グループ(群)でトポロジーを持ちコンティニュアス(連続)オペレーションたちを持つもの(特に、トポロジカルグループ(群))、要素、要素のネイバーフッド(近傍)に対して、\(1\)のシンメトリック(対称)ネイバーフッド(近傍)で要素に\(1\)のネイバーフッド(近傍)を左から掛けて\(1\)のネイバーフッド(近傍)のインバース(逆)を右から掛けたものが要素のネイバーフッド(近傍)に包含されているものがあることの記述/証明
話題
About: グループ(群)
About: トポロジカルスペース(空間)
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース(空間)上のポイントのネイバーフッド(近傍)の定義を知っている。
- 読者は、グループ(群)のシンメトリック(対称)サブセット(部分集合)の定義を知っている。
- 読者は、プロダクトトポロジーの定義を知っている。
- 読者は、任意のグループ(群)で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス(連続)オペレーションたちを持つもの(特に、トポロジカルグループ(群))に対して、インバージョン(逆)マップ(写像)、要素による左または右からのマルチプリケーション(乗法)マップ(写像)、要素によるコンジュゲーション(共役)マップ(写像)たちはホメオモーフィズム(位相同形写像)たちであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース(空間)たちの任意のサブスペース(部分空間)たちの間の任意のマップ(写像)たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス(連続)であるものに対して、コンポジション(合成)は当該ポイントにおいてコンティニュアス(連続)であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のグループ(群)で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス(連続)オペレーションたちを持つもの(特に、トポロジカルグループ(群))に対して、\(1\)の全てのシンメトリック(対称)ネイバーフッド(近傍)たちのセット(集合)は\(1\)におけるネイバーフッド(近傍)ベーシス(基底)であるという命題を認めている。
- 読者は、任意の有限個のコンティヌアス(連続)マップ(写像)たちのプロダクトマップ(写像)は、プロダクトトポロジーによってコンティヌアス(連続)であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ(群)で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス(連続)オペレーションたちを持つもの(特に、トポロジカルグループ(群))、任意の要素、当該要素の任意のネイバーフッド(近傍)に対して、\(1\)のあるシンメトリック(対称)ネイバーフッド(近傍)で当該要素に\(1\)の当該ネイバーフッド(近傍)を左から掛けて\(1\)の当該ネイバーフッド(近傍)のインバース(逆)を右から掛けたものが当該要素の当該ネイバーフッド(近傍)に包含されているものがあるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ(実体)たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのグループ(群)たち }\}\)で任意のトポロジーを持ち当該グループ(群)オペレーションたちがコンティニュアス(連続)であるもの
\(g\): \(\in G\)
\(N_g\): \(\in \{g \text{ の } G \text{ 上の全てのネイバーフッド(近傍)たち }\}\)
//
ステートメント(言明)たち:
\(\exists N_1 \in \{1 \text{ の } G \text{ 上の全てのシンメトリック(対称)ネイバーフッド(近傍)たち }\} (N_1 g {N_1}^{-1} \subseteq N_g)\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: コンティニュアス(連続)\(f: G \times G \to G, (g_1, g_2) \mapsto g_1 g g_2\)のことを考え、\(f ((1, 1)) = g\)であることを見よう; ステップ2: \((1, 1)\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド(開近傍)\(U_{(1, 1)}\)、つまり、\(f (U_{(1, 1)}) \subseteq N_g\)、を取り、\(1\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド(開近傍)\(U_1\)、つまり、\(U_1 \times U_1 \subseteq U_{(1, 1)}\)、を取る; ステップ3: \(1\)のあるシンメトリック(対称)ネイバーフッド(近傍)\(N_1 \subseteq U_1\)を取り、\(f (N_1 \times N_1) \subseteq N_g\)および\(f (N_1 \times N_1) = N_1 g {N_1}^{-1}\)であることを見よう。
ステップ1:
\(f: G \times G \to G, (g_1, g_2) \mapsto g_1 g g_2\)のことを考えよう。
\(f\)は、マップ(写像)たち\(: G \times G \to G \times G, (g_1, g_2) \mapsto (g_1, g g_2)\)および\(: G \times G \to G, (g_1, g_2) \mapsto g_1 g_2\)のコンポジション(合成)である。
前者はコンティニュアス(連続)である、なぜなら、\(: g_2 \mapsto g g_2\)はコンティニュアス(連続)である、任意のグループ(群)で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス(連続)オペレーションたちを持つもの(特に、トポロジカルグループ(群))に対して、インバージョン(逆)マップ(写像)、要素による左または右からのマルチプリケーション(乗法)マップ(写像)、要素によるコンジュゲーション(共役)マップ(写像)たちはホメオモーフィズム(位相同形写像)たちであるという命題によって、したがって、\(: G \times G \to G \times G, (g_1, g_2) \mapsto (g_1, g g_2)\)はコンティニュアス(連続)である、任意の有限個のコンティヌアス(連続)マップ(写像)たちのプロダクトマップ(写像)は、プロダクトトポロジーによってコンティヌアス(連続)であるという命題によって。
後者はコンティニュアス(連続)である、なぜなら、それは、マルチプリケーション(乗法)オペレーションである。
したがって、\(f\)はコンティニュアス(連続)である、コンティニュアス(連続)マップ(写像)たちのコンポジション(合成)として、任意のトポロジカルスペース(空間)たちの任意のサブスペース(部分空間)たちの間の任意のマップ(写像)たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス(連続)であるものに対して、コンポジション(合成)は当該ポイントにおいてコンティニュアス(連続)であるという命題によって。
\(f ((1, 1)) = 1 g 1 = g\)。
ステップ2:
\(f\)はコンティニュアス(連続)であるから、\((1, 1)\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド(開近傍)\(U_{(1, 1)} \subseteq G \times G\)、つまり、\(f (U_{(1, 1)}) \subseteq N_g\)、がある。
プロダクトトポロジーの定義によって、\(1\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド(開近傍)\(U_1 \subseteq G\)、つまり、\(U_1 \times U_1 \subseteq U_{(1, 1)}\)、がある: \(1\)の以下を満たすなんらかのオープンネイバーフッド(開近傍)たち\({U_1}', {U_1}'' \subseteq G\)、つまり、\({U_1}' \times {U_1}'' \subseteq U_{(1, 1)}\)、があるところ、\(U_1 := {U_1}' \cap {U_1}''\)と取ることができる。
ステップ3:
\(1\)の以下を満たすあるシンメトリック(対称)ネイバーフッド(近傍)\(N_1 \subseteq G\)、つまり、\(N_1 \subseteq U_1\)、がある、任意のグループ(群)で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス(連続)オペレーションたちを持つもの(特に、トポロジカルグループ(群))に対して、\(1\)の全てのシンメトリック(対称)ネイバーフッド(近傍)たちのセット(集合)は\(1\)におけるネイバーフッド(近傍)ベーシス(基底)であるという命題によって。
\(N_1 \times N_1 \subseteq U_{(1, 1)}\)であるから、\(f (N_1 \times N_1) \subseteq f (U_{(1, 1)}) \subseteq N_g\)。
\(f (N_1 \times N_1) = N_1 g N_1\)であることを見よう。
各\(g' \in f (N_1 \times N_1)\)に対して、\(g' = g_1 g g_2\)、ここで、\(g_1, g_2 \in N_1\)、したがって、\(g' \in N_1 g N_1\); 各\(g' \in N_1 g N_1\)に対して、\(g' = g_1 g g_2\)、ここで、\(g_1, g_2 \in N_1\)、しかし、\(g_1 g g_2 = f (g_1, g_2)\)、したがって、\(g' \in f (N_1 \times N_1)\)。
しかし、\(N_1\)はシンメトリック(対称)であるから、\(N_1 g N_1 = N_1 g {N_1}^{-1}\)。
したがって、\(N_1 g {N_1}^{-1} = f (N_1 \times N_1) \subseteq N_g\)。