同一\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の2つの\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）たちに対して、バイジェクティブ（全単射）\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）ホモモーフィズム（準同形写像）は'\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）たち - \(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ランク\(k\)の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）の定義を知っている。
- 読者は、バイジェクション（全単射）の定義を知っている。
- 読者は、%ストラクチャー（構造）種類名%ホモモーフィズム（準同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、バウンダリー（境界）付きの\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの間の\(C^k\)マップ（写像）、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、の定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のオープン（開）サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）のオープンサブセット（開部分集合）は\(C^\infty\)トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、および任意の2つのリアル（実）ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちで\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちと化したものに対して、当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、と前者ベクトルたちスペース（空間）のプロダクトから当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、と後者ベクトルたちスペース（空間）のプロダクトの上への任意の\(C^\infty\)バイジェクション（全単射）で、第1ファクター維持で第1ファクター固定リニア（線形）であるものは、ディフェオモーフィズムであるという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意のマップ（写像）に対して、\(C^k\)性は変わらない、ドメイン（定義域）またはコドメイン（余域）がサブセット（部分集合）とみなされた時、という命題を認めている。
- 読者は、任意のユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて\(C^k\)であるものたち、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいて\(C^k\)であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のバイジェクティブ（全単射）リニア（線形）マップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の同一\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の任意の2つの\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）たちに対して、任意のバイジェクティブ（全単射）\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）ホモモーフィズム（準同形写像）は'\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）たち - \(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\((E, M, \pi)\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ ベクトルたちバンドル（束）たち } \}\)
\((E', M, \pi')\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ ベクトルたちバンドル（束）たち } \}\)
\(f\): \(: E \to E'\), \(\in \{\text{ 全てのバイジェクション（全単射）たち }\}\)で、以下を満たすもの、つまり、\((id: M \to M, f) \in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ ベクトルたちバンドル（束）ホモモーフィズム（準同形写像）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全ての ' } C^\infty \text{ ベクトルたちバンドル（束）たち - } C^\infty \text{ ベクトルたちバンドル（束）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: \((id^{-1}, f^{-1})\)は\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）ホモモーフィズム（準同形写像）であることを見る; ステップ1: \(\pi \circ f^{-1} = id^{-1} \circ \pi'\)であることを見る; ステップ2: \(f^{-1}\)は\(C^\infty\)であることを見る; ステップ3: 各\(m \in M\)に対して、\(f^{-1} \vert_{\pi'^{-1} (m)}: \pi'^{-1} (m) \to \pi^{-1} (m)\)はリニア（線形）であることを見る; ステップ4: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(f\)はバイジェクティブ（全単射）であるから、\(f^{-1}\)がある。
\(\pi \circ f^{-1} = id^{-1} \circ \pi'\)であることを見よう。
\(\pi' \circ f = id \circ \pi\)、なぜなら、\((id: M \to M, f)\)は\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）ホモモーフィズム（準同形写像）である。
\(id^{-1} \circ \pi' = id^{-1} \circ \pi' \circ f \circ f^{-1} = id^{-1} \circ id \circ \pi \circ f^{-1} = \pi \circ f^{-1}\)。
Step 2: ステップ2:
ステップ2戦略: ステップ2-1: 各\(m \in M\)の周りに、あるトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）\(U_m \subseteq M\)、あるトリビアライゼーション\(\Phi_m: \pi^{-1} (U_m) \to U_m \times \mathbb{R}^k\)、あるトリビアライゼーション\(\Phi'_m: \pi'^{-1} (U_m) \to U_m \times \mathbb{R}^k\)を取る; ステップ2-2: \(\Phi'_m \circ f \circ {\Phi_m}^{-1}\)のことを考え、それは、\(C^\infty\)バイジェクション（全単射）であり、第1ファクター維持で第1ファクター固定リニア（線形）であることを見る; ステップ2-3: \(\Phi'_m \circ f \circ {\Phi_m}^{-1}\)はディフェオモーフィックであると結論する; ステップ2-4: \(f\)はディフェオモーフィックであると結論する; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ2-1:
各\(m \in M\)の周りに、あるトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）\(U_m \subseteq M\)、あるトリビアライゼーション\(\Phi_m: \pi^{-1} (U_m) \to U_m \times \mathbb{R}^k\)、あるあるトリビアライゼーション\(\Phi'_m: \pi'^{-1} (U_m) \to U_m \times \mathbb{R}^k\)を取ろう、それは可能である、なぜなら、\(E\)に対するあるトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）\(V_m\)および\(E'\)に対するあるトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）\(V'_m\)があるが、\(U_m := V_m \cap V'_m\)でよい、\(C^\infty\)トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）のオープンサブセット（開部分集合）は\(C^\infty\)トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）であるという命題によって。
ステップ2-2:
\(\Phi'_m \circ f \circ {\Phi_m}^{-1}: U_m \times \mathbb{R}^k \to U_m \times \mathbb{R}^k\)のことを考えよう。
それはディフェオモーフィックであることを見よう、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、および任意の2つのリアル（実）ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちで\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちと化したものに対して、当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、と前者ベクトルたちスペース（空間）のプロダクトから当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、と後者ベクトルたちスペース（空間）のプロダクトの上への任意の\(C^\infty\)バイジェクション（全単射）で、第1ファクター維持で第1ファクター固定リニア（線形）であるものは、ディフェオモーフィズムであるという命題を使って。ステップ2-2は、\(\Phi'_m \circ f \circ {\Phi_m}^{-1}\)は当該命題に対する要件たちを満たすことを見るという問題である。これ以降の"第1ファクター維持"および"第1ファクター固定リニア（線形）"は、当該命題内で意味されていることを意味する。
\(U_m\)は\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、である、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のオープン（開）サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義に対する"注"によって。
任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意のマップ（写像）に対して、\(C^k\)性は変わらない、ドメイン（定義域）またはコドメイン（余域）がサブセット（部分集合）とみなされた時、という命題に注意のこと。
\(\Phi'_m \circ f \circ {\Phi_m}^{-1}\)はバイジェクティブ（全単射）である、なぜなら、\({\Phi_m}^{-1}: U_m \times \mathbb{R}^k \to \pi^{-1} (U_m)\)はバイジェクティブ（全単射）である、\(f \vert_{\pi^{-1} (U_m)}: \pi^{-1} (U_m) \to \pi^{-1} (U_m)\)はバイジェクティブ（全単射）である: \(f\)はファイバー維持であり、各ファイバー上で'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）（したがって、バイジェクティブ（全単射））である、そして、\(\Phi'_m: \pi^{-1} (U_m) \to U_m \times \mathbb{R}^k\)はバイジェクティブ（全単射））である。
\(\Phi'_m \circ f \circ {\Phi_m}^{-1}\)は\(C^\infty\)である、任意のユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて\(C^k\)であるものたち、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいて\(C^k\)であるという命題によって。
\(\Phi'_m \circ f \circ {\Phi_m}^{-1}\)は第1ファクター維持でである、なぜなら、\({\Phi_m}^{-1}\)は\(\{p\} \times \mathbb{R}^k\)を\(\pi^{-1} (p)\)の中へマップし、\(f\)は\(\pi^{-1} (p)\)を\(\pi'^{-1} (p)\)の中へマップし、\(\Phi'_m\)は\(\pi'^{-1} (p)\)を\(\{p\} \times \mathbb{R}^k\)の中へマップする。
\(\Phi'_m \circ f \circ {\Phi_m}^{-1}\)は第1ファクター固定リニア（線形）である、なぜなら、\({\Phi_m}^{-1} \vert_{\{p\} \times \mathbb{R}^k}\)は\(\pi^{-1} (p)\)の中へリニア（線形）であり、\(f \vert_{\pi^{-1} (p)}\)は\(\pi'^{-1} (p)\)の中へリニア（線形）であり、\(\Phi'_m \vert_{\pi'^{-1} (p)}\)は\(\{p\} \times \mathbb{R}^k\)の中へリニア（線形）である。
ステップ2-3:
したがって、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、および任意の2つのリアル（実）ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちで\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちと化したものに対して、当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、と前者ベクトルたちスペース（空間）のプロダクトから当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、と後者ベクトルたちスペース（空間）のプロダクトの上への任意の\(C^\infty\)バイジェクション（全単射）で、第1ファクター維持で第1ファクター固定リニア（線形）であるものは、ディフェオモーフィズムであるという命題によって、\(\Phi'_m \circ f \circ {\Phi_m}^{-1}\)はディフェオモーフィックである。
したがって、\((\Phi'_m \circ f \circ {\Phi_m}^{-1})^{-1} = \Phi_m \circ f^{-1} \circ {\Phi'_m}^{-1}\)は\(C^\infty\)である。
ステップ2-4:
すると、\(f^{-1} = {\Phi_m}^{-1} \circ \Phi_m \circ f^{-1} \circ {\Phi'_m}^{-1} \circ \Phi'_m\)は\(C^\infty\)である、任意のユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて\(C^k\)であるものたち、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいて\(C^k\)であるという命題によって。
したがって、\(f\)はディフェオモーフィズムである。
ステップ3:
各\(m \in M\)に対して、\(f^{-1} \vert_{\pi'^{-1} (m)}: \pi'^{-1} (m) \to \pi^{-1} (m)\)はリニア（線形）であることを見よう。
\(f\)はファイバー維持でバイジェクティブ（全単射）であるから、\(f^{-1} \vert_{\pi'^{-1} (m)}\)は\(f \vert_{\pi^{-1} (m)}: \pi^{-1} (m) \to \pi'^{-1} (m)\)（それは、リニア（線形）である、\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）ホモモーフィズム（準同形写像）の定義によって）のインバース（逆）である。任意のバイジェクティブ（全単射）リニア（線形）マップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって、\(f \vert_{\pi^{-1} (m)}\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、したがって、\(f^{-1} \vert_{\pi'^{-1} (m)}\)はリニア（線形）である。
ステップ4:
したがって、\((id^{-1}, f^{-1})\)は\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）ホモモーフィズム（準同形写像）である。
したがって、\((id, f)\)は'ベクトルたちバンドル（束）たち - \(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。
