665: C∞マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方のタンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束）

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$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方のタンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束）の定義

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義を知っている。
• 読者は、タンジェント（接）ベクトルの定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方のタンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$M$: $\in \{\text{ 全ての }d\text{ ディメンショナル（次元） }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}$
$TM$: $={\cup }_{p\in M}{T}_{p}M$, $\in \{\text{ 全ての }2d\text{ ディメンショナル（次元） }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}$で、下に指定されるトポロジーおよび$C^{\mathrm{\infty }}$アトラスを持つもの
$\pi$: $:TM\to M,v\mapsto p$、ここで、$v\in T_{p}M$
$\ast (TM,M,\pi )$:
//

コンディションたち:
$\mathrm{\forall }(U_{\alpha }\subseteq M,{\varphi }_{\alpha })\in \{M\text{ の全てのチャートたち }\}$
(
$\mathrm{\exists }({\pi }^{-1}(U_{\alpha })\subseteq TM,{\varphi }_{\alpha }^{\prime })\in \{TM\text{ の全てのチャートたち }\}$
(
${\varphi }_{\alpha }^{\prime }:{\pi }^{-1}(U_{\alpha })\to \varphi (U_{\alpha })\times {\mathbb{R}}^d\subseteq {\mathbb{R}}^{2d}\text{ または }{\mathbb{H}}^{2d},v\mapsto ({\varphi }_{\alpha }(\pi (v)),{\varphi }_{\alpha }^{″}(v))$、ここで、${\varphi }_{\alpha }^{″}:{\pi }^{-1}(U_{\alpha })\to {\mathbb{R}}^d,v\mapsto (v^1,...,v^d)$、ここで、$v=v^j\partial x^j$、ここで、$(x^1,...,x^n)$はチャート$(U_{\alpha },{\varphi }_{\alpha })$のコーディネート（座標）たち
$B_{\alpha }:=\{{{\varphi }_{\alpha }^{\prime }}^{-1}(U_{\alpha }^{\prime })|\mathrm{\forall }{U}_{\alpha }^{\prime }\in \{{\varphi }_{\alpha }(U_{\alpha })\times {\mathbb{R}}^d\text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}\}$
)
)
$\wedge$
$B:={\cup }_{\alpha }{B}_{\alpha }\in \{TM\text{ の全てのトポロジカルベーシス（基底）たち }\}$
//

${\varphi }_{\alpha }^{\prime }$は明らかにバイジェクティブ（全単射）であるから、${{\varphi }_{\alpha }^{\prime }}^{-1}$は妥当である。

大抵は、それは"タンジェント（接）バンドル（束）"と呼ばれる、しかし、著者は、"タンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束）"の方を好む、なぜなら、著者は、明示的に表現することを重要視する: それは、タンジェント（接）ベクトルたちのバンドル（束）である、その一方、"タンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束）"は即座にそして正しく、それが何を意味するか推測されるであろう、"タンジェント（接）バンドル（束）"が何であるかを知っている誰によっても。

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2: 自然言語記述

任意の$d$ディメンジョナル（次元）$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たち、バウンダリー（境界）付き$M$に対して、$(TM,M,\pi )$、ここで、$TM$は$2d$ディメンジョナル（次元）$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、${\cup }_{p\in M}{T}_{p}M$で、下に指定されるトポロジーおよび$C^{\mathrm{\infty }}$アトラスを持つものであり、$\pi :TM\to M$は$v\mapsto p$、ここで、$v\in T_{p}M$: $TM$のトポロジーおよび$C^{\mathrm{\infty }}$アトラスは以下のように定義される: 各チャート$(U_{\alpha }\subseteq M,{\varphi }_{\alpha })$に対して、チャート$({\pi }^{-1}(U_{\alpha })\subseteq TM,{\varphi }_{\alpha }^{\prime })$、ここで、${\varphi }_{\alpha }^{\prime }:{\pi }^{-1}(U_{\alpha })\to \varphi (U_{\alpha })\times {\mathbb{R}}^d\subseteq {\mathbb{R}}^{2d}\text{ または }{\mathbb{H}}^{2d}$, $v\mapsto ({\varphi }_{\alpha }(\pi (v)),{\varphi }_{\alpha }^{″}(v))$、ここで、${\varphi }_{\alpha }^{″}:{\pi }^{-1}(U_{\alpha })\to {\mathbb{R}}^d$, $v\mapsto (v^1,...,v^d)$、ここで、$v=v^j\partial x^j$、ここで、$(x^1,...,x^d)$はチャート$(U_{\alpha },{\varphi }_{\alpha })$のコーディネート（座標）たちであり、$B_{\alpha }:=\{{{\varphi }_{\alpha }^{\prime }}^{-1}(U_{\alpha }^{\prime })|\mathrm{\forall }{U}_{\alpha }^{\prime }\in \{{\varphi }_{\alpha }(U_{\alpha })\times {\mathbb{R}}^d\text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}\}$を取り、$B:={\cup }_{\alpha }{B}_{\alpha }$をトポロジカルベーシス（基底）として取る

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3: 注

当該ベーシス（基底）は妥当である、オープンセット（開集合）たちの任意のコレクションがベーシス（基底）であることのいくつかの基準たちの"記述 2"にしたがって、以下に示されるとおり.

1) $TM$は、明らかに当該ベーシス（基底）の全ての要素たちのユニオン（和集合）である。

2) 以下を満たす任意の${{\varphi }_{\alpha }^{\prime }}^{-1}(U_{\alpha }^{\prime })$および${{\varphi }_{\beta }^{\prime }}^{-1}(U_{\beta }^{\prime })$、つまり、${{\varphi }_{\alpha }^{\prime }}^{-1}(U_{\alpha }^{\prime })\cap {{\varphi }_{\beta }^{\prime }}^{-1}(U_{\beta }^{\prime })\ne \mathrm{\varnothing }$、に対して、$U_{\alpha }^{\prime }={\cup }_{\gamma \in A_{\alpha }}{U}_{\alpha ,\gamma }^{″}\times U_{\alpha ,\gamma }^{‴}$、ここで、$A_{\alpha }$はアンカウンタブル（不可算）かもしれないあるインデックスセット（集合）、であり、$U_{\beta }^{\prime }={\cup }_{{\gamma }^{\prime }\in A_{\beta }}{U}_{\beta ,{\gamma }^{\prime }}^{″}\times U_{\beta ,{\gamma }^{\prime }}^{‴}$、ここで、$A_{\beta }$はアンカウンタブル（不可算）かもしれないあるインデックスセット（集合）である、プロダクトトポロジーの定義に対する"注"、そして、${{\varphi }_{\alpha }^{\prime }}^{-1}(U_{\alpha }^{\prime })\cap {{\varphi }_{\beta }^{\prime }}^{-1}(U_{\beta }^{\prime })=({\cup }_{\gamma \in A_{\alpha }}{{\varphi }_{\alpha }^{\prime }}^{-1}(U_{\alpha ,\gamma }^{″}\times U_{\alpha ,\gamma }^{‴}))\cap ({\cup }_{{\gamma }^{\prime }\in A_{\beta }}{{\varphi }_{\beta }^{\prime }}^{-1}(U_{\beta ,{\gamma }^{\prime }}^{″}\times U_{\beta ,{\gamma }^{\prime }}^{‴}))$、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって。

任意の$p\in {{\varphi }_{\alpha }^{\prime }}^{-1}(U_{\alpha }^{\prime })\cap {{\varphi }_{\beta }^{\prime }}^{-1}(U_{\beta }^{\prime })$に対して、$p\in {{\varphi }_{\alpha }^{\prime }}^{-1}(U_{\alpha ,\gamma }^{″}\times U_{\alpha ,\gamma }^{‴})\cap {{\varphi }_{\beta }^{\prime }}^{-1}(U_{\beta ,{\gamma }^{\prime }}^{″}\times U_{\beta ,{\gamma }^{\prime }}^{‴})$、ある$\gamma \in A_{\alpha }$およびある${\gamma }^{\prime }\in A_{\beta }$に対して。私たちは、$S:={{\varphi }_{\alpha }^{\prime }}^{-1}(U_{\alpha ,\gamma }^{″}\times U_{\alpha ,\gamma }^{‴})\cap {{\varphi }_{\beta }^{\prime }}^{-1}(U_{\beta ,{\gamma }^{\prime }}^{″}\times U_{\beta ,{\gamma }^{\prime }}^{‴})$は当該ベーシス（基底）の要素であることを示そう。そのために、私たちは、${\varphi }_{\alpha }^{\prime }(S)$は${\varphi }_{\alpha }^{\prime }({\pi }^{-1}(U_{\alpha }))$上でオープン（開）であることを示そう、なぜなら、そうすれば、$S$は当該オープンサブセット（開部分集合）の${\varphi }_{\alpha }^{\prime }$の下でのプリイメージ（前像）であることになり、それは定義により当該ベーシス（基底）内に存在する。

${\varphi }_{\alpha }^{\prime }(S)={\varphi }_{\alpha }^{\prime }({{\varphi }_{\alpha }^{\prime }}^{-1}(U_{\alpha ,\gamma }^{″}\times U_{\alpha ,\gamma }^{‴}))\cap {\varphi }_{\alpha }^{\prime }({{\varphi }_{\beta }^{\prime }}^{-1}(U_{\beta ,{\gamma }^{\prime }}^{″}\times U_{\beta ,{\gamma }^{\prime }}^{‴})\cap {\pi }^{-1}(U_{\alpha }))$、任意のインジェクティブ（単射）マップ（写像）に対して、任意の集合たちのインターセクション（共通集合）のマップ（写像）イメージ（像）はそれら集合たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題によって、$=(U_{\alpha ,\gamma }^{″}\times U_{\alpha ,\gamma }^{‴})\cap {\varphi }_{\alpha }^{\prime }({{\varphi }_{\beta }^{\prime }}^{-1}(U_{\beta ,{\gamma }^{\prime }}^{″}\times U_{\beta ,{\gamma }^{\prime }}^{‴})\cap {\pi }^{-1}(U_{\alpha }))$。

${\varphi }_{\beta }^{\prime }({{\varphi }_{\beta }^{\prime }}^{-1}(U_{\beta ,{\gamma }^{\prime }}^{″}\times U_{\beta ,{\gamma }^{\prime }}^{‴})\cap {\pi }^{-1}(U_{\alpha }))={\varphi }_{\beta }^{\prime }({{\varphi }_{\beta }^{\prime }}^{-1}(U_{\beta ,{\gamma }^{\prime }}^{″}\times U_{\beta ,{\gamma }^{\prime }}^{‴}))\cap {\varphi }_{\beta }^{\prime }({\pi }^{-1}(U_{\alpha })\cap {\pi }^{-1}(U_{\beta }))$、任意のインジェクティブ（単射）マップ（写像）に対して、任意の集合たちのインターセクション（共通集合）のマップ（写像）イメージ（像）はそれら集合たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題によって、$=(U_{\beta ,{\gamma }^{\prime }}^{″}\times U_{\beta ,{\gamma }^{\prime }}^{‴})\cap {\varphi }_{\beta }^{\prime }({\pi }^{-1}(U_{\alpha })\cap {\pi }^{-1}(U_{\beta }))$。

実のところ、${\varphi }_{\beta }^{\prime }({\pi }^{-1}(U_{\alpha })\cap {\pi }^{-1}(U_{\beta }))={\varphi }_{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\times {\mathbb{R}}^d$、そして、${\mathbb{R}}^{2d}$または${\mathbb{H}}^{2d}$上でオープン（開）である。同様に、${\varphi }_{\alpha }^{\prime }({\pi }^{-1}(U_{\alpha })\cap {\pi }^{-1}(U_{\beta }))$は${\mathbb{R}}^{2d}$または${\mathbb{H}}^{2d}$上でオープン（開）である、対称性によって。

したがって、${\varphi }_{\alpha }^{\prime }(S)=(U_{\alpha ,\gamma }^{″}\times U_{\alpha ,\gamma }^{‴})\cap {\varphi }_{\alpha }^{\prime }\circ {{\varphi }_{\beta }^{\prime }}^{-1}((U_{\beta ,{\gamma }^{\prime }}^{″}\times U_{\beta ,{\gamma }^{\prime }}^{‴})\cap {\varphi }_{\beta }^{\prime }({\pi }^{-1}(U_{\alpha })\cap {\pi }^{-1}(U_{\beta })))$。

${\varphi }_{\alpha }^{\prime }\circ {{\varphi }_{\beta }^{\prime }}^{-1}:{\varphi }_{\beta }^{\prime }({\pi }^{-1}(U_{\alpha })\cap {\pi }^{-1}(U_{\beta }))\to {\varphi }_{\alpha }^{\prime }({\pi }^{-1}(U_{\alpha })\cap {\pi }^{-1}(U_{\beta }))$、明らかにバイジェクティブ（全単射）、のことを考えよう。

${\varphi }_{\alpha }^{\prime }\circ {{\varphi }_{\beta }^{\prime }}^{-1}$はディフェオモーフィックであることを証明しよう。${\varphi }_{\alpha }^{\prime }\circ {{\varphi }_{\beta }^{\prime }}^{-1}:(x^1,...,x^d,v^1,...,v^d)\mapsto ({\varphi }_{\alpha }({{\varphi }_{\beta }}^{-1})(x),\partial {\varphi }_{\alpha }^1(x)/\partial x^j{v}^j,...,\partial {\varphi }_{\alpha }^d(x)/\partial x^j{v}^j)$、それは、$C^{\mathrm{\infty }}$である。インバース（逆）$({\varphi }_{\alpha }^{\prime }\circ {{\varphi }_{\beta }^{\prime }}^{-1}{)}^{-1}={\varphi }_{\beta }^{\prime }\circ {{\varphi }_{\alpha }^{\prime }}^{-1}$は、同様に$C^{\mathrm{\infty }}$である、対称性によって。したがって、${\varphi }_{\alpha }^{\prime }\circ {{\varphi }_{\beta }^{\prime }}^{-1}$は本当にディフェオモーフィックである。

${\varphi }_{\beta }^{\prime }({\pi }^{-1}(U_{\alpha })\cap {\pi }^{-1}(U_{\beta }))$は${\mathbb{R}}^{2d}$または${\mathbb{H}}^{2d}$上でオープン（開）であるから、$(U_{\beta ,{\gamma }^{\prime }}^{″}\times U_{\beta ,{\gamma }^{\prime }}^{‴})\cap {\varphi }_{\beta }^{\prime }({\pi }^{-1}(U_{\alpha })\cap {\pi }^{-1}(U_{\beta }))$は${\mathbb{R}}^{2d}$または${\mathbb{H}}^{2d}$上でオープン（開）である、したがって、${\varphi }_{\beta }^{\prime }({\pi }^{-1}(U_{\alpha })\cap {\pi }^{-1}(U_{\beta }))$上でオープン（開）である、そして、${\varphi }_{\alpha }^{\prime }\circ {{\varphi }_{\beta }^{\prime }}^{-1}((U_{\beta ,{\gamma }^{\prime }}^{″}\times U_{\beta ,{\gamma }^{\prime }}^{‴})\cap {\varphi }_{\beta }^{\prime }({\pi }^{-1}(U_{\alpha })\cap {\pi }^{-1}(U_{\beta })))$は${\varphi }_{\alpha }^{\prime }({\pi }^{-1}(U_{\alpha })\cap {\pi }^{-1}(U_{\beta }))$上でオープン（開）である、なぜなら、${\varphi }_{\alpha }^{\prime }\circ {{\varphi }_{\beta }^{\prime }}^{-1}$はディフェオモーフィックである、したがって、$(U_{\alpha ,\gamma }^{″}\times U_{\alpha ,\gamma }^{‴})\cap {\varphi }_{\alpha }^{\prime }\circ {{\varphi }_{\beta }^{\prime }}^{-1}((U_{\beta ,{\gamma }^{\prime }}^{″}\times U_{\beta ,{\gamma }^{\prime }}^{‴})\cap {\varphi }_{\beta }^{\prime }({\pi }^{-1}(U_{\alpha })\cap {\pi }^{-1}(U_{\beta })))$は${\varphi }_{\alpha }^{\prime }({\pi }^{-1}(U_{\alpha })\cap {\pi }^{-1}(U_{\beta }))$上でオープン（開）である、したがって、${\varphi }_{\alpha }^{\prime }({\pi }^{-1}(U_{\alpha }))$上でオープン（開）である。

したがって、$S$は当該ベーシス（基底）の要素である。

したがって、基準2)は満たされている。

当該トポロジカルスペース（空間）はハウスドルフである、なぜなら、$TM$上の任意の互いに異なるポイントたちに対して、もしも、それらが互いに異なるファイバーたち上にあれば、何らかのディスジョイント（互いに素）チャートオープンサブセット（開部分集合）たち$U_{\alpha },U_{\beta }$があり、${\pi }^{-1}(U_{\alpha })\cap {\pi }^{-1}(U_{\beta })=\mathrm{\varnothing }$; もしも、それらがある同一ファイバー上にあれば、${\varphi }_{\alpha }^{\prime }({\pi }^{-1}(U_{\alpha }))$の何らかのオープンサブセット（開部分集合）たち$(U_{\alpha }\times U^{\prime })\cap (U_{\alpha }\times U^{″})=\mathrm{\varnothing }$がある、なぜなら、${\mathbb{R}}^d$はハウスドルフである、そして、${{\varphi }_{\alpha }^{\prime }}^{-1}(U_{\alpha }\times U^{\prime })\cap {{\varphi }_{\alpha }^{\prime }}^{-1}(U_{\alpha }\times U^{″})=\mathrm{\varnothing }$。

当該トポロジカルスペース（空間）はセカンドカウンタブル（可算）である、なぜなら、$M$上のチャートたちはカウンタブル（可算）に取ることができ、${\varphi }_{\alpha }^{\prime }({\pi }^{-1}(U_{\alpha }))$のオープンサブセット（開部分集合）たちはカウンタブル（可算）に取ることができる、なぜなら、${\mathbb{R}}^{2d}$はセカンドカウンタブル（可算）である。

当該アトラスは$C^{\mathrm{\infty }}$である、上記に証明されたとおり。

$\pi$は$C^{\mathrm{\infty }}$である、なぜなら、チャートたち$({\pi }^{-1}(U_{\alpha })\subseteq TM,{\varphi }_{\alpha }^{\prime })$および$(U_{\alpha }\subseteq M,\varphi )$に対して、コーディネート（座標）たちファンクション（関数）は、$({\varphi }_{\alpha }(\pi (v)),{\varphi }_{\alpha }^{″}(v))\mapsto {\varphi }_{\alpha }(\pi (v))$、$C^{\mathrm{\infty }}$。

任意のタンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束）は、一種の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）である: $\pi$は、ランク$d$のローカルにトリビアルなサージェクション（全射）である、直線的に確認できるとおり。

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参考資料

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