\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\(C^\infty\) \((p, q)\)-テンソルたちバンドル（束）の定義
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\(C^\infty\) \((p, q)\)-テンソルたちバンドル（束）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( M\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち } \}\)
\( p\): \(\in \mathbb{N}\)
\( q\): \(\in \mathbb{N}\)
\( T^p_q (TM)\): \(= \biguplus_{m \in M} T^p_q (T_mM)\)、\(TM \otimes ... \otimes TM \otimes TM^* \otimes ... \otimes TM^*\)とも記される
\( \pi\): \(: T^p_q (TM) \to M, t \mapsto m\)、ここで、\(t \in T^p_q (T_mM)\)
\(*(T^p_q (TM), M, \pi)\):
//
コンディションたち:
\((T^p_q (TM), M, \pi)\)は、以下のローカルトリビアライゼーションたちのセット（集合）候補でもって構築された\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）である: チャートたちの任意のカバリングセット（集合）\(\{(U_j \subseteq M, \phi_j)\}\)に対して、\(\Phi_j: \pi^{-1} (U_j) \to U_j \times \mathbb{R}^{d^{(p + q)}}, t = t^{j_1, ..., j_p}_{l_1, ..., l_q} [((\partial / \partial x^{j_1}, ..., \partial / \partial x^{j_p}, d x^{l_1}, ..., d x^{l_q}))] \mapsto (\pi (t), (t^{1, ..., 1}_{1, ..., 1}, ..., t^{d, ..., d}_{d, ..., d}))\)、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、各ポイントにおける任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）で同一ディメンション（次元）\(k\)を持つものに対して、任意のローカルトリビアライゼーションたちのセット（集合）候補はランク\(k\)のカノニカル（正典）な\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）を決定するという命題によって
//
\(T^p_q (TM)\)は、とてもしばしば、暗黙に、\(\biguplus_{m \in M} L (T_mM^*, ..., T_mM^*, T_mM, ..., T_mM: \mathbb{R})\)と同定される、カノニカル（正典）バイジェクション（全単射）\(f': T^p_q (TM) \to \biguplus_{m \in M} L (T_mM^*, ..., T_mM^*, T_mM, ..., T_mM: \mathbb{R}), t \in T^p_q (T_mM) \mapsto f (t)\)によって、ここで、\(f\)は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおけるテンソルたちスペース（空間）と、リアルナンバー（実数）たちフィールド（体）および\(p\)個のコタンジェントベクトルたちスペース（空間）たちおよび\(q\)個のタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）たちおよびフィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）との間のカノニカル（正典）'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）の定義内で言及されたカノニカル（正典）な'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。
したがって、各\(t = t^{j_1, ..., j_p}_{l_1, ..., l_q} [((\partial / \partial x^{j_1}, ..., \partial / \partial x^{j_p}, d x^{l_1}, ..., d x^{l_q}))] \in T^p_q (TM)\)は本当にはマルチリニアマップ（多重線形写像）ではないが、\(t\)の代わりに\(f (t) = t^{j_1, ..., j_p}_{l_1, ..., l_q} \widetilde{\partial / \partial x^{j_1}} \otimes ... \otimes \widetilde{\partial / \partial x^{j_p}} \otimes d x^{l_1} \otimes ... \otimes d x ^{l_q}\)がとてもしばしば使われる。
2: 注
当該定義は本当に任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、各ポイントにおける任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）で同一ディメンション（次元）\(k\)を持つものに対して、任意のローカルトリビアライゼーションたちのセット（集合）候補はランク\(k\)のカノニカル（正典）な\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）を決定するという命題に対する要件たちに適合することを見よう。
\(T^p_q (T_mM)\)は\(d^{(p + q)}\)-ディメンショナル（次元）\(\mathbb{R}\)ベクトルたちスペース（空間）である、任意の\(k\)個のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）は任意のベーシス（基底）要素たちによってインデュースト（誘導された）クラスたちから構成されるベーシス（基底）を持つという命題によって: \(T_mM\)は\(d\)-ディメンショナル（次元）であり\(T_mM^*\)は\(d\)-ディメンショナル（次元）である、よく知られているとおり。
各\(m \in U_j\)に対して、\(\Phi_j \vert_{T^p_q (T_mM)}: T^p_q (T_mM) \to \{m\} \times \mathbb{R}^{d^{(p + q)}}, t = t^{j_1, ..., j_p}_{l_1, ..., l_q} [((\partial / \partial x^{j_1}, ..., \partial / \partial x^{j_p}, d x^{l_1}, ..., d x^{l_q}))] \mapsto (\pi (t), (t^{1, ..., 1}_{1, ..., 1}, ..., t^{d, ..., d}_{d, ..., d}))\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意のベクトルたちスペース（空間）間において、任意のベーシス（基底）を任意のベーシス（基底）の上へバイジェクティブ（全単射）にマップし当該マッピングをリニア（線形）に拡張する任意のマップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。
\(\begin{pmatrix} T_{j, l} \end{pmatrix}\)は\(\begin{pmatrix} \partial (\phi_l \circ {\phi_j}^{-1})^{j_1} / \partial x^{m_1} ... \partial (\phi_l \circ {\phi_j}^{-1})^{j_p} / \partial x^{m_p} \partial (\phi_j \circ {\phi_l}^{-1})^{n_1} / \partial x'^{l_1} ... \partial (\phi_j \circ {\phi_l}^{-1})^{n_q} / \partial x'^{l_q} \end{pmatrix}\)である、ここで、\(\{(j_1, ..., j_p, l_1, ..., l_q)\}\)は\(l\)に対するインデックスを構成し\(\{(m_1, ..., m_p, n_1, ..., n_q)\}\)は\(j\)に対するインデックスを構成する、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、および任意のポイントにおける\((p, q)\)-テンソルたちスペース（空間）に対して、任意のチャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関する任意のテンソルのコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであるという命題によって。
\(\begin{pmatrix} T_{j, l} \end{pmatrix}\)は\(C^\infty\)である、なぜなら、\(\phi_l \circ {\phi_j}^{-1}\)および\(\phi_j \circ {\phi_l}^{-1}\)は\(C^\infty\)である: \(\partial (\phi_l \circ {\phi_j}^{-1})^{j_1} / \partial x^{m_1} ... \partial (\phi_l \circ {\phi_j}^{-1})^{j_p} / \partial x^{m_p}\)は\(\phi_j (U_j \cap U_l)\)からのマップ（写像）として\(C^\infty\)であり\(\partial (\phi_j \circ {\phi_l}^{-1})^{n_1} / \partial x'^{l_1} ... \partial (\phi_j \circ {\phi_l}^{-1})^{n_q} / \partial x'^{l_q}\)は\(\phi_l (U_j \cap U_l)\)からのマップ（写像）として\(C^\infty\)であるところ、\(\partial (\phi_l \circ {\phi_j}^{-1})^{j_1} / \partial x^{m_1} ... \partial (\phi_l \circ {\phi_j}^{-1})^{j_p} / \partial x^{m_p} \partial (\phi_j \circ {\phi_l}^{-1})^{n_1} / \partial x'^{l_1} ... \partial (\phi_j \circ {\phi_l}^{-1})^{n_q} / \partial x'^{l_q}\)は、\(U_j \cap U_l\)からのマップ（写像）として\(C^\infty\)である、なぜなら、\(\phi_j \vert_{U_j \cap U_l}: U_j \cap U_l \to \phi_j (U_j \cap U_l)\)および\(\phi_l \vert_{U_j \cap U_l}: U_j \cap U_l \to \phi_l (U_j \cap U_l)\)は\(C^\infty\)である。
したがって、当該定義は、本当に、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、各ポイントにおける任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）で同一ディメンション（次元）\(k\)を持つものに対して、任意のローカルトリビアライゼーションたちのセット（集合）候補はランク\(k\)のカノニカル（正典）な\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）を決定するという命題に対する要件たちに適合する。
\(T^p_q (TM)\)の当該トポロジーおよび当該\(C^\infty\)アトラスは\(\{(U_j \subseteq M, \phi_j)\}\)の選択に依存しないこと見よう、任意のセット（集合）および任意の2つのトポロジー-アトラスペアたちに対して、もしも、ある共通のチャートドメイン（定義域）たちオープンカバー（開被覆）があり、各共通チャートに対するトランジション（遷移）がディフェオモーフィズムである場合、そしてその場合に限って、当該ペアたちは同一であるという命題によって。
\(\{(U_j \subseteq M, \phi_j)\}\)によるあるカバリングチャートたちのセット（集合）は\(\{(\pi^{-1} (U_m) \subseteq T^p_q (TM), \widetilde{\phi_m})\}\)である、ここで、\(m \in U_m \subseteq U_j\)。
別の選択を\(\{(U'_{j'} \subseteq M, \phi'_{j'})\}\)としよう。
\(\{(U'_{j'} \subseteq M, \phi'_{j'})\}\)によるあるカバリングチャートたちのセット（集合）は\(\{(\pi^{-1} (U'_{m'}) \subseteq T^p_q (TM), \widetilde{\phi'_{m'}})\}\)、ここで、\(m' \in U'_{m'} \subseteq U'_{j'}\)。
\(\{\pi^{-1} (U_m) \cap \pi^{-1} (U'_{m'})\}\)は、共通のチャートドメイン（定義域）たちオープンカバー（開被覆）である、なぜなら、\((\pi^{-1} (U_m) \cap \pi^{-1} (U'_{m'}) \subseteq T^p_q (TM), \widetilde{\phi_m} \vert_{\pi^{-1} (U_m) \cap \pi^{-1} (U'_{m'})})\)および\((\pi^{-1} (U_m) \cap \pi^{-1} (U'_{m'}) \subseteq T^p_q (TM), \widetilde{\phi'_{m'}} \vert_{\pi^{-1} (U_m) \cap \pi^{-1} (U'_{m'})})\)はチャートたちである。
当該トランジション（遷移）は、\(\widetilde{\phi'_{m'}} \vert_{\pi^{-1} (U_m) \cap \pi^{-1} (U'_{m'})} \circ (\widetilde{\phi_m} \vert_{\pi^{-1} (U_m) \cap \pi^{-1} (U'_{m'})})^{-1} = \lambda \circ (\phi'_{m'}, id) \circ \Phi'_{j'} \circ {\Phi_j}^{-1} \circ ({\phi_m}^{-1}, id^{-1}) \circ \lambda^{-1}\): 厳密に言うと、各構成は適切にリストリクト（制限）される必要がある、しかし、当該リストリクション（制限）たちの印たちはここでは省略しよう。
\(\Phi'_{j'} \circ {\Phi_j}^{-1}\)はディフェオモーフィズムである、なぜなら、それは、本質的には\(\Phi_l \circ {\Phi_j}^{-1}\)と変わらない。
当該トランジション（遷移）はディフェオモーフィズムである、なぜなら、\(\lambda\)、\((\phi'_{m'}, id)\)、\(\Phi'_{j'} \circ {\Phi_j}^{-1}\)、\(({\phi_m}^{-1}, id^{-1})\)、\(\lambda^{-1}\)はディフェオモーフィズムたちである。
したがって、\(T^p_q (TM)\)の当該トポロジーおよび当該\(C^\infty\)アトラスは\(\{(U_j \subseteq M, \phi_j)\}\)の選択には依存しない。
