トポロジカルグループ（群）に対して、クローズドサブセット（閉部分集合）は、サブセット（部分集合）に\(1\)におけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）の要素たちを掛けたものたちのインターセクション（共通集合）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルグループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルグループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）上のポイントにおけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のクローズドサブセット（閉部分集合）の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルグループ（群）に対して、\(1\)における任意のネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）はこれらのプロパティたちを満たす、そして、各ポイントに\(1\)における当該ネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）を掛けたものは当該ポイントにおけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、\(1\)の全てのシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）たちのセット（集合）は\(1\)におけるネイバーフッド（近傍）ベーシス（基底）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルグループ（群）に対して、任意のクローズドサブセット（閉部分集合）は、当該サブセット（部分集合）に\(1\)における任意のネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）の全ての要素たちを掛けたものたちのインターセクション（共通集合）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルグループ（群）たち }\}\)
\(B_1\): \(\in \{1 \text{ における } G \text{ 上の全てのネイバーフッド（近傍）ベーシス（基底）たち }\}\)
\(C\): \(\in \{G \text{ の全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(C = \cap_{S_1 \in B_1} S_1 C = \cap_{S_1 \in B_1} C S_1\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(C \subseteq \cap_{S_1 \in B_1} S_1 C\)であることを見る; ステップ2: \(\cap_{S_1 \in B_1} S_1 C \subseteq C\)であることを見る、各\(g \in \cap_{S_1 \in B_1} S_1 C\)に対して、\(g \in C\)または\(g\)は\(C\)のアキュームレーション（集積）ポイントであることを見ることによって; ステップ3: \(C \subseteq \cap_{S_1 \in B_1} C S_1\)であることを見る; ステップ4: \(\cap_{S_1 \in B_1} C S_1 \subseteq C\)であることを見る、各\(g \in \cap_{S_1 \in B_1} C S_1\)に対して、\(g \in C\)または\(g\)は\(C\)のアキュームレーション（集積）ポイントであることを見ることによって。
ステップ1:
\(C \subseteq \cap_{S_1 \in B_1} S_1 C\)であることを見よう。
各\(c \in C\)に対して、各\(S_1 \in B_1\)に対して、\(c \in S_1 C\)、なぜなら、\(1 \in S_1\)、したがって、\(c \in \cap_{S_1 \in B_1} S_1 C\)。
ステップ2:
\(\cap_{S_1 \in B_1} S_1 C \subseteq C\)であることを見よう。
\(g \in \cap_{S_1 \in B_1} S_1 C\)を任意のものとしよう。
\(N_g \subseteq G\)を\(g\)の任意のネイバーフッド（近傍）としよう。
\(g B_1\)は\(g\)におけるネイバーフッド（近傍）ベーシス（基底）である、任意のトポロジカルグループ（群）に対して、\(1\)における任意のネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）はこれらのプロパティたちを満たす、そして、各ポイントに\(1\)における当該ネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）を掛けたものは当該ポイントにおけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）であるという命題によって、ので以下を満たすある\(S_1 \in B_1\)、つまり、\(g S_1 \subseteq N_g\)、がある。
以下を満たすある\(S'_1 \in B_1\)、つまり、\(S'_1 \subseteq g S_1 g^{-1}\)、がある、任意のトポロジカルグループ（群）に対して、\(1\)における任意のネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）はこれらのプロパティたちを満たす、そして、各ポイントに\(1\)における当該ネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）を掛けたものは当該ポイントにおけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）であるという命題内の4)によって。
\(1\)の以下を満たすあるシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）\(S''_1 \subseteq G\)、つまり、\(S''_1 \subseteq S'_1\)、がある、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、\(1\)の全てのシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）たちのセット（集合）は\(1\)におけるネイバーフッド（近傍）ベーシス（基底）であるという命題によって。
したがって、\(S''_1 \subseteq g S_1 g^{-1}\)、したがって、\(S''_1 g \subseteq g S_1 g^{-1} g = g S_1\)。
以下を満たすある\(S'''_1 \in B_1\)、つまり、\(S'''_1 \subseteq S''_1\)、がある。
\(g \in S'''_1 C \subseteq S''_1 C\)、なぜなら、\(g \in \cap_{S_1 \in B_1} S_1 C\)。
それが意味するのは、\(g = s c\)、ここで、\(s \in S''_1\)および\(c \in C\)。
\(S''_1 g \subseteq g S_1\)であるので、\(S''_1 s c \subseteq g S_1\)、しかし、\(S''_1\)はシンメトリック（対称）であるので、\(s^{-1} \in S''_1\)、したがって、\(c = s^{-1} s c \in g S_1 \subseteq N_g\)、それが意味するのは、\(g \in C\)または\(g\)は\(C\)のアキュームレーション（集積）ポイントであること、それが意味するのは、\(g\)は\(C\)のクロージャー（閉包）内にあるということ、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題によって、したがって、\(g \in \overline{C}\)。
しかし、\(C\)はクローズド（閉）であるから、\(\overline{C} = C\)、したがって、\(g \in \overline{C} = C\)。
ステップ3:
\(C \subseteq \cap_{S_1 \in B_1} C S_1\)であることを見よう。
予期されるとおり、ロジックはステップ1に平行的である。
各\(c \in C\)に対して、各\(S_1 \in B_1\)に対して、\(c \in C S_1\)、なぜなら、\(1 \in S_1\)、したがって、\(c \in \cap_{S_1 \in B_1} C S_1\)。
ステップ4:
\(\cap_{S_1 \in B_1} C S_1 \subseteq C\)であることを見よう。
予期されるとおり、ロジックはステップ2に平行的である、実のところ、こちらの方がよりシンプルである: \(S'_1\)は必要でない、それは、\(S_1 C\)という順序に対処するために導入されたものである。
\(g \in \cap_{S_1 \in B_1} C S_1\)を任意のものとしよう。
\(N_g \subseteq G\)を\(g\)の任意のネイバーフッド（近傍）としよう。
\(g B_1\)は\(g\)におけるネイバーフッド（近傍）である、任意のトポロジカルグループ（群）に対して、\(1\)における任意のネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）はこれらのプロパティたちを満たす、そして、各ポイントに\(1\)における当該ネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）を掛けたものは当該ポイントにおけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）であるという命題によって、ので、以下を満たすある\(S_1 \in B_1\)、つまり、\(g S_1 \subseteq N_g\)、がある。
\(1\)の以下を満たすあるシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）\(S''_1 \subseteq G\)、つまり、\(S''_1 \subseteq S_1\)、がある、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、\(1\)の全てのシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）たちのセット（集合）は\(1\)におけるネイバーフッド（近傍）ベーシス（基底）であるという命題によって。
以下を満たすある\(S'''_1 \in B_1\)、つまり、\(S'''_1 \subseteq S''_1\)、がある。
\(g \in C S'''_1 \subseteq C S''_1\)、なぜなら、\(g \in \cap_{S_1 \in B_1} C S_1\)。
それが意味するのは、\(g = c s\)、ここで、\(s \in S''_1\)および\(c \in C\)。
\(S''_1 \subseteq S_1\)であるので、\(g S''_1 = c s S''_1 \subseteq g S_1\)、しかし、\(S''_1\)はシンメトリック（対称）であるので、\(s^{-1} \in S''_1\)、したがって、\(c = c s s^{-1} \in g S_1 \subseteq N_g\)、それが意味するのは、\(g \in C\)または\(g\)は\(C\)のアキュームレーション（集積）ポイントである、それが意味するのは、\(g\)は\(C\)のクロージャー（閉包）内にあるということ、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題によって、したがって、\(g \in \overline{C}\)。
しかし、\(C\)はクローズド（閉）であるから、\(\overline{C} = C\)、したがって、\(g \in \overline{C} = C\)。
