2025年7月6日日曜日

1198: トポロジカルグループ(群)に対して、\(1\)におけるネイバーフッド(近傍)たちベーシス(基底)はこれらのプロパティたちを満たす、そして、ポイントに\(1\)におけるネイバーフッド(近傍)たちベーシス(基底)を掛けたものはポイントにおけるネイバーフッド(近傍)たちベーシス(基底)である

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トポロジカルグループ(群)に対して、\(1\)におけるネイバーフッド(近傍)たちベーシス(基底)はこれらのプロパティたちを満たす、そして、ポイントに\(1\)におけるネイバーフッド(近傍)たちベーシス(基底)を掛けたものはポイントにおけるネイバーフッド(近傍)たちベーシス(基底)であることの記述/証明

話題


About: トポロジカルグループ(群)

この記事の目次


開始コンテキスト



ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のトポロジカルグループ(群)に対して、\(1\)における任意のネイバーフッド(近傍)たちベーシス(基底)はこれらのプロパティたちを満たす、そして、各ポイントに\(1\)における当該ネイバーフッド(近傍)たちベーシス(基底)を掛けたものは当該ポイントにおけるネイバーフッド(近傍)たちベーシス(基底)であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。


本体


1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある

エンティティ(実体)たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルグループ(群)たち }\}\)
\(B_1\): \(\in \{1 \text{ における } G \text{ 上の全てのネイバーフッド(近傍)ベーシス(基底)たち }\}\)
//

ステートメント(言明)たち:
1) \(\forall g \in G \text{ で以下を満たすもの、つまり、 } g \neq 1 \text{ 、 } (\exists N_1 \in B_1 (g \notin N_1))\)
\(\land\)
2) \(\forall N_1, N'_1 \in B_1 (\exists N''_1 \in B_1 (N''_1 \subseteq N_1 \cap N'_1))\)
\(\land\)
3) \(\forall N_1 \in B_1 (\exists N'_1 \in B_1 ({N'_1}^{-1} N'_1 \subseteq N_1))\)
\(\land\)
4) \(\forall N_1 \in B_1, \forall g \in G (\exists N'_1 \in B_1 (N'_1 \subseteq g N_1 g^{-1}))\)
\(\land\)
5) \(\forall N_1 \in B_1, \forall n \in N_1 \text{ で以下を満たすもの、つまり、 } \exists U_n \in \{n \text{ の全てのオープンネイバーフッド(開近傍)たち }\} (n \in U_n \subseteq N_1) (\exists N'_1 \in B_1 (N'_1 n \subseteq N_1))\)
\(\land\)
\(\forall g \in G (g B_1 \in \{g \text{ における } G \text{ 上の全てのネイバーフッド(近傍)たちベーシス(基底)たち }\})\)
\(\land\)
\(\forall g \in G (B_1 g \in \{g \text{ における } G \text{ 上の全てのネイバーフッド(近傍)たちベーシス(基底)たち }\})\)
//

\(g B_1\)は、\(\{g S_1 \vert S_1 \in B_1\}\)を意味する; \(B_1 g\)は、\(\{S_1 g \vert S_1 \in B_1\}\)を意味する。


2: 証明


全体戦略: ハウスドルフ性およびオペレーションたちのコンティニュアス(連続)性を使用する; ステップ1: 1)が成立することを見る; ステップ2: 2)が成立することを見る; ステップ3: 3)が成立することを見る; ステップ4: 4)が成立することを見る; ステップ5: 5)が成立することを見る; ステップ6 \(g B_1\)は\(g\)におけるネイバーフッド(近傍)たちベーシス(基底)であることを見る; ステップ7: \(B_1 g\)は\(g\)におけるネイバーフッド(近傍)たちベーシス(基底)であることを見る。

ステップ1:

1)が成立することを見よう。

\(G\)はハウスドルフであるから、以下を満たす、\(1\)のあるオープンネイバーフッド(開近傍)\(U_1 \subseteq G\)および\(g\)のあるオープンネイバーフッド(開近傍)\(U_g \subseteq G\)、つまり、\(U_1 \cap U_g = \emptyset\)、がある。

以下を満たすある\(N_1 \in B_1\)、つまり、\(N_1 \subseteq U_1\)、がある、トポロジカルスペース(空間)上のポイントにおけるネイバーフッド(近傍)たちベーシス(基底)の定義によって。

\(N_1 \cap U_g = \emptyset\), so, \(g \notin N_1\)。

ステップ2:

2)が成立することを見よう。

\(N_1 \cap N'_1\)は\(1\)のネイバーフッド(近傍)である、任意のトポロジカルスペース(空間)およびその任意のポイントに対して、当該ポイントのファイナイト(有限)個の任意のネイバーフッド(近傍)たちのインターセクション(共通集合)は当該ポイントのネイバーフッド(近傍)であるという命題によって。

したがって、以下を満たすある\(N''_1 \in B_1\)、つまり、\(N''_1 \subseteq N_1 \cap N'_1\)、がある、トポロジカルスペース(空間)上のポイントにおけるネイバーフッド(近傍)たちベーシス(基底)の定義によって。

ステップ3:

3)が成立することを見よう。

\(1\)の以下を満たすある(シンメトリック(対称)ネイバーフッド(近傍))\(N''_1 \subseteq G\)、つまり、\({N''_1}^{-1} 1 N''_1 \subseteq N_1\)、がある、任意のグループ(群)で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス(連続)オペレーションたちを持つもの(特に、トポロジカルグループ(群))、任意の要素、当該要素の任意のネイバーフッド(近傍)に対して、\(1\)のあるシンメトリック(対称)ネイバーフッド(近傍)で当該要素に\(1\)の当該ネイバーフッド(近傍)を左から掛けて\(1\)の当該ネイバーフッド(近傍)のインバース(逆)を右から掛けたものが当該要素の当該ネイバーフッド(近傍)に包含されているものがあるという命題によって: 当該命題内の\(g\)は\(1\)であるように取られ、\({N''_1}^{-1} 1 N''_1 = N''_1 1 {N''_1}^{-1}\)、なぜなら、\(N''_1\)はシンメトリック(対称)である。

しかし、\({N''_1}^{-1} 1 N''_1 = {N''_1}^{-1} N''_1\)。

以下を満たすある\(N'_1 \in B_1\)、つまり、\(N'_1 \subseteq N''_1\)、がある、トポロジカルスペース(空間)上のポイントにおけるネイバーフッド(近傍)たちベーシス(基底)の定義によって。

\({N'_1}^{-1} \subseteq {N''_1}^{-1}\)、任意のグループ(群)に対して、任意のサブセット(部分集合)のインバース(逆)はインバース(逆)マップ(写像)の下で当該サブセット(部分集合)のイメージ(像)であり、当該サブセット(部分集合)のダブルインバース(逆)は当該サブセット(部分集合)であるという命題によって。

したがって、\({N'_1}^{-1} N'_1 \subseteq {N''_1}^{-1} N''_1\)。

したがって、\({N'_1}^{-1} N'_1 \subseteq N_1\)。

ステップ4:

4)が成立することを見よう。

\(g\)によるコンジュゲーション(共役)マップ(写像)\(f: G \to G, g' \mapsto g g' g^{-1}\)はホメオモーフィズム(位相同形写像)である、任意のグループ(群)で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス(連続)オペレーションたちを持つもの(特に、トポロジカルグループ(群))に対して、インバージョン(逆)マップ(写像)、要素による左または右からのマルチプリケーション(乗法)マップ(写像)、要素によるコンジュゲーション(共役)マップ(写像)たちはホメオモーフィズム(位相同形写像)たちであるという命題によって。

\(1 \in g N_1 g^{-1}\)、なぜなら、\(1 \in N_1\)および\(g 1 g^{-1} = 1\)。

したがって、\(g N_1 g^{-1}\)は\(1\)のネイバーフッド(近傍)である: \(N_1\)は\(1\)のあるオープンネイバーフッド(開近傍)\(U_1\)を包含するところ、\(g N_1 g^{-1} = f (N_1)\)は\(f (U_1)\)を包含する、それは\(1\)のオープンネイバーフッド(開近傍)である: \(f (1) = 1\)。

したがって、以下を満たすある\(N'_1 \in B_1\)、つまり、\(N'_1 \subseteq g N_1 g^{-1}\)、がある、トポロジカルスペース(空間)上のポイントにおけるネイバーフッド(近傍)たちベーシス(基底)の定義によって。

ステップ5:

5)が成立することを見よう。

\(n^{-1}\)による要素を右から掛けるマップ(写像)\(f: G \to G, g' \mapsto g' n^{-1}\)はホメオモーフィズム(位相同形写像)である、任意のグループ(群)で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス(連続)オペレーションたちを持つもの(特に、トポロジカルグループ(群))に対して、インバージョン(逆)マップ(写像)、要素による左または右からのマルチプリケーション(乗法)マップ(写像)、要素によるコンジュゲーション(共役)マップ(写像)たちはホメオモーフィズム(位相同形写像)たちであるという命題によって。

\(1 \in U_n n^{-1} \subseteq N_1 n^{-1}\)、なぜなら、\(n \in U_n\)および\(n n^{-1} = 1\)。

したがって、\(N_1 n^{-1}\)は\(1\)のネイバーフッド(近傍)である: \(N_1 n^{-1} = f (N_1)\)は\(U_n n^{-1} = f (U_n)\)包含している、ここで、後者は\(1\)のオープンネイバーフッド(開近傍)である。

したがって、以下を満たすある\(N'_1 \in B_1\)、つまり、\(N'_1 \subseteq N_1 n^{-1}\)、がある、トポロジカルスペース(空間)上のポイントにおけるネイバーフッド(近傍)たちベーシス(基底)の定義によって。

したがって、\(N'_1 n \subseteq N_1 n^{-1} n = N_1\)。

ステップ6:

\(g \in G\)を任意のものとしよう。

\(N_g \subseteq G\)を\(g\)の任意のネイバーフッド(近傍)としよう。

\(g^{-1} N_g\)は\(1\)のネイバーフッド(近傍)である、なぜなら、\(g^{-1}\)を左から掛けるマップ(写像)はホメオモーフィズム(位相同形写像)である、任意のグループ(群)で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス(連続)オペレーションたちを持つもの(特に、トポロジカルグループ(群))に対して、インバージョン(逆)マップ(写像)、要素による左または右からのマルチプリケーション(乗法)マップ(写像)、要素によるコンジュゲーション(共役)マップ(写像)たちはホメオモーフィズム(位相同形写像)たちであるという命題によって、ところ、\(g\)のオープンネイバーフッド(開近傍)で\(N_g\)内に包含されているものは\(g^{-1} N_g\)の中へマップされる、\(1\)のオープンネイバーフッド(開近傍)として。

したがって、以下を満たすある\(S_1 \in B_1\)、つまり、\(1 \in S_1 \subseteq g^{-1} N_g\)、がある。

したがって、\(g \in g S_1 \subseteq g g^{-1} N_g = N_g\)、その一方で、\(g S_1\)は\(g\)のネイバーフッド(近傍)である、なぜなら、\(g\)を左から掛けるマップ(写像)はホメオモーフィズム(位相同形写像)である、任意のグループ(群)で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス(連続)オペレーションたちを持つもの(特に、トポロジカルグループ(群))に対して、インバージョン(逆)マップ(写像)、要素による左または右からのマルチプリケーション(乗法)マップ(写像)、要素によるコンジュゲーション(共役)マップ(写像)たちはホメオモーフィズム(位相同形写像)たちであるという命題によって、ところ、\(1\)のあるオープンネイバーフッド(開近傍)で\(S_1\)内に包含されているものは\(g S_1\)の中へマップされる、\(g\)のオープンネイバーフッド(開近傍)として。

ステップ7:

\(g \in G\)を任意のものとしよう。

\(N_g \subseteq G\)を\(g\)の任意のネイバーフッド(近傍)としよう。

\(N_g g^{-1}\)は\(1\)のネイバーフッド(近傍)である、なぜなら、\(g^{-1}\)を右から掛けるマップ(写像)はホメオモーフィズム(位相同形写像)である、任意のグループ(群)で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス(連続)オペレーションたちを持つもの(特に、トポロジカルグループ(群))に対して、インバージョン(逆)マップ(写像)、要素による左または右からのマルチプリケーション(乗法)マップ(写像)、要素によるコンジュゲーション(共役)マップ(写像)たちはホメオモーフィズム(位相同形写像)たちであるという命題によって、ところ、\(g\)のオープンネイバーフッド(開近傍)で\(N_g\)内に包含されているものは\(N_g g^{-1}\)の中へマップされる、\(1\)のオープンネイバーフッド(開近傍)として。

したがって、以下を満たすある\(S_1 \in B_1\)、つまり、\(1 \in S_1 \subseteq N_g g^{-1}\)、がある。

したがって、\(g \in S_1 g \subseteq N_g g^{-1} g = N_g\)、その一方で、\(S_1 g\)は\(g\)のネイバーフッド(近傍)である、なぜなら、\(g\)を右から掛けるマップ(写像)はホメオモーフィズム(位相同形写像)である、任意のグループ(群)で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス(連続)オペレーションたちを持つもの(特に、トポロジカルグループ(群))に対して、インバージョン(逆)マップ(写像)、要素による左または右からのマルチプリケーション(乗法)マップ(写像)、要素によるコンジュゲーション(共役)マップ(写像)たちはホメオモーフィズム(位相同形写像)たちであるという命題によって、ところ、\(1\)のあるオープンネイバーフッド(開近傍)で\(S_1\)内に包含されているものは\(S_1 g\)の中へマップされる、\(g\)のオープンネイバーフッド(開近傍)として。


参考資料


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