グループ（群）でトポロジーを持ちコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））、要素、要素のネイバーフッド（近傍）に対して、\(1\)のシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）で要素に\(1\)のネイバーフッド（近傍）を左から掛けて\(1\)のネイバーフッド（近傍）のインバース（逆）を右から掛けたものが要素のネイバーフッド（近傍）に包含されているものがあることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）上のポイントのネイバーフッド（近傍）の定義を知っている。
- 読者は、グループ（群）のシンメトリック（対称）サブセット（部分集合）の定義を知っている。
- 読者は、プロダクトトポロジーの定義を知っている。
- 読者は、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、インバージョン（逆）マップ（写像）、要素による左または右からのマルチプリケーション（乗法）マップ（写像）、要素によるコンジュゲーション（共役）マップ（写像）たちはホメオモーフィズム（位相同形写像）たちであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間の任意のマップ（写像）たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、\(1\)の全てのシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）たちのセット（集合）は\(1\)におけるネイバーフッド（近傍）ベーシス（基底）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意の有限個のコンティヌアス（連続）マップ（写像）たちのプロダクトマップ（写像）は、プロダクトトポロジーによってコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））、任意の要素、当該要素の任意のネイバーフッド（近傍）に対して、\(1\)のあるシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）で当該要素に\(1\)の当該ネイバーフッド（近傍）を左から掛けて\(1\)の当該ネイバーフッド（近傍）のインバース（逆）を右から掛けたものが当該要素の当該ネイバーフッド（近傍）に包含されているものがあるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)で任意のトポロジーを持ち当該グループ（群）オペレーションたちがコンティニュアス（連続）であるもの
\(g\): \(\in G\)
\(N_g\): \(\in \{g \text{ の } G \text{ 上の全てのネイバーフッド（近傍）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists N_1 \in \{1 \text{ の } G \text{ 上の全てのシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）たち }\} (N_1 g {N_1}^{-1} \subseteq N_g)\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: コンティニュアス（連続）\(f: G \times G \to G, (g_1, g_2) \mapsto g_1 g g_2\)のことを考え、\(f ((1, 1)) = g\)であることを見よう; ステップ2: \((1, 1)\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{(1, 1)}\)、つまり、\(f (U_{(1, 1)}) \subseteq N_g\)、を取り、\(1\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_1\)、つまり、\(U_1 \times U_1 \subseteq U_{(1, 1)}\)、を取る; ステップ3: \(1\)のあるシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）\(N_1 \subseteq U_1\)を取り、\(f (N_1 \times N_1) \subseteq N_g\)および\(f (N_1 \times N_1) = N_1 g {N_1}^{-1}\)であることを見よう。
ステップ1:
\(f: G \times G \to G, (g_1, g_2) \mapsto g_1 g g_2\)のことを考えよう。
\(f\)は、マップ（写像）たち\(: G \times G \to G \times G, (g_1, g_2) \mapsto (g_1, g g_2)\)および\(: G \times G \to G, (g_1, g_2) \mapsto g_1 g_2\)のコンポジション（合成）である。
前者はコンティニュアス（連続）である、なぜなら、\(: g_2 \mapsto g g_2\)はコンティニュアス（連続）である、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、インバージョン（逆）マップ（写像）、要素による左または右からのマルチプリケーション（乗法）マップ（写像）、要素によるコンジュゲーション（共役）マップ（写像）たちはホメオモーフィズム（位相同形写像）たちであるという命題によって、したがって、\(: G \times G \to G \times G, (g_1, g_2) \mapsto (g_1, g g_2)\)はコンティニュアス（連続）である、任意の有限個のコンティヌアス（連続）マップ（写像）たちのプロダクトマップ（写像）は、プロダクトトポロジーによってコンティヌアス（連続）であるという命題によって。
後者はコンティニュアス（連続）である、なぜなら、それは、マルチプリケーション（乗法）オペレーションである。
したがって、\(f\)はコンティニュアス（連続）である、コンティニュアス（連続）マップ（写像）たちのコンポジション（合成）として、任意のトポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間の任意のマップ（写像）たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題によって。
\(f ((1, 1)) = 1 g 1 = g\)。
ステップ2:
\(f\)はコンティニュアス（連続）であるから、\((1, 1)\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{(1, 1)} \subseteq G \times G\)、つまり、\(f (U_{(1, 1)}) \subseteq N_g\)、がある。
プロダクトトポロジーの定義によって、\(1\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_1 \subseteq G\)、つまり、\(U_1 \times U_1 \subseteq U_{(1, 1)}\)、がある: \(1\)の以下を満たすなんらかのオープンネイバーフッド（開近傍）たち\({U_1}', {U_1}'' \subseteq G\)、つまり、\({U_1}' \times {U_1}'' \subseteq U_{(1, 1)}\)、があるところ、\(U_1 := {U_1}' \cap {U_1}''\)と取ることができる。
ステップ3:
\(1\)の以下を満たすあるシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）\(N_1 \subseteq G\)、つまり、\(N_1 \subseteq U_1\)、がある、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、\(1\)の全てのシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）たちのセット（集合）は\(1\)におけるネイバーフッド（近傍）ベーシス（基底）であるという命題によって。
\(N_1 \times N_1 \subseteq U_{(1, 1)}\)であるから、\(f (N_1 \times N_1) \subseteq f (U_{(1, 1)}) \subseteq N_g\)。
\(f (N_1 \times N_1) = N_1 g N_1\)であることを見よう。
各\(g' \in f (N_1 \times N_1)\)に対して、\(g' = g_1 g g_2\)、ここで、\(g_1, g_2 \in N_1\)、したがって、\(g' \in N_1 g N_1\); 各\(g' \in N_1 g N_1\)に対して、\(g' = g_1 g g_2\)、ここで、\(g_1, g_2 \in N_1\)、しかし、\(g_1 g g_2 = f (g_1, g_2)\)、したがって、\(g' \in f (N_1 \times N_1)\)。
しかし、\(N_1\)はシンメトリック（対称）であるから、\(N_1 g N_1 = N_1 g {N_1}^{-1}\)。
したがって、\(N_1 g {N_1}^{-1} = f (N_1 \times N_1) \subseteq N_g\)。
