ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）のジェネラルリニア（線形）グループ（群）の定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）のジェネラルリニア（線形）グループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、フィールド（体）、フィールド（体）上方のk個のベクトルたちスペース（空間）たちおよびベクトルたちスペース（空間）に関するテンソルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ファイナイト（有限）次元リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（自然な）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（自然な）\(C^\infty\)アトラスの定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のオープン（開）サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義を知っている。
- 読者は、任意のベーシス（基底）を持つ任意のモジュール（加群）から任意のモジュール（加群）の中へ、あるリニアマップ（線形写像）を、当該ベーシス（基底）をマッピングしマッピングをリニア（線形）に拡張することによって定義できるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）のジェネラルリニア（線形）グループ（群）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( \mathbb{R}\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\( V\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元） } \mathbb{R} \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(*GL (V)\): \(= V \text{ のジェネラルリニア（線形）グループ（群） }\), \(\in \{\text{ 全ての } d^2 \text{ -ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）たち }\}\)
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コンディションたち:
\(GL (V)\)は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）\(L (V: V)\)（カノニカル（正典）トポロジーおよびカノニカル（正典）\(C^\infty\)アトラスを持つもの）のオープン（開）サブマニフォールド（部分多様体）である
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2: 注
ベクトルたちスペース（空間）たちのジェネラルリニア（線形）グループ（群）の本特殊ケースが特に取り上げられた理由は、本概念は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）でもあるということ: 本概念のためには、当該フィールド（体）は\(\mathbb{R}\)である必要があり、\(V\)はファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）である必要がある。
\(GL (V)\)は本当に\(L (V: V)\)のオープンサブマニフォールド（部分多様体）であることを見よう。
\(L (V: V)\)は本当に\(d^2\)-ディメンショナル（次元）\(\mathbb{R}\)ベクトルたちスペース（空間）であることを見よう。
フィールド（体）、フィールド（体）上方のk個のベクトルたちスペース（空間）たちおよびベクトルたちスペース（空間）に関するテンソルたちスペース（空間）の定義に対する"注"は、既に、それが\(\mathbb{R}\)ベクトルたちスペース（空間）であることを示した。
\(V\)の任意のベーシス（基底）を\(\{b_1, ..., b_d\}\)としよう。
\(b^j_k \in L (V: V)\)は、\(b_j\)を\(b_k\)へマップし他の任意のベーシス（基底）要素を\(0\)へマップするものであるとしよう、それは本当に\(L (V: V)\)の中にいる、任意のベーシス（基底）を持つ任意のモジュール（加群）から任意のモジュール（加群）の中へ、あるリニアマップ（線形写像）を、当該ベーシス（基底）をマッピングしマッピングをリニア（線形）に拡張することによって定義できるという命題によって。
\(\{b^j_k \vert j \in \{1, ..., d\}, k \in \{1, ..., d\}\}\)は\(L (V: V)\)に対するあるベーシス（基底）であることを見よう。
任意の\(v^k_j \in \mathbb{R}\)に対して\(v^k_j b^j_k = 0\)であると仮定しよう。それを\(b_l\)に作用させよう。\(v^k_j b^j_k (b_l) = 0 (b_l) = 0\)、しかし、\(v^k_j b^j_k (b_l) = v^k_l b^l_k (b_l) = v^k_l b_k\)、それが含意するのは、\(v^k_l = 0\)。したがって、\(\{b^j_k\}\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である。
各固定した\(j\)に対して、\(v^k_l b^l_k (b_j) = v^k_j b_k\)は\(V\)をスパンする（張る）、\(v^k_j\)たちを選ぶことによって。したがって、\(L (V: V)\)の各要素は\(v^k_l b^l_k\)と表わされる。
したがって、\(\{b^j_k\}\)は\(L (V: V)\)に対するベーシス（基底）である、したがって、\(L (V: V)\)は\(d^2\)-ディメンショナル（次元）である。
したがって、\(L (V: V)\)は\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）にできる、ファイナイト（有限）次元リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（自然な）トポロジーの定義およびファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（自然な）\(C^\infty\)アトラスの定義によって。
ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（自然な）\(C^\infty\)アトラスの定義によって、\((L (V: V) \subseteq L (V: V), \phi)\)、ここで、\(\phi: L (V: V) \to \mathbb{R}^{d^2}, v = v^k_j b^j_k \mapsto M (v) = \begin{pmatrix} v^1_1 & ... & v^1_d \\ ... \\ v^d_1 & ... & v^d_d \end{pmatrix}\)、はグローバルチャートである。
\(\phi (GL (V)) := S = \{M (v) \in \mathbb{R}^{d^2} \vert det M (v) \neq 0\} = \mathbb{R}^{d^2} \setminus \{M (v) \in \mathbb{R}^{d^2} \vert det M (v) = 0\}\)。
しかし、\(\{M (v) \in \mathbb{R}^{d^2} \vert det M (v) = 0\}\)は\(\mathbb{R}^{d^2}\)のクローゼットサブセット（閉部分集合）である、なぜなら、\(det: \mathbb{R}^{d^2} \to \mathbb{R}\)はコンティニュアス（連続）であり、\(\{M (v) \in \mathbb{R}^{d^2} \vert det M (v) = 0\} = det^{-1} (\{0\})\)、ここで、\(\{0\} \in \mathbb{R}\)はクローゼットサブセット（閉部分集合）である。
したがって、\(S\)は\(\mathbb{R}^{d^2}\)のオープンサブセット（開部分集合）である。\(GL (V) = \phi^{-1} (S)\)は\(L (V: V)\)のオープンサブセット（開部分集合）である。
したがって、\(GL (V)\)は\(L (V: V)\)のオープンサブマニフォールド（開部分多様体）である。
