部分空間）トポロジーを持つ）のオープンカバー（開被覆）である。
ステップ5:
\(f': T \times \mathbb{R}^{d_1} \to f (T \times \mathbb{R}^{d_1}) \subseteq T \times \mathbb{R}^{d_2}\)を\(f\)のコドメイン（余域）リストリクション（制限）としよう。
私たちが見る必要のあることは、\(f'^{-1}\)がコンティニュアス（連続）であることだが、\(f'^{-1} \vert_{(U_t \times \mathbb{R}^{d_2}) \cap f (T \times \mathbb{R}^{d_1})}: (U_t \times \mathbb{R}^{d_2}) \cap f (T \times \mathbb{R}^{d_1}) \to T \times \mathbb{R}^{d_1}\)がコンティニュアス（連続）であることを見るだけでよい、任意のトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、ドメイン（定義域）の、アンカウンタブル（不可算）でもよいあるオープンカバー（開被覆）の各オープンセット（開集合）、への、ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、という命題によって。
当該インバーティブル（可逆）\(d_1 x d_1\)サブマトリックス（行列）を\(M'\)とする。
各\((t', w') \in (U_t \times \mathbb{R}^{d_2}) \cap f (T \times \mathbb{R}^{d_1})\)に対して、\(f'^{-1} ((t', w')) := (t', v')\)としよう。\((t', v') \in U_t \times \mathbb{R}^{d_1}\)および\(f' ((t', v')) = (t', M (t') v' = w')\)。
\(M' (t') v' = (w'^{j_1}, ..., w'^{j_{d_1}})^t := w''\)、ここで、\(\{j_1, ..., j_{d_1}\} \subseteq \{1, ..., d_2\}\)。
\(f'^{-1} ((t', w')) = (t', v') = (t', M' (t')^{-1} w'')\)。
\(M\)はコンティニュアス（連続）であるから、\(M\)の各コンポーネントはコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）から任意のファイナイト（有限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）の中への任意のマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、全てのコンポーネントマップ（写像）たちがコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって、したがって、\(M'^{-1}\)の各コンポーネントはコンティニュアス（連続）である（それは、\(M\)のコンポーネントたちのあるポリノミアル（多項式）を\(M'\)のデターミナント（行列式）（それはゼロにならない）で割ったもの）、そして、\(M'^{-1}\)はコンティニュアス（連続）である。
任意のトポロジカルスペース（空間）およびその、任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）たちとの2つのプロダクトたちに対して、当該プロダクトたち間の任意のマップ（写像）でファイバー維持で各ファイバー上でリニア（線形）なものはコンティニュアス（連続）である、もしも、カノニカル（正典）マトリックス（行列）がコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって、マップ（写像）\(g: U_t \times \mathbb{R}^{d_1} \to U_t \times \mathbb{R}^{d_1}, (t', w'') \mapsto (t', M'^{-1} w'')\)はコンティニュアス（連続）である。
\((t', v') \in U_t \times \mathbb{R}^{d_1}\)の各オープンネイバーフッド（開近傍）に対して、ある\(V_{t'} \times V_{v'} \subseteq U_t \times \mathbb{R}^{d_1}\)で当該ネイバーフッド（近傍）内に包含されているものがある、ここで、\(V_{t'} \subseteq U_t\)は\(t'\)のオープンネイバーフッド（開近傍）であり、\(V_{v'} \subseteq \mathbb{R}^{d_1}\)は\(v'\)のオープンネイバーフッド（開近傍）である。
\(g\)はコンティニュアス（連続）であるから、以下を満たすある\(U_{t'} \times U_{w''} \subseteq U_t \times \mathbb{R}^{d_1}\)、つまり、\(g (U_{t'} \times U_{w''}) \subseteq V_{t'} \times V_{v'}\)、がある、ここで、\(U_{t'} \subseteq U_t\)は\(t'\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）であり、\(U_{w''} \subseteq \mathbb{R}^{d_1}\)は\(w''\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）である。
\(U_{t'} \times U_{w''} \times \mathbb{R}^{d_2 - d_1} \subseteq U_t \times \mathbb{R}^{d_2}\)は\((t', w')\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）であり、したがって、\((U_{t'} \times U_{w''} \times \mathbb{R}^{d_2 - d_1}) \cap f (T \times \mathbb{R}^{d_1}) \subseteq U_t \times \mathbb{R}^{d_2} \cap f (T \times \mathbb{R}^{d_1})\)は\((t', w')\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）である。
すると、\(f'^{-1} \vert_{(U_t \times \mathbb{R}^{d_2}) \cap f (T \times \mathbb{R}^{d_1})} ((U_{t'} \times U_{w''} \times \mathbb{R}^{d_2 - d_1}) \cap f (T \times \mathbb{R}^{d_1})) \subseteq V_{t'} \times V_{v'}\)、なぜなら、\(f'^{-1} ((t', w')) = (t', M' (t')^{-1} w'') = g ((t', w''))\)および\(g (U_{t'} \times U_{w''}) \subseteq V_{t'} \times V_{v'}\)。
したがって、\(f'^{-1} \vert_{(U_t \times \mathbb{R}^{d_2}) \cap f (T \times \mathbb{R}^{d_1})}\)はコンティニュアス（連続）である。
ステップ6:
したがって、\(f'^{-1}\)はコンティニュアス（連続）である、したがって、\(f'\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である。
したがって、\(f\)はコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）である。
