グループ（群）に対して、サブセット（部分集合）たちのこのセット（集合）は、トポロジカルベーシス（基底）を構成してトポロジカルグループ（群）を構成し、これをポイントにおけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）として持つことの記述/証明
話題
About: トポロジカルグループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルグループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）上のポイントにおけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）の定義を知っている。
- 読者は、グループ（群）のサブセット（部分集合）のインバース（逆）の定義を知っている。
- 読者は、セット（集合）のユニオン（和集合）の定義を知っている。
- 読者は、オープンセット（開集合）たちの任意のコレクションがベーシス（基底）であることのいくつかの基準たちを認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）の任意のベーシス（基底）はトポロジーを決定するという命題を認めている。
- 読者は、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、\(1\)の任意のネイバーフッド（近傍）、任意のポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）に対して、\(1\)のあるシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）でその当該ナチュラルナンバー（自然数）乗が当該ネイバーフッド（近傍）内に包含されているものがあるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）に対して、サブセット（部分集合）たちのこのセット（集合）は、あるトポロジカルベーシス（基底）を構成してあるトポロジカルグループ（群）を構成し、これをポイントにおけるあるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）として持つという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(B_1\): \(\subseteq Pow (G)\)で、下に指定されたプロパティたちを持つもの
\(B\): \(= \cup_{g \in G} g B_1\)
\(B'\): \(= \cup_{g \in G} B_1 g\)
//
ステートメント（言明）たち:
(
0) \(B_1 \neq \emptyset \land \forall S_1 \in B_1 (1 \in S_1)\)
\(\land\)
1) \(\forall g \in G \text{ で以下を満たすもの、つまり、 } g \neq 1 (\exists S_1 \in B_1 (g \notin S_1))\)
\(\land\)
2) \(\forall S_1, S'_1 \in B_1 (\exists S''_1 \in B_1 (S''_1 \subseteq S_1 \cap S'_1))\)
\(\land\)
3) \(\forall S_1 \in B_1 (\exists S'_1 \in B_1 ({S'_1}^{-1} S'_1 \subseteq S_1))\)
\(\land\)
4) \(\forall S_1 \in B_1, \forall g \in G (\exists S'_1 \in B_1 (S'_1 \subseteq g S_1 g^{-1}))\)
\(\land\)
5) \(\forall S_1 \in B_1, \forall s \in S_1 (\exists S'_1 \in B_1 (S'_1 s \subseteq S_1))\)
)
\(\implies\)
(
(
\(B \in \{G \text{ に対する全てのトポロジカルベーシス（基底）たち }\}\)
\(\land\)
\(G \in \{\text{ 全てのトポロジカルグループ（群）たちで } B \text{ を持つもの }\}\)
\(\land\)
\(\forall g \in G (g B \in \{g \text{ における } G \text{ 上の全てのネイバーフッド（近傍）ベーシス（基底）たち }\})\)
)
\(\land\)
(
\(B' \in \{G \text{ に対する全てのトポロジカルベーシス（基底）たち }\}\)
\(\land\)
\(G \in \{\text{ 全てのトポロジカルグループ（群）たちで } B' \text{ を持つもの }\}\)
\(\land\)
\(\forall g \in G (B g \in \{g \text{ における } G \text{ 上の全てのネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）たち }\})\)
)
)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(B\)はオープンセット（開集合）たちの任意のコレクションがベーシス（基底）であることのいくつかの基準たちの1つを満たしていることを見る; ステップ2: \(g B_1\)は\(g\)におけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）であることを見る; ステップ3: \(G\)のグループ（群）オペレーションたちはコンティニュアス（連続）であることを見る; ステップ4: \(G\)はハウスドルフであることを見る; ステップ5: \(B'\)はオープンセット（開集合）たちの任意のコレクションがベーシス（基底）であることのいくつかの基準たちの1つを満たしていることを見る; ステップ6: \(B_1 g\)は\(g\)におけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）であることを見る; ステップ7: \(G\)のグループ（群）オペレーションたちはコンティニュアス（連続）であることを見る; ステップ8: \(G\)はハウスドルフであることを見る。
ステップ1:
\(B\)はオープンセット（開集合）たちの任意のコレクションがベーシス（基底）であることのいくつかの基準たちの"記述2"を満たしていることを見る。
1) \(G = \cup B\)（セット（集合）のユニオン（和集合）の定義を参照）？
\(1 \in \cup B\), because \(B_1 \subseteq B\), so, \(\cup B_1 \subseteq \cup B\), there is an \(S_1 \in B_1\) such that \(1 \in S_1\), \(S_1 \subseteq \cup B_1\), and \(1 \in S_1 \subseteq \cup B_1 \subseteq \cup B\). \(1 \in \cup B\)、なぜなら、\(B_1 \subseteq B\)、したがって、\(\cup B_1 \subseteq \cup B\)、以下を満たすある\(S_1 \in B_1\)、つまり、\(1 \in S_1\)、があり、\(S_1 \subseteq \cup B_1\)、\(1 \in S_1 \subseteq \cup B_1 \subseteq \cup B\)。
各\(g \in G\)に対して、\(g \in \cup B\)、なぜなら、\(g B_1 \subseteq B\)、したがって、\(\cup g B_1 \subseteq \cup B\)、以下を満たすある\(S_1 \in B_1\)、つまり、\(1 \in S_1\)、があるから、\(g \in g S_1 \in g B_1\)、\(g S_1 \subseteq \cup g B_1\)、\(g \in g S_1 \subseteq \cup g B_1 \subseteq \cup B\)。
したがって、1)は成立する。
2) 各セット（集合）たち\(S_j, S_l \in B\)、各ポイント\(g \in S_j \cap S_l\)に対して、以下を満たすあるセット（集合）\(S_m \in B\)、つまり、\(g \in S_m \subseteq S_j \cap S_l\)、があるか？
\(S_j \in g_j B_1\)、\(S_l \in g_l B_1\)、\(S_m \in g_m B_1\)としよう。
\(S_j = g_j S_{1, j}\)および\(S_l = g_j S_{1, l}\)、ここで、\(S_{1, j}, S_{1, l} \in B_1\)。
\(g \in g_j S_{1, j}\)であるから、\({g_j}^{-1} g \in S_{1, j}\); \({g_l}^{-1} g \in S_{1, l}\)、同様に。
5)によって、以下を満たすある\(S'_{1, j} \in B_1\)、つまり、\(S'_{1, j} {g_j}^{-1} g \subseteq S_{1, j}\)、がある; 以下を満たすある\(S'_{1, l} \in B_1\)、つまり、\(S'_{1, l} {g_l}^{-1} g \subseteq S_{1, l}\)、がある、同様に。
\(S'_{1, j} \subseteq S_{1, j} g^{-1} g_j\)および\(S'_{1, l} \subseteq S_{1, l} g^{-1} g_l\)。
4)によって、以下を満たすある\(S''_{1, j} \in B_1\)、つまり、\(S''_{1, j} \subseteq g^{-1} g_j S'_{1, j} {g_j}^{-1} g\)、がある; 以下を満たすある\(S''_{1, l} \in B_1\)、つまり、\(S''_{1, l} \subseteq g^{-1} g_l S'_{1, l} {g_l}^{-1} g\)、がある、同様に。
したがって、\(S''_{1, j} \subseteq g^{-1} g_j S_{1, j} g^{-1} g_j {g_j}^{-1} g = g^{-1} g_j S_{1, j}\)、したがって、\(g S''_{1, j} \subseteq g g^{-1} g_j S_{1, j} = g_j S_{1, j}\); \(g S''_{1, l} \subseteq g_l S_{1, l}\)、同様に。
2)によって、以下を満たすある\(S_1 \in B_1\)、つまり、\(S_1 \subseteq S''_{1, j} \cap S''_{1, l}\)、がある。
したがって、\(g S_1 \subseteq g (S''_{1, j} \cap S''_{1, l}) = (g S''_{1, j}) \cap (g S''_{1, l}) \subseteq g_j S_{1, j} \cap g_l S_{1, l} = S_j \cap S_l\)。
\(g \in g S_1\)、なぜなら、\(1 \in S_1\)。
したがって、\(g S_1 = S_m\)でよい。
したがって、\(G\)で\(B\)を持つものはトポロジカルスペース（空間）である、任意のトポロジカルスペース（空間）の任意のベーシス（基底）はトポロジーを決定するという命題によって。
ステップ2:
\(g B_1\)は\(g\)におけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）であることを見よう。
\(N_g\)を\(g\)の任意のネイバーフッド（近傍）としよう。
以下を満たすある\(g' S_1 \in B\)、つまり、\(g \in g' S_1 \subseteq N_g\)、がある: 要点は、\(g'\)は\(g\)と取られるように保証されていない、まだ、ということである。
\(g'^{-1} g \in S_1\)。したがって、以下を満たすある\(S'_1 \in B_1\)、つまり、\(S'_1 g'^{-1} g \subseteq S_1\)、がある、5)によって。
\(S'_1 g'^{-1} g = g'^{-1} g g^{-1} g' S'_1 g'^{-1} g\)。
以下を満たすある\(S''_1 \in B_1\)、つまり、\(S''_1 \subseteq g^{-1} g' S'_1 g'^{-1} g\)、がある、4)によって。したがって、\(g'^{-1} g S''_1 \subseteq g'^{-1} g g^{-1} g' S'_1 g'^{-1} g = S'_1 g'^{-1} g \subseteq S_1\)。
したがって、\(g' g'^{-1} g S''_1 \subseteq g' S_1\)、しかし、\(g' g'^{-1} g S''_1 = g S''_1\)、したがって、\(g \in g S''_1 \subseteq g' S_1 \subseteq N_g\)。
ステップ3:
\(G\)のグループ（群）オペレーションたちはコンティニュアス（連続）であることを見よう。
当該インバース（逆）マップ（写像）に対処しよう。
\(N_{g^{-1}} \subseteq G\)を\(g^{-1}\)の任意のネイバーフッド（近傍）としよう。
以下を満たすある\(g^{-1} S_1 \in B\)、つまり、\(g^{-1} \in g^{-1} S_1 \subseteq N_{g^{-1}}\)、がある。
以下を満たすある\(S'_1 \in B_1\)、つまり、\(S'_1 \subseteq g^{-1} S_1 g\)、がある、4)によって。
したがって、\(S'_1 g^{-1} \subseteq g^{-1} S_1\)。
以下を満たすある\(S''_1 \in B_1\)、つまり、\({S''_1}^{-1} S''_1 \subseteq S'_1\)、がある、3)によって。
\({S''_1}^{-1} S''_1 g^{-1} \subseteq S'_1 g^{-1}\)。
しかし、\({S''_1}^{-1} S''_1 g^{-1} = (g {S''_1}^{-1} S''_1)^{-1}\)および\(S''_1 \subseteq {S''_1}^{-1} S''_1\)、したがって、\((g S''_1)^{-1} \subseteq S'_1 g^{-1} \subseteq g^{-1} S_1 \subseteq N_{g^{-1}}\)。
当該インバース（逆）マップ（写像）はバイジェクション（全単射）でありそのインバース（逆）はそれ自身である、したがって、当該インバース（逆）マップ（写像）はホメオモーフィズム（位相同形写像）である。
マルチプリケーションマップ（乗法写像）に対処しよう。
\(N_{g_1 g_2} \subseteq G\)を\(g_1 g_2\)の任意のネイバーフッド（近傍）としよう。
以下を満たすある\(g_1 g_2 S_1 \in B\)、つまり、\(g_1 g_2 \in g_1 g_2 S_1 \subseteq N_{g_1 g_2}\)、がある。
\(g_1 g_2 S_1 = g_1 g_2 S_1 g_2^{-1} g_2\)。
以下を満たすある\(S'_1 \in B_1\)、つまり、\(S'_1 \subseteq g_2 S_1 g_2^{-1}\)、がある、 4)によって、したがって、\(g_1 S'_1 g_2 \subseteq g_1 g_2 S_1 g_2^{-1} g_2 = g_1 g_2 S_1\)。
以下を満たすある\(S''_1 \in B_1\)、つまり、\({S''_1}^{-1} S''_1 \subseteq S'_1\)、がある、3)によって、したがって、\(g_1 {S''_1}^{-1} S''_1 g_2 \subseteq g_1 S'_1 g_2 \subseteq g_1 g_2 S_1\)。
しかし、当該インバース（逆）マップ（写像）はホメオモーフィズム（位相同形写像）であるから、\({S''_1}^{-1}\)は\(1\)のオープンネイバーフッド（開近傍）である、したがって、以下を満たすある\(S'''_1 \in B_1\)、つまり、\(S'''_1 \subseteq {S''_1}^{-1}\)、がある、したがって、\(g_1 S'''_1 S''_1 g_2 \subseteq g_1 {S''_1}^{-1} S''_1 g_2\)。
\(g_1 S'''_1 S''_1 g_2 = g_1 S'''_1 g_2 g_2^{-1} S''_1 g_2\)。
以下を満たすある\(S''''_1 \in B_1\)、つまり、\(S''''_1 \subseteq g_2^{-1} S''_1 g_2\)、がある、4)によって、したがって、\(g_1 S'''_1 g_2 S''''_1 \subseteq g_1 S'''_1 S''_1 g_2\)。
したがって、\(g_1 S'''_1 g_2 S''''_1 \subseteq g_1 S'''_1 S''_1 g_2 \subseteq g_1 {S''_1}^{-1} S''_1 g_2 \subseteq g_1 g_2 S_1 \subseteq N_{g_1 g_2}\)。
ステップ4:
\(G\)はハウスドルフであることを見よう。
\(g_1, g_2 \in G\)を\(g_1 \neq g_2\)を満たす任意のものとしよう。
\({g_1}^{-1} g_2 \neq 1\)、したがって、以下を満たすある\(S_1 \in B_1\)、つまり、\({g_1}^{-1} g_2 \notin S_1\)、がある、1)によって。
\(1\)の以下を満たすあるシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）\(N_1 \subseteq G\)、つまり、\(N_1^2 \subseteq S_1\)、がある、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、\(1\)の任意のネイバーフッド（近傍）、任意のポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）に対して、\(1\)のあるシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）でその当該ナチュラルナンバー（自然数）乗が当該ネイバーフッド（近傍）内に包含されているものがあるという命題によって。
\(N_1 \cap {g_1}^{-1} g_2 N_1 = \emptyset\)であることを見よう。
\(N_1 \cap {g_1}^{-1} g_2 N_1 \neq \emptyset\)であったと仮定しよう。
ある\(n \in N_1 \cap {g_1}^{-1} g_2 N_1\)があることになる。
\(n = {g_1}^{-1} g_2 n'\)、ある\(n' \in N_1\)に対して。
\({g_1}^{-1} g_2 = n n'^{-1}\)。\(N_1\)はシンメトリック（対称）であるから、\(n'^{-1} \in N_1^{-1} = N_1\)、したがって、\({g_1}^{-1} g_2 \in N_1^2 \subseteq S_1\)、\({g_1}^{-1} g_2 \notin S_1\)に反する矛盾。
So, \(N_1 \cap {g_1}^{-1} g_2 N_1 = \emptyset\). したがって、\(N_1 \cap {g_1}^{-1} g_2 N_1 = \emptyset\)。
以下を満たすある\(S'_1 \in B_1\)、つまり、\(S'_1 \subseteq N_1\)、があり、\(S'_1 \cap {g_1}^{-1} g_2 S'_1 \subseteq N_1 \cap {g_1}^{-1} g_2 N_1 = \emptyset\)。
したがって、\(g_1 (S'_1 \cap {g_1}^{-1} g_2 S'_1) = g_1 S'_1 \cap g_2 S'_1 = \emptyset\)。
ステップ5:
\(B'\)はオープンセット（開集合）たちの任意のコレクションがベーシス（基底）であることのいくつかの基準たちの"記述2"を満たしていることを見よう。
1) \(G = \cup B\)（セット（集合）のユニオン（和集合）の定義を参照）？
\(1 \in \cup B'\)、なぜなら、\(B_1 \subseteq B'\)、したがって、\(\cup B_1 \subseteq \cup B'\)、以下を満たすある\(S_1 \in B_1\)、つまり、\(1 \in S_1\)、がある、\(S_1 \subseteq \cup B_1\)、\(1 \in S_1 \subseteq \cup B_1 \subseteq \cup B'\)。
各\(g \in G\)に対して、\(g \in \cup B'\)、なぜなら、\(B_1 g \subseteq B'\)、したがって、\(\cup B_1 g \subseteq \cup B'\)、以下を満たすある\(S_1 \in B_1\)、つまり、\(1 \in S_1\)、があるから、\(g \in S_1 g \in B_1 g\)、\(S_1 g \subseteq \cup B_1 g\)、\(g \in S_1 g \subseteq \cup B_1 g \subseteq \cup B'\)。
したがって、1)は成立する。
2) 各セット（集合）たち\(S_j, S_l \in B'\)、各ポイント\(g \in S_j \cap S_l\)に対して、以下を満たすあるセット（集合）\(S_m \in B'\)、つまり、\(g \in S_m \subseteq S_j \cap S_l\)、があるか？
\(S_j \in B_1 g_j\)、\(S_l \in B_1 g_l\)、\(S_m \in B_1 g_m\)としよう。
\(S_j = S_{1, j} g_j\)および\(S_l = S_{1, l} g_j\)、ここで、\(S_{1, j}, S_{1, l} \in B_1\)。
\(g \in S_{1, j} g_j\)であるから、\(g {g_j}^{-1} \in S_{1, j}\); \(g {g_l}^{-1} \in S_{1, l}\)、同様に。
5)によって、以下を満たすある\(S'_{1, j} \in B_1\)、つまり、\(S'_{1, j} g {g_j}^{-1} \subseteq S_{1, j}\)、がある; 以下を満たすある\(S'_{1, l} \in B_1\)、つまり、\(S'_{1, l} g {g_l}^{-1} \subseteq S_{1, l}\)、がある、同様に。
\(S'_{1, j} \subseteq S_{1, j} g_j g^{-1}\)および\(S'_{1, l} \subseteq S_{1, l} g_l g^{-1}\)。
したがって、\(S'_{1, j} g \subseteq S_{1, j} g_j g^{-1} g = S_{1, j} g_j\); \(S'_{1, l} g \subseteq S_{1, l} g_l\)、同様に。
2)によって、以下を満たすある\(S_1 \in B_1\)、つまり、\(S_1 \subseteq S'_{1, j} \cap S'_{1, l}\)、がある。
したがって、\(S_1 g \subseteq (S'_{1, j} \cap S'_{1, l}) g = (S'_{1, j} g) \cap (S'_{1, l} g) \subseteq (S_{1, j} g_j) \cap (S_{1, l} g_l) = S_j \cap S_l\)。
\(g \in S_1 g\)、なぜなら、\(1 \in S_1\)。
したがって、\(S_1 g = S_m\)でよい。
したがって、\(G\)で\(B'\)を持つものはトポロジカルスペース（空間）である、任意のトポロジカルスペース（空間）の任意のベーシス（基底）はトポロジーを決定するという命題によって。
ステップ6:
\(B_1 g\)は\(g\)におけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）であることを見よう。
\(N_g\)を\(g\)の任意のネイバーフッド（近傍）としよう。
以下を満たすある\(S_1 g' \in B'\)、つまり、\(g \in S_1 g' \subseteq N_g\)、がある: 要点は、\(g'\)は\(g\)と取られるように保証されていない、まだ、ということである。
\(g g'^{-1} \in S_1\)。したがって、以下を満たすある\(S'_1 \in B_1\)、つまり、\(S'_1 g g'^{-1} \subseteq S_1\)、がある、5)によって。
したがって、\(S'_1 g g'^{-1} g' \subseteq S_1 g'\)、しかし、\(S'_1 g g'^{-1} g' = S'_1 g\)、したがって、\(g \in S'_1 g \subseteq S_1 g' \subseteq N_g\)。
ステップ7:
\(G\)のグループ（群）オペレーションたちはコンティニュアス（連続）であることを見よう。
当該インバース（逆）マップ（写像）に対処しよう。
\(N_{g^{-1}} \subseteq G\)を\(g^{-1}\)の任意のネイバーフッド（近傍）としよう。
以下を満たすある\(S_1 g^{-1} \in B'\)、つまり、\(g^{-1} \in S_1 g^{-1} \subseteq N_{g^{-1}}\)、がある。
以下を満たすある\(S'_1 \in B_1\)、つまり、\(S'_1 \subseteq g S_1 g^{-1}\)、がある、4)によって。
したがって、\(g^{-1} S'_1 \subseteq S_1 g^{-1}\)。
以下を満たすある\(S''_1 \in B_1\)、つまり、\({S''_1}^{-1} S''_1 \subseteq S'_1\)、がある、3)によって。
\(g^{-1} {S''_1}^{-1} S''_1 \subseteq g^{-1} S'_1\)。
しかし、\(g^{-1} {S''_1}^{-1} S''_1 = ({S''_1}^{-1} S''_1 g)^{-1}\)および\(S''_1 \subseteq {S''_1}^{-1} S''_1\)、したがって、\((S''_1 g)^{-1} \subseteq g^{-1} S'_1 \subseteq S_1 g^{-1} \subseteq N_{g^{-1}}\)。
当該インバース（逆）マップ（写像）はバイジェクション（全単射）でありそのインバース（逆）はそれ自身である、したがって、当該インバース（逆）マップ（写像）はホメオモーフィズム（位相同形写像）である。
マルチプリケーションマップ（乗法写像）に対処しよう。
\(N_{g_1 g_2} \subseteq G\)を\(g_1 g_2\)の任意のネイバーフッド（近傍）としよう。
以下を満たすある\(S_1 g_1 g_2 \in B'\)、つまり、\(g_1 g_2 \in S_1 g_1 g_2 \subseteq N_{g_1 g_2}\)、がある。
\(S_1 g_1 g_2 = g_1 {g_1}^{-1} S_1 g_1 g_2\)。
以下を満たすある\(S'_1 \in B_1\)、つまり、\(S'_1 \subseteq {g_1}^{-1} S_1 g_1\)、がある、4)によって、したがって、\(g_1 S'_1 g_2 \subseteq g_1 {g_1}^{-1} S_1 g_1 g_2 = S_1 g_1 g_2\)。
以下を満たすある\(S''_1 \in B_1\)、つまり、\({S''_1}^{-1} S''_1 \subseteq S'_1\)、がある、3)によって、したがって、\(g_1 {S''_1}^{-1} S''_1 g_2 \subseteq g_1 S'_1 g_2 \subseteq S_1 g_1 g_2\)。
しかし、当該インバース（逆）マップ（写像）はホメオモーフィズム（位相同形写像）であるから、\({S''_1}^{-1}\)は\(1\)のオープンネイバーフッド（開近傍）である、したがって、以下を満たすある\(S'''_1 \in B_1\)、つまり、\(S'''_1 \subseteq {S''_1}^{-1}\)、がある、したがって、\(g_1 S'''_1 S''_1 g_2 \subseteq g_1 {S''_1}^{-1} S''_1 g_2\)。
\(g_1 S'''_1 S''_1 g_2 = g_1 S'''_1 g_1^{-1} g_1 S''_1 g_2\)。
以下を満たすある\(S''''_1 \in B_1\)、つまり、\(S''''_1 \subseteq g_1 S'''_1 g_1^{-1}\)、がある、4)によって、したがって、\(S''''_1 g_1 S''_1 g_2 \subseteq g_1 S'''_1 S''_1 g_2\)。
したがって、\(S''''_1 g_1 S''_1 g_2 \subseteq g_1 S'''_1 S''_1 g_2 \subseteq g_1 {S''_1}^{-1} S''_1 g_2 \subseteq S_1 g_1 g_2 \subseteq N_{g_1 g_2}\)。
ステップ8:
\(G\)はハウスドルフであることを見よう。
\(g_1, g_2 \in G\)を\(g_1 \neq g_2\)を満たす任意のものとしよう。
\(g_1 {g_2}^{-1} \neq 1\)、したがって、以下を満たすある\(S_1 \in B_1\)、つまり、\(g_1 {g_2}^{-1} \notin S_1\)、がある、1)によって。
\(1\)の以下を満たすあるシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）\(N_1 \subseteq G\)、つまり、\(N_1^2 \subseteq S_1\)、がある、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、\(1\)の任意のネイバーフッド（近傍）、任意のポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）に対して、\(1\)のあるシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）でその当該ナチュラルナンバー（自然数）乗が当該ネイバーフッド（近傍）内に包含されているものがあるという命題によって。
\(N_1 \cap N_1 g_1 {g_2}^{-1} = \emptyset\)であることを見よう。
\(N_1 \cap N_1 g_1 {g_2}^{-1} \neq \emptyset\)であったと仮定しよう。
ある\(n \in N_1 \cap N_1 g_1 {g_2}^{-1}\)があることになる。
\(n = n' g_1 {g_2}^{-1}\)、ある\(n' \in N_1\)に対して。
\(g_1 {g_2}^{-1} = n'^{-1} n\)。しかし、\(N_1\)はシンメトリック（対称）であるから、\(n'^{-1} \in N_1^{-1} = N_1\)、したがって、\(g_1 {g_2}^{-1} \in N_1^2 \subseteq S_1\)、\(g_1 {g_2}^{-1} \notin S_1\)に反する矛盾。
したがって、\(N_1 \cap N_1 g_1 {g_2}^{-1} = \emptyset\)。
以下を満たすある\(S'_1 \in B_1\)、つまり、\(S'_1 \subseteq N_1\)、があり、\(S'_1 \cap S'_1 g_1 {g_2}^{-1} \subseteq N_1 \cap N_1 g_1 {g_2}^{-1} = \emptyset\)。
したがって、\((S'_1 \cap S'_1 g_1 {g_2}^{-1}) g_2 = S'_1 g_2 \cap S'_1 g_1 {g_2}^{-1} g_2 = S'_1 g_2 \cap S'_1 g_1 = \emptyset\)。
