コンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）内にネストされたコンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）はトポロジカルサブスペース（部分空間）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）内にネストされた任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）は、ネストしているユークリディアントポロジカルスペース（空間）のトポロジカルサブスペース（部分空間）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のコンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）たち間任意のリニアマップ（線形写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）内にネストされた任意のコンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）は、ネストしているコンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）のトポロジカルサブスペース（部分空間）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(d'\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(d\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)で、\(d \le d'\)を満たすもの
\(\mathbb{C}^{d'}\): \(= \text{ 当該コンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)
\(\mathbb{C}^d\): \(= \text{ 当該コンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)
\(\iota\): \(: \mathbb{C}^d \to \mathbb{C}^{d'}, (r^1, ..., r^d)^t \mapsto (r^1, ..., r^d, 0, ..., 0)^t\), \(= \text{ 当該インクルージョン（封入） }\)
\(r\): \(: \mathbb{C}^{d'} \to \mathbb{C}^{d'}, (r^1, ..., r^{d'})^t \mapsto M (r^1, ..., r^{d'})^t\)、ここで、\(M\)は任意のインバーティブル（可逆）\(d' \times d'\)コンプレックス（複素）マトリックス（行列）
\(t\): \(: \mathbb{C}^{d'} \to \mathbb{C}^{d'}, (r^1, ..., r^{d'})^t \mapsto (r^1, ..., r^{d'})^t + (t^1, ..., t^{d'})^t\), \(= \text{ 当該トランスレーション（平行移動） }\)
\(f\): \(: \mathbb{C}^d \to t \circ r \circ \iota (\mathbb{C}^d) \subseteq \mathbb{C}^{d'}, (r^1, ..., r^d)^t \mapsto t \circ r \circ \iota ((r^1, ..., r^d)^t)\)、ここで、\(t \circ r \circ \iota (\mathbb{C}^d)\)は\(\mathbb{C}^{d'}\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全てのホメオモーフィズム（位相同形写像）たち }\}\)
//
2: 注
本命題は、口語的に、"\(\mathbb{C}^d\)は\(\mathbb{C}^{d'}\)内にネストされており、\(\mathbb{C}^d\)は\(\mathbb{C}^{d'}\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）である"と言っているが、もっと厳密に述べると、\(\mathbb{C}^d\)は\(\mathbb{C}^{d'}\)内にインジェクトされ、当該イメージ（像）のトポロジカルサブスペース（部分空間）とみなしたものは、当該インジェクション（単射）の下で\(\mathbb{C}^d\)の上へホメオモーフィック（位相同形写像）である。
実のところ、"ネストされた"という単語は元は、任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）内にネストされた任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）は、ネストしているユークリディアントポロジカルスペース（空間）のトポロジカルサブスペース（部分空間）であるという命題の\(r = \text{ 任意のローテーション（回転） }\)バージョンから来たものであり、それが本バージョンまでくっついてきた、当該状況は、広くには"ネストされた"とは解釈されないかもしれないが。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\iota': \mathbb{C}^d \to \iota (\mathbb{C}^d) \subseteq \mathbb{C}^{d'}\)、\(r': \iota (\mathbb{C}^d) \subseteq \mathbb{C}^{d'} \to r (\iota (\mathbb{C}^d)) \subseteq \mathbb{C}^{d'}\)、\(t': r (\iota (\mathbb{C}^d)) \subseteq \mathbb{C}^{d'} \to t (r (\iota (\mathbb{C}^d))) \subseteq \mathbb{C}^{d'}\)を、\(\iota\)、\(r\)、\(t\)のリストリクション（制限）たちとして取り、\(f = t' \circ r' \circ \iota'\)であることを見る; ステップ2: \(\iota'\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）であることを見る; ステップ3: \(r'\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）であることを見る; ステップ4: \(t'\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）であることを見る; ステップ5: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(\iota': \mathbb{C}^d \to \iota (\mathbb{C}^d) \subseteq \mathbb{C}^{d'}\)、ここで、コドメイン（余域）は\(\mathbb{C}^{d'}\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）、を\(\iota\)のリストリクション（制限）として取ろう。
\(r': \iota (\mathbb{C}^d) \subseteq \mathbb{C}^{d'} \to r (\iota (\mathbb{C}^d)) \subseteq \mathbb{C}^{d'}\)、ここで、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）は\(\mathbb{C}^{d'}\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）たち、を\(r\)のリストリクション（制限）として取ろう。
\(t': r (\iota (\mathbb{C}^d)) \subseteq \mathbb{C}^{d'} \to t (r (\iota (\mathbb{C}^d))) \subseteq \mathbb{C}^{d'}\)、ここで、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）は\(\mathbb{C}^{d'}\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）たち、を\(t\)のリストリクション（制限）として取ろう。
\(f = t' \circ r' \circ \iota'\)、明らかに。
\(\iota'\)のコドメイン（余域）は\(r'\)のドメイン（定義域）に等しく、\(r'\)のコドメイン（余域）は\(t'\)のドメイン（定義域）に等しいので、もしも、\(\iota'\)、\(r'\)、\(t'\)たちがホメオモーフィズム（位相同形写像）たちである場合、\(f\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）であるだろう、それが、以降に証明される。
ステップ2:
\(\iota'\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）であることを見よう。
\(\iota'\)はバイジェクション（全単射）である、明らかに。
\(f: \mathbb{R}^{2 d} \to \mathbb{C}^d\)を、カノニカル（正典）ホメオモーフィズム（位相同形写像）（それによって、\(\mathbb{C}^d\)のトポロジーが定義されている）であるとしよう。
\(f': \mathbb{R}^{2 d'} \to \mathbb{C}^{d'}\)を、カノニカル（正典）ホメオモーフィズム（位相同形写像）（それによって、\(\mathbb{C}^{d'}\)のトポロジーが定義されている）であるとしよう。
\(f'': f'^{-1} (\iota (\mathbb{C}^d)) \subseteq \mathbb{R}^{2 d'} \to \iota (\mathbb{C}^d) \subseteq \mathbb{C}^{d'}\)を\(f'\)のリストリクション（制限）、ここで、当該ドメイン（定義域）および当該コドメイン（余域）は\(\mathbb{R}^{2 d'}\)および\(\mathbb{C}^{d'}\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）たちである、としよう、それは、ホメオモーフィズム（位相同形写像）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。
\(\lambda: \mathbb{R}^{2 d} \to \lambda (\mathbb{R}^{2 d}) \subseteq \mathbb{R}^{2 d'}, (r^1, ..., r^{2 d}) \mapsto (r^1, ..., r^{2 d}, 0, ..., 0)\)をインクルージョン（封入）としよう、それはホメオモーフィズム（位相同形写像）である、任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）内にネストされた任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）は、ネストしているユークリディアントポロジカルスペース（空間）のトポロジカルサブスペース（部分空間）であるという命題によって。
\(\iota' = f'' \circ \lambda \circ f^{-1}\)、なぜなら、各\((r^1 + r^2 i, ..., r^{2 (d - 1) + 1} + r^{2 d} i)^t \in \mathbb{C}^d\)に対して、\(\iota' ((r^1 + r^2 i, ..., r^{2 (d - 1) + 1} + r^{2 d} i)^t ) = (r^1 + r^2 i, ..., r^{2 (d - 1) + 1} + r^{2 d} i, 0, ..., 0)^t\)、その一方で、\(f'' \circ \lambda \circ f^{-1} ((r^1 + r^2 i, ..., r^{2 (d - 1) + 1} + r^{2 d} i)^t) = f'' \circ \lambda ((r^1, r^2, ..., r^{2 (d - 1) + 1}, r^{2 d})^t) = f'' ((r^1, r^2, ..., r^{2 (d - 1) + 1}, r^{2 d}, 0, ..., 0)^t) = (r^1 + r^2 i, ..., r^{2 (d - 1) + 1} + r^{2 d} i, 0, ..., 0)^t\)。
\(\lambda\)のドメイン（定義域）は\(f^{-1}\)のコドメイン（余域）に等しく、\(f''\)のドメイン（定義域）は\(\lambda\)のコドメイン（余域）に等しい、なぜなら、\(f'^{-1} (\iota (\mathbb{C}^d)) \subseteq \mathbb{R}^{2 d'} = \lambda (\mathbb{R}^{2 d}) \subseteq \mathbb{R}^{2 d'}\)。
したがって、\(\iota' = f'' \circ \lambda \circ f^{-1}\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である。
ステップ3:
\(r'\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）であることを見よう。
\(r\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）であることを見よう。
\(r\)はリニアマップ（線形写像）である、したがって、コンティニュアス（連続）である、任意のコンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）たち間任意のリニアマップ（線形写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題によって。
また、\(r^{-1}\)はリニアマップ（線形写像）である、なぜなら、それは\(M^{-1}\)によるマップ（写像）である、したがって、コンティニュアス（連続）である、同様に。
\(r'\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である、なぜなら、\(r'\)および\(r'^{-1}\)はコンティニュアス（連続）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。
ステップ4:
\(t'\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）であることを見よう。
\(t\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である、なぜなら、\(t = f' \circ t'' \circ f'^{-1}\)、ここで、\(t'': \mathbb{R}^{2 d'} \to \mathbb{R}^{2 d'}, (r^1, r^2, ..., r^{2 (d' - 1) + 1}, r^{2 d'})^t \mapsto (r^1, r^2, ..., r^{2 (d' - 1) + 1}, r^{2 d'})^t + (Re (t^1), Im (t^1), ..., Re (t^{d'}), Im (t^{d'}))^t\)はトランスレーション（平行移動）、それは明らかにホメオモーフィズム（位相同形写像）である: 各\((r^1 + r^2 i, ..., r^{2 (d' - 1) + 1} + r^{2 d'} i)^t \in \mathbb{C}^{d'}\)に対して、\(t ((r^1 + r^2 i, ..., r^{2 (d' - 1) + 1} + r^{2 d'} i)^t) = (r^1 + r^2 i, ..., r^{2 (d' - 1) + 1} + r^{2 d'} i) + (t^1, ..., t^{d'})^t\)、その一方で、\(f' \circ t'' \circ f'^{-1} ((r^1 + r^2 i, ..., r^{2 (d' - 1) + 1} + r^{2 d'} i)^t) = f' \circ t'' ((r^1, r^2, ..., r^{2 (d' - 1) + 1}, r^{2 d'})^t) = f' ((r^1, r^2, ..., r^{2 (d' - 1) + 1}, r^{2 d'})^t + (Re (t^1), Im (t^1), ..., Re (t^{d'}), Im (t^{d'}))^t) = (r^1 + r^2 i, ..., r^{2 (d' - 1) + 1} + r^{2 d'} i)^t + (t^1, ..., t^{d'})^t\)。
\(t'\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である、なぜなら、\(t'\)および\(t'^{-1}\)はコンティニュアス（連続）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。
ステップ5:
したがって、\(f\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である。
