\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方のタンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束）の定義
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義を知っている。
- 読者は、タンジェント（接）ベクトルの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方のタンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( M\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち } \}\)
\( TM\): \(= \cup_{p \in M} T_pM\), \(\in \{\text{ 全ての } 2 d \text{ ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)で、下に指定されるトポロジーおよび\(C^\infty\)アトラスを持つもの
\( \pi\): \(: TM \to M, v \mapsto p\)、ここで、\(v \in T_pM\)
\(*(TM, M, \pi)\):
//
コンディションたち:
\(\forall (U_\alpha \subseteq M, \phi_\alpha) \in \{M \text{ の全てのチャートたち }\}\)
(
\(\exists (\pi^{-1} (U_\alpha) \subseteq TM, \phi'_\alpha) \in \{TM \text{ の全てのチャートたち }\}\)
(
\(\phi'_\alpha: \pi^{-1} (U_\alpha) \to \phi (U_\alpha) \times \mathbb{R}^d \subseteq \mathbb{R}^{2 d} \text{ または } \mathbb{H}^{2 d}, v \mapsto (\phi_\alpha (\pi (v)), \phi''_\alpha (v))\)、ここで、\(\phi''_\alpha: \pi^{-1} (U_\alpha) \to \mathbb{R}^d, v \mapsto (v^1, ..., v^d )\)、ここで、\(v = v^j \partial x^j\)、ここで、\((x^1, ..., x^n)\)はチャート\((U_\alpha, \phi_\alpha)\)のコーディネート（座標）たち
\(B_\alpha := \{{\phi'_\alpha}^{-1} (U'_\alpha) \vert \forall U'_\alpha \in \{\phi_\alpha (U_\alpha) \times \mathbb{R}^d \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}\}\)
)
)
\(\land\)
\(B := \cup_{\alpha} B_\alpha \in \{TM \text{ の全てのトポロジカルベーシス（基底）たち }\}\)
//
\(\phi'_\alpha\)は明らかにバイジェクティブ（全単射）であるから、\({\phi'_\alpha}^{-1}\)は妥当である。
大抵は、それは"タンジェント（接）バンドル（束）"と呼ばれる、しかし、著者は、"タンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束）"の方を好む、なぜなら、著者は、明示的に表現することを重要視する: それは、タンジェント（接）ベクトルたちのバンドル（束）である、その一方、"タンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束）"は即座にそして正しく、それが何を意味するか推測されるであろう、"タンジェント（接）バンドル（束）"が何であるかを知っている誰によっても。
2: 自然言語記述
任意の\(d\)ディメンジョナル（次元）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たち、バウンダリー（境界）付き\(M\)に対して、\((TM, M, \pi)\)、ここで、\(TM\)は\(2 d\)ディメンジョナル（次元）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、\(\cup_{p \in M} T_pM\)で、下に指定されるトポロジーおよび\(C^\infty\)アトラスを持つものであり、\(\pi: TM \to M\)は\(v \mapsto p\)、ここで、\(v \in T_pM\): \(TM\)のトポロジーおよび\(C^\infty\)アトラスは以下のように定義される: 各チャート\((U_\alpha \subseteq M, \phi_\alpha)\)に対して、チャート\((\pi^{-1} (U_\alpha) \subseteq TM, \phi'_\alpha)\)、ここで、\(\phi'_\alpha: \pi^{-1} (U_\alpha) \to \phi (U_\alpha) \times \mathbb{R}^d \subseteq \mathbb{R}^{2 d} \text{ または } \mathbb{H}^{2 d}\), \(v \mapsto (\phi_\alpha (\pi (v)), \phi''_\alpha (v))\)、ここで、\(\phi''_\alpha: \pi^{-1} (U_\alpha) \to \mathbb{R}^d\), \(v \mapsto (v^1, ..., v^d)\)、ここで、\(v = v^j \partial x^j\)、ここで、\((x^1, ..., x^d)\)はチャート\((U_\alpha, \phi_\alpha)\)のコーディネート（座標）たちであり、\(B_\alpha := \{{\phi'_\alpha}^{-1} (U'_\alpha) \vert \forall U'_\alpha \in \{\phi_\alpha (U_\alpha) \times \mathbb{R}^d \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}\}\)を取り、\(B := \cup_{\alpha} B_\alpha\)をトポロジカルベーシス（基底）として取る
3: 注
当該ベーシス（基底）は妥当である、オープンセット（開集合）たちの任意のコレクションがベーシス（基底）であることのいくつかの基準たちの"記述 2"にしたがって、以下に示されるとおり.
1) \(TM\)は、明らかに当該ベーシス（基底）の全ての要素たちのユニオン（和集合）である。
2) 以下を満たす任意の\({\phi'_\alpha}^{-1} (U'_\alpha)\)および\({\phi'_\beta}^{-1} (U'_\beta)\)、つまり、\({\phi'_\alpha}^{-1} (U'_\alpha) \cap {\phi'_\beta}^{-1} (U'_\beta) \neq \emptyset\)、に対して、\(U'_\alpha = \cup_{\gamma \in A_\alpha} U''_{\alpha, \gamma} \times U'''_{\alpha, \gamma}\)、ここで、\(A_\alpha\)はアンカウンタブル（不可算）かもしれないあるインデックスセット（集合）、であり、\(U'_\beta = \cup_{\gamma' \in A_\beta} U''_{\beta, \gamma'} \times U'''_{\beta, \gamma'}\)、ここで、\(A_\beta\)はアンカウンタブル（不可算）かもしれないあるインデックスセット（集合）である、プロダクトトポロジーの定義に対する"注"、そして、\({\phi'_\alpha}^{-1} (U'_\alpha) \cap {\phi'_\beta}^{-1} (U'_\beta) = (\cup_{\gamma \in A_\alpha} {\phi'_\alpha}^{-1} (U''_{\alpha, \gamma} \times U'''_{\alpha, \gamma})) \cap (\cup_{\gamma' \in A_\beta} {\phi'_\beta}^{-1} (U''_{\beta, \gamma'} \times U'''_{\beta, \gamma'}))\)、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって。
任意の\(p \in {\phi'_\alpha}^{-1} (U'_\alpha) \cap {\phi'_\beta}^{-1} (U'_\beta)\)に対して、\(p \in {\phi'_\alpha}^{-1} (U''_{\alpha, \gamma} \times U'''_{\alpha, \gamma}) \cap {\phi'_\beta}^{-1} (U''_{\beta, \gamma'} \times U'''_{\beta, \gamma'})\)、ある\(\gamma \in A_\alpha\)およびある\(\gamma' \in A_\beta\)に対して。私たちは、\(S := {\phi'_\alpha}^{-1} (U''_{\alpha, \gamma} \times U'''_{\alpha, \gamma}) \cap {\phi'_\beta}^{-1} (U''_{\beta, \gamma'} \times U'''_{\beta, \gamma'})\)は当該ベーシス（基底）の要素であることを示そう。そのために、私たちは、\(\phi'_\alpha (S)\)は\(\phi'_\alpha (\pi^{-1} (U_\alpha))\)上でオープン（開）であることを示そう、なぜなら、そうすれば、\(S\)は当該オープンサブセット（開部分集合）の\(\phi'_\alpha\)の下でのプリイメージ（前像）であることになり、それは定義により当該ベーシス（基底）内に存在する。
\(\phi'_\alpha (S) = \phi'_\alpha ({\phi'_\alpha}^{-1} (U''_{\alpha, \gamma} \times U'''_{\alpha, \gamma})) \cap \phi'_\alpha ({\phi'_\beta}^{-1} (U''_{\beta, \gamma'} \times U'''_{\beta, \gamma'}) \cap \pi^{-1} (U_\alpha))\)、任意のインジェクティブ（単射）マップ（写像）に対して、任意の集合たちのインターセクション（共通集合）のマップ（写像）イメージ（像）はそれら集合たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題によって、\(= (U''_{\alpha, \gamma} \times U'''_{\alpha, \gamma}) \cap \phi'_\alpha ({\phi'_\beta}^{-1} (U''_{\beta, \gamma'} \times U'''_{\beta, \gamma'}) \cap \pi^{-1} (U_\alpha))\)。
\(\phi'_\beta ({\phi'_\beta}^{-1} (U''_{\beta, \gamma'} \times U'''_{\beta, \gamma'}) \cap \pi^{-1} (U_\alpha)) = \phi'_\beta ({\phi'_\beta}^{-1} (U''_{\beta, \gamma'} \times U'''_{\beta, \gamma'})) \cap \phi'_\beta (\pi^{-1} (U_\alpha) \cap \pi^{-1} (U_\beta))\)、任意のインジェクティブ（単射）マップ（写像）に対して、任意の集合たちのインターセクション（共通集合）のマップ（写像）イメージ（像）はそれら集合たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題によって、\(= (U''_{\beta, \gamma'} \times U'''_{\beta, \gamma'}) \cap \phi'_\beta (\pi^{-1} (U_\alpha) \cap \pi^{-1} (U_\beta))\)。
実のところ、\(\phi'_\beta (\pi^{-1} (U_\alpha) \cap \pi^{-1} (U_\beta)) = \phi_\beta (U_\alpha \cap U_\beta) \times \mathbb{R}^d\)、そして、\(\mathbb{R}^{2 d}\)または\(\mathbb{H}^{2 d}\)上でオープン（開）である。同様に、\(\phi'_\alpha (\pi^{-1} (U_\alpha) \cap \pi^{-1} (U_\beta))\)は\(\mathbb{R}^{2 d}\)または\(\mathbb{H}^{2 d}\)上でオープン（開）である、対称性によって。
したがって、\(\phi'_\alpha (S) = (U''_{\alpha, \gamma} \times U'''_{\alpha, \gamma}) \cap \phi'_\alpha \circ {\phi'_\beta}^{-1} ((U''_{\beta, \gamma'} \times U'''_{\beta, \gamma'}) \cap \phi'_\beta (\pi^{-1} (U_\alpha) \cap \pi^{-1} (U_\beta)))\)。
\(\phi'_\alpha \circ {\phi'_\beta}^{-1}: \phi'_\beta (\pi^{-1} (U_\alpha) \cap \pi^{-1} (U_\beta)) \to \phi'_\alpha (\pi^{-1} (U_\alpha) \cap \pi^{-1} (U_\beta))\)、明らかにバイジェクティブ（全単射）、のことを考えよう。
\(\phi'_\alpha \circ {\phi'_\beta}^{-1}\)はディフェオモーフィックであることを証明しよう。\(\phi'_\alpha \circ {\phi'_\beta}^{-1}: (x^1, ..., x^d, v^1, ..., v^d) \mapsto (\phi_\alpha ({\phi_\beta}^{-1}) (x), \partial \phi^1_\alpha (x) / \partial x^j v^j, ..., \partial \phi^d_\alpha (x) / \partial x^j v^j)\)、それは、\(C^\infty\)である。インバース（逆）\((\phi'_\alpha \circ {\phi'_\beta}^{-1})^{-1} = \phi'_\beta \circ {\phi'_\alpha}^{-1}\)は、同様に\(C^\infty\)である、対称性によって。したがって、\(\phi'_\alpha \circ {\phi'_\beta}^{-1}\)は本当にディフェオモーフィックである。
\(\phi'_\beta (\pi^{-1} (U_\alpha) \cap \pi^{-1} (U_\beta))\)は\(\mathbb{R}^{2 d}\)または\(\mathbb{H}^{2 d}\)上でオープン（開）であるから、\((U''_{\beta, \gamma'} \times U'''_{\beta, \gamma'}) \cap \phi'_\beta (\pi^{-1} (U_\alpha) \cap \pi^{-1} (U_\beta))\)は\(\mathbb{R}^{2 d}\)または\(\mathbb{H}^{2 d}\)上でオープン（開）である、したがって、\(\phi'_\beta (\pi^{-1} (U_\alpha) \cap \pi^{-1} (U_\beta))\)上でオープン（開）である、そして、\(\phi'_\alpha \circ {\phi'_\beta}^{-1} ((U''_{\beta, \gamma'} \times U'''_{\beta, \gamma'}) \cap \phi'_\beta (\pi^{-1} (U_\alpha) \cap \pi^{-1} (U_\beta)))\)は\(\phi'_\alpha (\pi^{-1} (U_\alpha) \cap \pi^{-1} (U_\beta))\)上でオープン（開）である、なぜなら、\(\phi'_\alpha \circ {\phi'_\beta}^{-1}\)はディフェオモーフィックである、したがって、\((U''_{\alpha, \gamma} \times U'''_{\alpha, \gamma}) \cap \phi'_\alpha \circ {\phi'_\beta}^{-1} ((U''_{\beta, \gamma'} \times U'''_{\beta, \gamma'}) \cap \phi'_\beta (\pi^{-1} (U_\alpha) \cap \pi^{-1} (U_\beta)))\)は\(\phi'_\alpha (\pi^{-1} (U_\alpha) \cap \pi^{-1} (U_\beta))\)上でオープン（開）である、したがって、\(\phi'_\alpha (\pi^{-1} (U_\alpha))\)上でオープン（開）である。
したがって、\(S\)は当該ベーシス（基底）の要素である。
したがって、基準2)は満たされている。
当該トポロジカルスペース（空間）はハウスドルフである、なぜなら、\(TM\)上の任意の互いに異なるポイントたちに対して、もしも、それらが互いに異なるファイバーたち上にあれば、何らかのディスジョイント（互いに素）チャートオープンサブセット（開部分集合）たち\(U_\alpha, U_\beta\)があり、\(\pi^{-1} (U_\alpha) \cap \pi^{-1} (U_\beta) = \emptyset\); もしも、それらがある同一ファイバー上にあれば、\(\phi'_\alpha (\pi^{-1} (U_\alpha))\)の何らかのオープンサブセット（開部分集合）たち\((U_\alpha \times U') \cap (U_\alpha \times U'') = \emptyset\)がある、なぜなら、\(\mathbb{R}^d\)はハウスドルフである、そして、\({\phi'_\alpha}^{-1} (U_\alpha \times U') \cap {\phi'_\alpha}^{-1} (U_\alpha \times U'') = \emptyset\)。
当該トポロジカルスペース（空間）はセカンドカウンタブル（可算）である、なぜなら、\(M\)上のチャートたちはカウンタブル（可算）に取ることができ、\(\phi'_\alpha (\pi^{-1} (U_\alpha))\)のオープンサブセット（開部分集合）たちはカウンタブル（可算）に取ることができる、なぜなら、\(\mathbb{R}^{2 d}\)はセカンドカウンタブル（可算）である。
当該アトラスは\(C^\infty\)である、上記に証明されたとおり。
\(\pi\)は\(C^\infty\)である、なぜなら、チャートたち\((\pi^{-1} (U_\alpha) \subseteq TM, \phi'_\alpha)\)および\((U_\alpha \subseteq M, \phi)\)に対して、コーディネート（座標）たちファンクション（関数）は、\((\phi_\alpha (\pi (v)), \phi''_\alpha (v)) \mapsto \phi_\alpha (\pi (v))\)、\(C^\infty\)。
任意のタンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束）は、一種の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）である: \(\pi\)は、ランク\(d\)のローカルにトリビアルなサージェクション（全射）である、直線的に確認できるとおり。
