トポロジカルグループ（群）に対して、\(1\)におけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）はこれらのプロパティたちを満たす、そして、ポイントに\(1\)におけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）を掛けたものはポイントにおけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルグループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルグループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）上のポイントにおけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）の定義を知っている。
- 読者は、グループ（群）のサブセット（部分集合）のインバース（逆）の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）およびその任意のポイントに対して、当該ポイントのファイナイト（有限）個の任意のネイバーフッド（近傍）たちのインターセクション（共通集合）は当該ポイントのネイバーフッド（近傍）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））、任意の要素、当該要素の任意のネイバーフッド（近傍）に対して、\(1\)のあるシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）で当該要素に\(1\)の当該ネイバーフッド（近傍）を左から掛けて\(1\)の当該ネイバーフッド（近傍）のインバース（逆）を右から掛けたものが当該要素の当該ネイバーフッド（近傍）に包含されているものがあるという命題を認めている。
- 読者は、任意のグループ（群）に対して、任意のサブセット（部分集合）のインバース（逆）はインバース（逆）マップ（写像）の下で当該サブセット（部分集合）のイメージ（像）であり、当該サブセット（部分集合）のダブルインバース（逆）は当該サブセット（部分集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、インバージョン（逆）マップ（写像）、要素による左または右からのマルチプリケーション（乗法）マップ（写像）、要素によるコンジュゲーション（共役）マップ（写像）たちはホメオモーフィズム（位相同形写像）たちであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルグループ（群）に対して、\(1\)における任意のネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）はこれらのプロパティたちを満たす、そして、各ポイントに\(1\)における当該ネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）を掛けたものは当該ポイントにおけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルグループ（群）たち }\}\)
\(B_1\): \(\in \{1 \text{ における } G \text{ 上の全てのネイバーフッド（近傍）ベーシス（基底）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
1) \(\forall g \in G \text{ で以下を満たすもの、つまり、 } g \neq 1 \text{ 、 } (\exists N_1 \in B_1 (g \notin N_1))\)
\(\land\)
2) \(\forall N_1, N'_1 \in B_1 (\exists N''_1 \in B_1 (N''_1 \subseteq N_1 \cap N'_1))\)
\(\land\)
3) \(\forall N_1 \in B_1 (\exists N'_1 \in B_1 ({N'_1}^{-1} N'_1 \subseteq N_1))\)
\(\land\)
4) \(\forall N_1 \in B_1, \forall g \in G (\exists N'_1 \in B_1 (N'_1 \subseteq g N_1 g^{-1}))\)
\(\land\)
5) \(\forall N_1 \in B_1, \forall n \in N_1 \text{ で以下を満たすもの、つまり、 } \exists U_n \in \{n \text{ の全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\} (n \in U_n \subseteq N_1) (\exists N'_1 \in B_1 (N'_1 n \subseteq N_1))\)
\(\land\)
\(\forall g \in G (g B_1 \in \{g \text{ における } G \text{ 上の全てのネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）たち }\})\)
\(\land\)
\(\forall g \in G (B_1 g \in \{g \text{ における } G \text{ 上の全てのネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）たち }\})\)
//
\(g B_1\)は、\(\{g S_1 \vert S_1 \in B_1\}\)を意味する; \(B_1 g\)は、\(\{S_1 g \vert S_1 \in B_1\}\)を意味する。
2: 証明
全体戦略: ハウスドルフ性およびオペレーションたちのコンティニュアス（連続）性を使用する; ステップ1: 1)が成立することを見る; ステップ2: 2)が成立することを見る; ステップ3: 3)が成立することを見る; ステップ4: 4)が成立することを見る; ステップ5: 5)が成立することを見る; ステップ6 \(g B_1\)は\(g\)におけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）であることを見る; ステップ7: \(B_1 g\)は\(g\)におけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）であることを見る。
ステップ1:
1)が成立することを見よう。
\(G\)はハウスドルフであるから、以下を満たす、\(1\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_1 \subseteq G\)および\(g\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_g \subseteq G\)、つまり、\(U_1 \cap U_g = \emptyset\)、がある。
以下を満たすある\(N_1 \in B_1\)、つまり、\(N_1 \subseteq U_1\)、がある、トポロジカルスペース（空間）上のポイントにおけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）の定義によって。
\(N_1 \cap U_g = \emptyset\), so, \(g \notin N_1\)。
ステップ2:
2)が成立することを見よう。
\(N_1 \cap N'_1\)は\(1\)のネイバーフッド（近傍）である、任意のトポロジカルスペース（空間）およびその任意のポイントに対して、当該ポイントのファイナイト（有限）個の任意のネイバーフッド（近傍）たちのインターセクション（共通集合）は当該ポイントのネイバーフッド（近傍）であるという命題によって。
したがって、以下を満たすある\(N''_1 \in B_1\)、つまり、\(N''_1 \subseteq N_1 \cap N'_1\)、がある、トポロジカルスペース（空間）上のポイントにおけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）の定義によって。
ステップ3:
3)が成立することを見よう。
\(1\)の以下を満たすある（シンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍））\(N''_1 \subseteq G\)、つまり、\({N''_1}^{-1} 1 N''_1 \subseteq N_1\)、がある、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））、任意の要素、当該要素の任意のネイバーフッド（近傍）に対して、\(1\)のあるシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）で当該要素に\(1\)の当該ネイバーフッド（近傍）を左から掛けて\(1\)の当該ネイバーフッド（近傍）のインバース（逆）を右から掛けたものが当該要素の当該ネイバーフッド（近傍）に包含されているものがあるという命題によって: 当該命題内の\(g\)は\(1\)であるように取られ、\({N''_1}^{-1} 1 N''_1 = N''_1 1 {N''_1}^{-1}\)、なぜなら、\(N''_1\)はシンメトリック（対称）である。
しかし、\({N''_1}^{-1} 1 N''_1 = {N''_1}^{-1} N''_1\)。
以下を満たすある\(N'_1 \in B_1\)、つまり、\(N'_1 \subseteq N''_1\)、がある、トポロジカルスペース（空間）上のポイントにおけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）の定義によって。
\({N'_1}^{-1} \subseteq {N''_1}^{-1}\)、任意のグループ（群）に対して、任意のサブセット（部分集合）のインバース（逆）はインバース（逆）マップ（写像）の下で当該サブセット（部分集合）のイメージ（像）であり、当該サブセット（部分集合）のダブルインバース（逆）は当該サブセット（部分集合）であるという命題によって。
したがって、\({N'_1}^{-1} N'_1 \subseteq {N''_1}^{-1} N''_1\)。
したがって、\({N'_1}^{-1} N'_1 \subseteq N_1\)。
ステップ4:
4)が成立することを見よう。
\(g\)によるコンジュゲーション（共役）マップ（写像）\(f: G \to G, g' \mapsto g g' g^{-1}\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、インバージョン（逆）マップ（写像）、要素による左または右からのマルチプリケーション（乗法）マップ（写像）、要素によるコンジュゲーション（共役）マップ（写像）たちはホメオモーフィズム（位相同形写像）たちであるという命題によって。
\(1 \in g N_1 g^{-1}\)、なぜなら、\(1 \in N_1\)および\(g 1 g^{-1} = 1\)。
したがって、\(g N_1 g^{-1}\)は\(1\)のネイバーフッド（近傍）である: \(N_1\)は\(1\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_1\)を包含するところ、\(g N_1 g^{-1} = f (N_1)\)は\(f (U_1)\)を包含する、それは\(1\)のオープンネイバーフッド（開近傍）である: \(f (1) = 1\)。
したがって、以下を満たすある\(N'_1 \in B_1\)、つまり、\(N'_1 \subseteq g N_1 g^{-1}\)、がある、トポロジカルスペース（空間）上のポイントにおけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）の定義によって。
ステップ5:
5)が成立することを見よう。
\(n^{-1}\)による要素を右から掛けるマップ（写像）\(f: G \to G, g' \mapsto g' n^{-1}\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、インバージョン（逆）マップ（写像）、要素による左または右からのマルチプリケーション（乗法）マップ（写像）、要素によるコンジュゲーション（共役）マップ（写像）たちはホメオモーフィズム（位相同形写像）たちであるという命題によって。
\(1 \in U_n n^{-1} \subseteq N_1 n^{-1}\)、なぜなら、\(n \in U_n\)および\(n n^{-1} = 1\)。
したがって、\(N_1 n^{-1}\)は\(1\)のネイバーフッド（近傍）である: \(N_1 n^{-1} = f (N_1)\)は\(U_n n^{-1} = f (U_n)\)包含している、ここで、後者は\(1\)のオープンネイバーフッド（開近傍）である。
したがって、以下を満たすある\(N'_1 \in B_1\)、つまり、\(N'_1 \subseteq N_1 n^{-1}\)、がある、トポロジカルスペース（空間）上のポイントにおけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）の定義によって。
したがって、\(N'_1 n \subseteq N_1 n^{-1} n = N_1\)。
ステップ6:
\(g \in G\)を任意のものとしよう。
\(N_g \subseteq G\)を\(g\)の任意のネイバーフッド（近傍）としよう。
\(g^{-1} N_g\)は\(1\)のネイバーフッド（近傍）である、なぜなら、\(g^{-1}\)を左から掛けるマップ（写像）はホメオモーフィズム（位相同形写像）である、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、インバージョン（逆）マップ（写像）、要素による左または右からのマルチプリケーション（乗法）マップ（写像）、要素によるコンジュゲーション（共役）マップ（写像）たちはホメオモーフィズム（位相同形写像）たちであるという命題によって、ところ、\(g\)のオープンネイバーフッド（開近傍）で\(N_g\)内に包含されているものは\(g^{-1} N_g\)の中へマップされる、\(1\)のオープンネイバーフッド（開近傍）として。
したがって、以下を満たすある\(S_1 \in B_1\)、つまり、\(1 \in S_1 \subseteq g^{-1} N_g\)、がある。
したがって、\(g \in g S_1 \subseteq g g^{-1} N_g = N_g\)、その一方で、\(g S_1\)は\(g\)のネイバーフッド（近傍）である、なぜなら、\(g\)を左から掛けるマップ（写像）はホメオモーフィズム（位相同形写像）である、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、インバージョン（逆）マップ（写像）、要素による左または右からのマルチプリケーション（乗法）マップ（写像）、要素によるコンジュゲーション（共役）マップ（写像）たちはホメオモーフィズム（位相同形写像）たちであるという命題によって、ところ、\(1\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）で\(S_1\)内に包含されているものは\(g S_1\)の中へマップされる、\(g\)のオープンネイバーフッド（開近傍）として。
ステップ7:
\(g \in G\)を任意のものとしよう。
\(N_g \subseteq G\)を\(g\)の任意のネイバーフッド（近傍）としよう。
\(N_g g^{-1}\)は\(1\)のネイバーフッド（近傍）である、なぜなら、\(g^{-1}\)を右から掛けるマップ（写像）はホメオモーフィズム（位相同形写像）である、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、インバージョン（逆）マップ（写像）、要素による左または右からのマルチプリケーション（乗法）マップ（写像）、要素によるコンジュゲーション（共役）マップ（写像）たちはホメオモーフィズム（位相同形写像）たちであるという命題によって、ところ、\(g\)のオープンネイバーフッド（開近傍）で\(N_g\)内に包含されているものは\(N_g g^{-1}\)の中へマップされる、\(1\)のオープンネイバーフッド（開近傍）として。
したがって、以下を満たすある\(S_1 \in B_1\)、つまり、\(1 \in S_1 \subseteq N_g g^{-1}\)、がある。
したがって、\(g \in S_1 g \subseteq N_g g^{-1} g = N_g\)、その一方で、\(S_1 g\)は\(g\)のネイバーフッド（近傍）である、なぜなら、\(g\)を右から掛けるマップ（写像）はホメオモーフィズム（位相同形写像）である、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、インバージョン（逆）マップ（写像）、要素による左または右からのマルチプリケーション（乗法）マップ（写像）、要素によるコンジュゲーション（共役）マップ（写像）たちはホメオモーフィズム（位相同形写像）たちであるという命題によって、ところ、\(1\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）で\(S_1\)内に包含されているものは\(S_1 g\)の中へマップされる、\(g\)のオープンネイバーフッド（開近傍）として。
